Slider

Уравнения в целых числах. Задача 19 Профильного ЕГЭ по математике.

Мы привыкли решать уравнения с одной переменной. А если переменных в одном уравнении целых две? А если 4? С такими ситуациями мы встречаемся, решая задачу 19 Профильного ЕГЭ по математике. И обычно нам помогает то, что эти переменные – целые.

Возьмем… нет, не реальную задачи 19. Возьмем такую, о которых пишут: «Она взорвала интернет».

А началось все с того, что один британский школьник лет 10-11 попросил маму помочь с домашним заданием. А мама не смогла. И папа тоже. И, уложив дите спать, родители отправились куда? — Правильно, в интернет! На форум для родителей. Но и там никто не смог решить задачу, только перессорились. И на других форумах тоже.

А вы справитесь с задачей, которая поставила в тупик столько взрослых людей?

1. На берегу стоят три маяка. Первый включается на три секунды, затем выключается на три секунды. Второй включается на четыре секунды и затем выключается на четыре секунды. Третий включается на пять секунд, затем выключается на пять секунд. Все три маяка начинают работать одновременно.

а) Через сколько минут после начала работы все три маяка снова одновременно включатся?

б) В какой момент времени все три маяка одновременно отключатся?

По условию, все три маяка включаются одновременно. Маяк может либо светить, либо нет. Нарисуем графики их работы:

а) В какие моменты включаются первый и второй маяки? Первый маяк включается через 6 секунд после начала работы, через 12, через 18,\;24,\;30...6n секунд.

Второй маяк – через 8 секунд после начала работы, через 16, 24, 32… — то есть через 8m секунд.

Очевидно, что одновременное включение первого и второго маяков произойдет через 24 секунды после начала работы, поскольку 24 – это наименьшее общее кратное чисел 6 и 8 (то есть наименьшее число, которое делится на 6 и на 8).

Третий маяк включается через
10,\;20,\;30...10k секунд после начала работы. Найдем наименьшее общее кратное чисел 6, 8 и 10, то есть наименьшее число, которое делится на 6, на 8 и на 10.

6n=8m=10k=T.

Поскольку 6=2\cdot 3;\;8=2^{3};\;10=2\cdot 5, наименьшее общее кратное чисел 6, 8 и 10 должно делиться на 2^{3}, на 3 и на 5. Это число 120. Значит, через T=120 секунд после начала работы все три маяка включатся одновременно.

Можно сказать, что все три графика работы маяков – периодические функции, причем период для первого маяка равен 6, для второго 8, для третьего 10.

б) В какие же моменты одновременно отключаются все три маяка?
Первый маяк отключается через 9,\;15,\;21,...3+6n секунд после начала работы.

Второй маяк – через 12,\;20,\;28,...4+8m секунд после старта, а третий – через
15,\;25,\;35,...5+10k секунд после старта. Если существует такой момент, что все три маяка отключаются одновременно, то должны выполняться условия:

\left\{\begin{matrix}3+6n=4+8m\\4+8m=5+10k\end{matrix}\right.

Эта система не имеет решений. В самом деле, величины 6n, 8m и 10k — четные. Тогда в первом уравнении в левой части – нечетная величина, а в правой – четная. Во втором уравнении левая часть четна, правая нечетная. Нет такого момента, когда все три маяка одновременно отключились!

Мы увидели один из принципов решения уравнений в целых числах. Если левая часть уравнения четна, то и правая должна быть четна. Если левая делится на 10, то и правая должна делиться на 10.

Следующая задача предлагалась когда-то на реальном ЕГЭ, часто встречалась в Демоверсиях ЕГЭ, а теперь появилась и в возможной демоверсии ОГЭ — которая пока называется «перспективной моделью измерительных материалов для государственной итоговой аттестации». Правда, в задаче для ОГЭ осталось два пункта из трех, а именно (а) и (в). Но мы решим задачу полностью.

2. На доске написано более 42, но менее 54 целых чисел. Среднее арифметическое этих чисел равно −7, среднее арифметическое всех положительных из них равно 6, а среднее арифметическое всех отрицательных из них равно −12.

а) Сколько чисел написано на доске?

б) Каких чисел больше: положительных или отрицательных?

в) Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди них?

Напомним, что среднее арифметическое нескольких чисел есть сумма этих чисел, делённая на их количество.

В условии сказано, что на доске написаны положительные и отрицательные числа. Есть ли среди этих чисел нули? – Да, могут быть и нули. Они не внесут вклад в сумму чисел, зато повлияют на их среднее арифметическое.

Пусть на доске написано n чисел. Тогда их сумма: S=-7n. Обозначим: p — количество положительных чисел, m — количество отрицательных чисел, z — количество нулей. Таким образом, n=p+m+z.

Пусть S_{+} и S_{-} — суммы положительных и отрицательных чисел соответственно. Имеем: S_{+}=6p,\;S_{-}=-12m, и так как S=S_{+}+S_{-}, то:

-7n=6p-12m.

a) Правая часть данного равенства делится на 6. Поскольку 6 и 7 взаимно просты, число n делится на 6. Между числами 42 и 54 есть только одно такое число: n=48.

Ответ: 48.

б) Из равенства -7\cdot 48=6p-12m
получаем после сокращения на 6:

2m-p=56.

Кроме того:

p+m+z=48.

Сложим полученные равенства:
3m+z=104. Так как 104 при делении на 3 дает остаток 2, число z также даёт остаток 2: z=3k+2. Отсюда: 3m+3k+2=104, или

m=34-k.

Соответственно,

p=2m-56=2\left ( 34-k \right )-56=12-2k.

Составляем разность:
 так что  — отрицательных чисел написано больше.

в) Из равенства p=12-2k видим, что p\leq 12.

Приведём пример с p=12 (тогда k=0,\;z=2,\;m=34). Пусть написано 12 чисел 6, 34 числа −12 и два нуля. Этот набор удовлетворяет условию задачи: среднее арифметическое положительных чисел равно, очевидно, 6; среднее арифметическое отрицательных чисел равно −12, а среднее арифметическое всех чисел:

\frac{12\cdot 6+34\cdot \left ( -12 \right )}{48}=-7

Следовательно, наибольшее возможное количество положительных чисел равно 12.

Ответ: 12.

Видите, как из уравнения -7n=6p-12m с тремя неизвестными мы получили всё. Как в сказке про суп из топора.

И еще одна задача. Сколько чисел на доске – не знаем. Есть одинаковые или все разные – не знаем. Переменных 2n штук, то есть в 2 раза больше, чем самих чисел. И все-таки мы это решим!

3. (ЕГЭ-2015) На доске написали несколько не обязательно различных двузначных натуральных чисел без нулей в десятичной записи. Сумма этих чисел оказалась равной 2970. В каждом числе поменяли местами первую и вторую цифры (например, число 16 заменили на число 61).

а) Приведите пример исходных чисел, для которых сумма получившихся чисел ровно в три раза меньше, чем сумма исходных чисел.

б) Могла ли сумма получившихся чисел быть ровно в пять раз меньше, чем сумма исходных чисел?

в) Найдите наименьшее возможное значение суммы получившихся чисел

Двузначные числа на доске – это числа вида 10a_{i}+b_{i}, где a_{i} — первая цифра, b_{i} — вторая.

По условию,

10\left ( a_{1}+a_{2}+...+a_{n} \right )+\left ( b_{1}+...+b_{n} \right )=2970

10\left ( b_{1}+...+b_{n} \right )+\left ( a_{1}+a_{2}+...+a_{n} \right )=990

Обозначим a_{1}+a_{2}+...+a_{n}=A,
b_{1}+...+b_{n}=B

\left\{\begin{matrix}10A+B=2970\\10B+A=990\end{matrix}\right.

Отсюда B=70, \;A=290.

Подберем пример:

Пусть

Тогда:

10A+B=10\left ( 30\cdot 9+2\cdot 10 \right )+30\cdot 2+10=2970,

10B+A=10\left ( 30\cdot 2+10 \right )+\left ( 30\cdot 9+2\cdot 10 \right )=990.

б) Предположим,

\left\{\begin{matrix}10A+B=2970\\10B+A=594\end{matrix}\right.

Тогда B=30,\;A=294. Если на доске n чисел, то
n\leq 30, поскольку все b_{i}\geq 1.

Если n\leq 30, то A=a_{1}+a_{2}+...+a_{n}\leq 270, поскольку 1\leq a_{i}\leq 9.

Из условия мы получили, что А=294. Мы пришли к противоречию – значит, в пункте (б) ответ «нет».

И снова «суп из топора». Всё из ничего! Наша задача – извлечь из условия всё что можно и применить, чтобы сделать оценки нужных величин.

в)
\left\{\begin{matrix}10A+B=2970\\10B+A=S\end{matrix}\right.

Найдем наименьшее возможное значение суммы получившихся чисел. Выразим S из системы:

S=10B+A=29700-99A.

Заметим, что S=29700-99A делится на 99. Пусть S=99k; тогда 99k=99\cdot 300-99A;

k=300-A; тогда A=300-k и B=10k-30.

Мы получили систему:

\left\{\begin{matrix}A=300-k\\B=10k-30\end{matrix}\right.

Пусть на доске было n чисел. А – сумма первых цифр этих чисел, В – сумма вторых цифр этих чисел, причем цифры взяты от 1 до 9,

n\leq B\leq 9n

n\leq A\leq 9n

\left\{\begin{matrix}n\leq 300-k\leq 9n\\n\leq 10k-30\leq 9n\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}9n\geq 300-k\\9n\leq 90k-270\end{matrix}\right.

Из первого неравенства мы взяли оценку для 9n. А в неравенстве n\leq 10k-30 (оно следует из второго) умножили обе части на 9, чтобы получить другую оценку для 9n. Тогда:

300-k\leq 9n\leq 90k-270

300-k\leq 90k-270

91k\geq 570;

k\geq \frac{570}{91}; значит, k\geq 7, (т.к. k – целое)

Тогда S\geq 693.

Если k=7, то A=293,\;B=40.

Приведем пример, когда
A=293,\;B=40,\;S=693.

Пусть n=40,\;b_{i}=1;

A=293=13\cdot 8+27\cdot 7. Получим:

 

Интенсивная подготовка

Бесплатные пробные ЕГЭ

Расписание курсов

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)
                       +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

НОВЫЙ НАБОР 2020 ЕГЭ И ОГЭ

Типы подготовки:
Сказать спасибо
ege-tv

Полный онлайн-курс подготовки к ЕГЭ по математике. Структурировано. Четко. Без воды. Сдай ЕГЭ на 100 баллов!

Смотреть

Для нормального функционирования и Вашего удобства, сайт использует файлы cookies. Это совершенно обычная практика.Продолжая использовать портал, Вы соглашаетесь с нашей Политикой конфиденциальности.

Позвоните мне

Все поля обязательны для заполнения

Отправить

Премиум

Вся часть 2 на ЕГЭ по математике, от задачи 13 до задачи 19. То, о чем не рассказывают даже ваши репетиторы. Все приемы решения задач части 2. Оформление задач на экзамене. Десятки реальных задач ЕГЭ, от простых до самых сложных.

Видеокурс «Премиум» состоит из 7 курсов  для освоения части 2 ЕГЭ по математике (задачи 13-19). Длительность каждого курса - от 3,5 до 4,5 часов.

  1. Уравнения (задача 13)
  2. Стереометрия (задача 14)
  3. Неравенства (задача 15)
  4. Геометрия (задача 16)
  5. Финансовая математика (задача 17)
  6. Параметры (задача 18)
  7. Нестандартная задача на числа и их свойства (задача 19).

Здесь то, чего нет в учебниках. Чего вам не расскажут в школе. Приемы, методы и секреты решения задач части 2.

Каждая тема разобрана с нуля. Десятки специально подобранных задач, каждая из которых помогает понять «подводные камни» и хитрости решения.  Автор видеокурса Премиум - репетитор-профессионал Анна Малкова.

Получи пятерку

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

Сразу после оплаты вы получите ссылки на скачивание видеокурсов и уникальные ключи к ним.

Задачи комплекта «Математические тренинги - 2019» непростые. В каждой – интересные хитрости, «подводные камни», полезные секреты.

Варианты составлены так, чтобы охватить все возможные сложные задачи, как первой, так и второй части ЕГЭ по математике.

Как пользоваться?

  1. Не надо сразу просматривать задачи (и решения) всех вариантов. Такое читерство вам только помешает. Берите по одному! Задачи решайте по однойи старайтесь довести до ответа.
  2. Если почти ничего не получилось – начинать надо не с решения вариантов, а с изучения математики. Вам помогут книга для подготовки к ЕГЭи Годовой Онлайн-курс.
  3. Если вы правильно решили из первого варианта Маттренингов 5-7 задач – значит, знаний не хватает. Смотри пункт 1: Книгаи Годовой Онлайн-курс!
  4. Обязательно разберите правильные решения. Посмотрите видеоразбор – в нем тоже много полезного.
  5. Можно решать самостоятельно или вместе с друзьями. Или всем классом. А потом смотреть видеоразбор варианта.

Стоимость комплекта «Математические тренинги – 2019» - всего 1100 рублей. За 5 вариантов с решениями и видеоразбором каждого.

Это пробная версия онлайн курса по профильной математике.

Вы получите доступ к 3 темам, которые помогут понять принцип обучения, работу платформы и оценить ведущую курса Анну Малкову.

Вы получите:

— 3 темы курса (из 50).
— Текстовый учебник с видеопримерами.
— Мастер-класс Анны Малковой.
— Тренажер для отработки задач.

Регистрируйтесь, это бесплатно!

Нажимая на кнопку, вы даете согласие на обработку своих персональных данных