previous arrow
next arrow
Slider

Профильный ЕГЭ по математике. Задание №19. Уравнения в целых числах.

Мы привыкли решать уравнения с одной переменной. А если переменных в одном уравнении целых две? А если 4? С такими ситуациями мы встречаемся, решая задачу 19 Профильного ЕГЭ по математике. И обычно нам помогает то, что эти переменные — целые.

Возьмем... нет, не реальную задачи 19. Возьмем такую, о которых пишут: «Она взорвала интернет».

А началось все с того, что один британский школьник лет 10-11 попросил маму помочь с домашним заданием. А мама не смогла. И папа тоже. И, уложив дите спать, родители отправились куда? — Правильно, в интернет! На форум для родителей. Но и там никто не смог решить задачу, только перессорились. И на других форумах тоже.

А вы справитесь с задачей, которая поставила в тупик столько взрослых людей?

1. На берегу стоят три маяка. Первый включается на три секунды, затем выключается на три секунды. Второй включается на четыре секунды и затем выключается на четыре секунды. Третий включается на пять секунд, затем выключается на пять секунд. Все три маяка начинают работать одновременно.

а) Через сколько минут после начала работы все три маяка снова одновременно включатся?

б) В какой момент времени все три маяка одновременно отключатся?

По условию, все три маяка включаются одновременно. Маяк может либо светить, либо нет. Нарисуем графики их работы:

а) В какие моменты включаются первый и второй маяки? Первый маяк включается через 6 секунд после начала работы, через 12, через 18, 24, 30\dots 6n секунд.

Второй маяк — через 8 секунд после начала работы, через 16, 24, 32\dots — то есть через 8m секунд.

Очевидно, что одновременное включение первого и второго маяков произойдет через 24 секунды после начала работы, поскольку 24 — это наименьшее общее кратное чисел 6 и 8 (то есть наименьшее число, которое делится на 6 и на 8).

Третий маяк включается через 10, 20, 30\dots 10k секунд после начала работы. Найдем наименьшее общее кратное чисел 6, 8 и 10, то есть наименьшее число, которое делится на 6, на 8 и на 10.

6n = 8m = 10k = T.

Поскольку 6=2\cdot 3; \, 8=2^3; \, 10=2\cdot 5, наименьшее общее кратное чисел 6, 8 и 10 должно делиться на 2^3, на 3 и на 5. Это число 120. Значит, через T = 120 секунд после начала работы все три маяка включатся одновременно.

Можно сказать, что все три графика работы маяков — периодические функции, причем период для первого маяка равен 6, для второго 8, для третьего 10.

б) В какие же моменты одновременно отключаются все три маяка?

Первый маяк отключается через 9, 15, 21... 3 + 6n секунд после начала работы.

Второй маяк — через 12, 20, 28\dots 4+8m секунд после старта, а третий — через 15, 25, 35\dots 5+ 10k секунд после старта. Если существует такой момент, что все три маяка отключаются одновременно, то должны выполняться условия:

Эта система не имеет решений. В самом деле, величины 6n, 8m и 10k — четные. Тогда в первом уравнении в левой части — нечетная величина, а в правой — четная. Во втором уравнении левая часть четна, правая нечетная. Нет такого момента, когда все три маяка одновременно отключились!

Мы увидели один из принципов решения уравнений в целых числах. Если левая часть уравнения четна, то и правая должна быть четна. Если левая делится на 10, то и правая должна делиться на 10.

Следующая задача предлагалась когда-то на реальном ЕГЭ, часто встречалась в Демоверсиях ЕГЭ, а теперь появилась и в возможной демоверсии ОГЭ — которая пока называется «перспективной моделью измерительных материалов для государственной итоговой аттестации». Правда, в задаче для ОГЭ осталось два пункта из трех, а именно (а) и (в). Но мы решим задачу полностью.

2. На доске написано более 42, но менее 54 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно —  7, среднее арифметическое всех положительных из них равно 6, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно —  12.

а) Сколько чисел написано на доске?

б) Каких чисел больше: положительных или отрицательных?

в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?

Напомним, что среднее арифметическое нескольких чисел есть сумма этих чисел, делённая на их количество.

В условии сказано, что на доске написаны положительные и отрицательные числа. Есть ли среди этих чисел нули? — Да, могут быть и нули. Они не внесут вклад в сумму чисел, зато повлияют на их среднее арифметическое.

Пусть на доске написано n чисел. Тогда их сумма: S = -7n. Обозначим: p —  количество положительных чисел, m — количество отрицательных чисел, z — количество нулей. Таким образом, n = p + m + z.

Пусть S{}_{+ } и S{}_{-}{}_{ } — суммы положительных и отрицательных чисел соответственно. Имеем: S{}_{+ }= 6p, S{}_{-}{}_{ }= -12m, и так как S = S{}_{+ }+ S{}_{-}, то:

-7n = 6p - 12m.

а) Правая часть данного равенства делится на 6. Поскольку 6 и 7 взаимно просты, число n делится на 6. Между числами 42 и 54 есть только одно такое число: n = 48.

Ответ: 48.

б) Из равенства -7 \cdot 48 = 6p - 12m получаем после сокращения на 6:

2m - p = 56.

Кроме того:

p + m + z = 48.

Сложим полученные равенства: 3m+z = 104. Так как 104 при делении на 3 дает остаток 2, число z также даёт остаток 2: z = 3k + 2. Отсюда: 3m + 3k + 2 = 104, или m = 34 - k.

Соответственно,

p = 2m - 56 = 2(34 - k) - 56 = 12 - 2k.

Составляем разность:  так что —  отрицательных чисел написано больше.

в) Из равенства p = 12 - 2k видим, что p \leq 12.

Приведём пример с p = 12 (тогда k = 0, z = 2, m = 34). Пусть написано 12 чисел 6, 34 числа -12 и два нуля. Этот набор удовлетворяет условию задачи: среднее арифметическое положительных чисел равно, очевидно, 6; среднее арифметическое отрицательных чисел равно -12, а среднее арифметическое всех чисел:

\frac{12\cdot 6+34\cdot (-12)}{48}=-7.

Следовательно, наибольшее возможное количество положительных чисел равно 12.

Ответ: 12.

Видите, как из уравнения -7n = 6p - 12m с тремя неизвестными мы получили всё. Как в сказке про суп из топора.

И еще одна задача. Сколько чисел на доске — не знаем. Есть одинаковые или все разные — не знаем. Переменных 2n штук, то есть в 2 раза больше, чем самих чисел. И все-таки мы это решим!

3. (ЕГЭ-2015) На доске написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 2970. В каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число 16 заменили на число 61).

а) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в три раза меньше, чем сумма исходных чисел.

б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в пять раз меньше, чем сумма исходных чисел?

в) Найдите наименьшее возможное значение суммы получившихся чисел

Двузначные числа на доске — это числа вида 10a_i+b_i, где a_i - первая цифра, b_i - вторая.

По условию,

10\left(a_1+a_2+...+a_n\right)+\left(b_1+...+b_n\right)=2970

а) 10\left(b_1...+b_n\right)+\left(a_1+a_2+...+a_n\right)=990

Обозначим a_1+a_2+...+a_n=A,\, \, \, b_1+...+b_n=B

\left\{ \begin{array}{c}10A+B=2970 \\10B+A=990 \end{array};\right.

Отсюда B=70, A=290.

Подберем пример:

Пусть

A = \underset{30}{\underbrace{9 + 9 + \dots + 9}} +\underset{10}{ \underbrace{2 + 2 +\dots + 2}}

B=\underset{30}{\underbrace{2 + 2 +\dots + 2}} +\underset{10}{\underbrace{1 + 1+\dots + 1 }}

Тогда 10A+B=10\cdot \left(30\cdot 9+2\cdot 10\right)+30\cdot 2+10=2970,

10B+A=10\cdot \left(30\cdot 2+10\right)+\left(30\cdot 9+2\cdot 10\right)=990.

б) Предположим,

\left\{ \begin{array}{c}10A+B=2970 \\10B+A=594 \end{array};\right.

Тогда B = 30, A = 294.

Если на доске n чисел, то n\le 30, поскольку все b_i\ge 1.

Если n\le 30, то A=a_1+a_2+...+a_n\le 270, поскольку 1\le a_i\le 9.

Из условия мы получили, что A=294. Мы пришли к противоречию — значит, в пункте (б) ответ «нет».

И снова «суп из топора». Всё из ничего! Наша задача — извлечь из условия всё что можно и применить, чтобы сделать оценки нужных величин.

в)

\left\{ \begin{array}{c}10A+B=2970 \\10B+A=S \end{array};\right.

Найдем наименьшее возможное значение суммы получившихся чисел. Выразим S из системы:

S=10B+A=29700-99A.

Заметим, что S=29700 - 99A делится на 99. Пусть S=99k, тогда

99k=99\cdot 300-99A;

k=300-A; тогда A=300-k и B=10k-30.

Мы получили систему:

\left\{ \begin{array}{c}A=300-k \\B=10k-30 \end{array};\right.

Пусть на доске было n чисел. A — сумма первых цифр этих чисел, B — сумма вторых цифр этих чисел, причем цифры взяты от 1 до 9,

n\le B\le 9nn\le A\le 9n

Из первого неравенства мы взяли оценку для 9n. А в неравенстве n\le 10k-30 (оно следует из второго) умножили обе части на 9, чтобы получить другую оценку для 9n. Тогда:

300-k\le 9n\le 90k-270300-k\le 90k-270

91k\ge 570;k\ge \frac{570}{91}; значит, k\ge 7, (т.к. k - целое)

Тогда S\ge 693.

Если k=7, то A=293, B=40

Приведем пример, когда A=293, B=40, S=693.

Пусть n=40, b_i=1;

A = 293=13\cdot 8+27\cdot 7. Получим:

\underset{13}{\underbrace{81 + 81 +\dots +81}} +\underset{27}{\underbrace{71+ 71+\dots +71 }} = 2970.

\underset{13}{\underbrace{18 + 18 +\dots +18}} +\underset{27}{\underbrace{ 17 + 17 + \dots + 17}} = 693.

Ответ: 693.