previous arrow
next arrow
Slider

Сборник  «36 тренировочных вариантов для подготовки к ЕГЭ» под редакцией И. В. Ященко, 2020 год. Вариант 32, задача 15

Решите неравенство: \(0,5^{-\frac{x-2}{2x+4}} \cdot 10^x \cdot x^{-2}\geq\frac{32^{-\frac{x-2}{2x+4}}\cdot40^x}{16x^2}.\)

Решение:

\(0,5^{-\frac{x-2}{2x+4}} \cdot 10^x \cdot x^{-2}\geq\frac{32^{-\frac{x-2}{2x+4}}\cdot40^x}{16x^2}.\)

Сделаем замену переменной:

\(-\frac{x-2}{2x+4}=\frac{2-x}{2x+4}=y;\)

\(\frac{0,5^y\cdot10^x}{x^2}\geq\frac{32^y\cdot10^x\cdot4^x}{16x^2}.\)

Разделим обе части неравенства на \(10^x\textgreater0\) и умножим на \(x^2\) при условии \(x\ne0.\)

\(\left\{\begin{matrix}
0,5^y\geq\frac{32^y\cdot4^x}{16}\\
x\ne0
\end{matrix}\right. .\)

Решим первое неравенство системы:

\(64^y\cdot4^x\leq16;\)

\(4^{3y}\cdot4^x\leq16;\)

\(4^{3y+x}\leq4^2;\)

\(3y+x\leq2.\)

Мы воспользовались свойством монотонного возрастания функции \(f(t)=4^t:\)

\(3\cdot \frac{2-x}{2x+4}+x\leq2;\)

\(\frac{6-3x}{2x+4}+x\leq2;\)

\(\frac{6-3x+2x^2+4x}{2x+4}-2\leq0;\)

\(\frac{6-3x+2x^2+4x-4x-8}{2x+4}\leq0;\)

\(\frac{2x^2-3x-2}{2x+4}\leq0;\)

\(2x^2-3x-2=2(x-2)(x+0,5).\)

\(\frac{(x-2)(x+0,5)}{x+2}\leq0;\) с учётом условия \(x\ne0\) получим:

\(x\in(-\infty;-2)\cup[-0,5;0)\cup(0;2].\)