Вариант на ЕГЭ по математике

Часть 1. Задания с кратким ответом.

1. Диагональ экра­на смартфона равна 4,7 дюйма. Вы­ра­зи­те диа­го­наль экра­на в сантиметрах, если в одном дюйме 2,54 см. Ре­зуль­тат округ­ли­те до десятых.

2. На графике показано изменение курса биткоина к рублю в 2017 году. Запишите порядковый номер месяца, в течение которого цена биткоина впервые превысила 600 тысяч рублей.

3. Найдите площадь закрашенной фигуры, изображенной на клетчатой бумаге с размером клетки

4. (Авторская задача) Два грузовика, работая совместно, вывозят снег с улицы Нижняя Подгорная, причем первый грузовик должен сделать три рейса с грузом снега, а второй - два. Вероятность застрять с грузом снега при подъеме в горку равна 0,2 для первого грузовика и 0,25 - для второго. С какой вероятностью грузовики вывезут снег с улицы Нижняя Подгорная, ни разу не застряв на горке?

5. Решите уравнение \(sin\frac{\pi (x+9)}{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}\) В ответе напишите наименьший положительный корень.

6. К окружности радиуса 36 проведена касательная из точки, удалённой от центра на расстояние, равное 85. Найдите длину касательной.

7. На рисунке изображен график производной функции у = f´(x), определенной на интервале (-6; 6). В какой точке отрезка [3; 5] функция у = f(x) принимает наименьшее значение?

8. Площадь полной поверхности конуса равна 9, образующая наклонена к основанию под углом 60°. Найти площадь поверхности сферы, вписанной в конус.

9. Найдите значение выражения
    
   \(\displaystyle \frac{2sin(a-7\pi )+cos(\frac{3\pi }{2}+a)}{sin(a+\pi )}\)

 

10. Ускорение свободного падения (в м/с²) на поверхности планеты рассчитывается по формуле , где G – гравитационная постоянная, .

Определите ускорение свободного падения на поверхности планеты Плюк, если масса Плюка равна \(3,68\cdot 10^{24}\) кг, а его радиус равен \(4,6\cdot 10^{6}\) метров.

 

11. Два поезда движутся навстречу друг другу со скоростями 56 и 52 км/ч. Пассажир, находящийся в первом поезде, замечает, что второй поезд проходит мимо него в течение 15 секунд. Найдите длину второго поезда. Ответ выразите в метрах.

12. Найдите точку максимума функции \(y=\log_{2}(2+2x-x^{2})-2\).

Часть 2. Задания с развернутым ответом.

13. (Авторская задача) Дано уравнение:

 
\(\displaystyle \frac{11-6cos 2x-16sin x}{\sqrt{\log_{5}tg x}}=0\)

а) Решите уравнение

б) Найдите все его корни на отрезке [-4π ; 0].

 

14. (Авторская задача) На продолжении ребра SA правильного тетраэдра SABC отмечена точка Р так, что SA = 2 AP. Точки М и N – середины ребер ВС и АС соответственно. Прямая PN пересекает ребро SC в точке Q.

а) Докажите, что плоскость QMN перпендикулярна ребру SC.

б) Найдите объем треугольной пирамиды SQMN, если все ребра тетраэдра равны 4.

15. (Авторская задача)

Решите неравенство:
 

16. (Авторская задача) Боковая сторона АВ трапеции ABCD перпендикулярна основаниям АD и ВС. Из точки М, лежащей на стороне АВ, опущен перпендикуляр МР на противоположную боковую сторону.

а) Докажите, что точки М, В, С и Р лежат на одной окружности.

б) Найдите площадь трапеции ABCD, если радиус вписанной в нее окружности равен 6,
а отношение АР : DM = 3 : 5.

 

17. (Авторская задача) В марте 2014 года Андрей открыл вклад в банке. 1-го января каждого года банк начисляет некоторый постоянный процент q. Затем в марте Андрей пополняет счет таким образом, чтобы сумма денег на счете возрастала согласно следующей таблице:

 

Март 2014	Март 2015	Март 2016	Март 2017
S	2S	3S	4S

 

В марте 2017 года Андрей, как обычно, пополнил вклад, а через месяц снял все деньги со счета. Известно, что всего Андрей дополнительно внес сумму, на 140% превышающую исходный вклад. Найдите q.

18. (Авторская задача) При каких значениях параметра а система уравнений

 


имеет ровно 3 решения?

19. Последовательностьсостоит из натуральных чисел, причём каждый член последовательности (кроме первого и последнего) больше среднего арифметического соседних (стоящих рядом с ним) членов.

а) Приведите пример такой последовательности, состоящей из пяти членов, сумма которых равна 60.

б) Может ли такая последовательность состоять из пяти членов и содержать два одинаковых числа?

в) Какое наименьшее значение может принимать сумма членов такой последовательности при n = 8?