previous arrow
next arrow
Slider

Угол между касательной и хордой

Угол между касательной и хордой, проведенной через точку касания, равен половине угловой величины дуги, заключенной между ними.

Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.

Пусть \angle MCA=\varphi. Тогда \angle OCA = 90 ^{\circ}-\varphi. Треугольник ОСА – равнобедренный, ОА = ОС (как радиусы окружности). Значит, \angle AOC= 180 ^{\circ}-2\left ( 90 ^{\circ} - \varphi \right )=2\varphi, что и требовалось доказать.

Заметим, что \angle ABC = \varphi – как вписанный, опирающийся на ту же дугу.

Задача ЕГЭ по теме «Угол между касательной и хордой»

Угол между хордой AB и касательной BC к окружности равен 32 ^{\circ}. Найдите величину меньшей дуги, стягиваемой хордой AB. Ответ дайте в градусах.

Касательная ВС перпендикулярна радиусу ОВ, проведенному в точку касания. Значит, угол ОВС равен 90°, и тогда угол ОВА равен 90 ^{\circ} - 32 ^{\circ} = 58 ^{\circ}. Угол ОАВ также равен 58°, так как треугольник ОАВ – равнобедренный, его стороны ОА и ОВ равны радиусу окружности. Тогда третий угол этого треугольника, то есть угол АОВ, равен 180 ^{\circ} - 58 ^{\circ} \cdot 2 = 64 ^{\circ}.

Центральный угол равен угловой величине дуги, на которую он опирается, и тогда дуга АВ равна 64 ^{\circ}.

Эту задачу можно решить быстрее, зная теорему об угле между касательной и хордой.
Угол между касательной и хордой, проведенной через точку касания, - это угол АВС. Он равен половине угловой величины дуги, заключенной между касательной ВС и хордой АВ, то есть дуги АВ. Значит, дуга АВ равна 64 ^{\circ}.

Ответ: 64.