Slider

Задача 17 Профильного ЕГЭ по математике. Исследование функций и производная.

Еще один тип заданий №17 Профильного ЕГЭ по математике — это задачи на нахождение точек максимума и минимума функций, а также их наибольших или наименьших значений. Многие из них решаются с помощью производной.

Такие задачи есть и в экономике. Например, максимизация прибыли или оптимизация издержек бизнеса — и многие другие.

1. Строительство нового завода стоит 78 млн рублей. Затраты на производство x тысяч единиц продукции на таком заводе равны 0,5x^2 + 2x + 6 млн рублей в год. Если продукцию завода продавать по цене p тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн рублей) за один год составит px - (0, 5x^2 + 2x + 6). Когда завод будет построен, фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем значении p строительство завода окупится не более, чем за 3 года?

Чтобы прибыль за три года была не меньше 78 млн рублей, необходимо, чтобы каждый год прибыль была не меньше 26 млн рублей. Это значит, что должно выполняться неравенство:

px-\left(0,5 x^2 +2x+6\right) \geq 26

Здесь px-\left( 0,5x^ 2 +2x+6\right) — прибыль за год. Рассмотрим функцию

Z\left(x\right)={ px-}\left({{ 0,5x}}^{{ 2}}{ +2x+6}\right)={{ -0,5x}}^{{ 2}}+\left(p-2\right)x-6.

Наибольшее значение этой функции должно быть не меньше, чем 26.

Графиком функции Z\left(x\right)={{ -0,5x}}^{{ 2}}+\left(p-2\right)x-6 является парабола с ветвями вниз. Наибольшее значение функции достигается при x=p-2, то есть в вершине параболы.

Значит, { Z}\left({ p-2}  \right)\geq { 26.} Получим:

{{ -0,5}\left({ p-2}\right)}^{{ 2}}+{\left(p-2\right)}^2-6 \geq 26,

{\left(p-2\right)}^2 \geq 64

{p-2}^{}\le -8 или {p-2}^{} \geq 8. Поскольку p \geq 0, получим: {p-2}^{}\geq 8. Тогда p^{} \geq 10

Ответ: {{ p}}_{min}{ =10}.

2. Зависимость объема Q (в штуках) купленного у фирмы товара от цены Р (в рублях за штуку) выражается формулой Q = 15000 - P, где 1000 \leq P \leq 15000. Доход от продажи товара составляет PQ рублей. Затраты на производство Q единиц товара составляют 3000Q + 5000000 рублей. Прибыль равна разности дохода от продажи товара и затрат на его производство.

Стремясь привлечь внимание покупателей, фирма уменьшила цену продукции на 20%, однако ее прибыль не изменилась. На сколько процентов следует увеличить сниженную цену, чтобы добиться наибольшей прибыли?

Будем рассматривать прибыль как функцию от цены продукции. Так как прибыль, по условию, равна разности дохода от продажи товара и затрат на его производство, получим:

Обратите внимание, что можно записывать 1000 как {{ 10}}^{{ 3}}, 1000000 как {{ 10}}^{{ 6}}. Работать со степенями проще, чем с длинными рядами нулей.

После того как фирма уменьшила первоначальную цену {{ p}}_0 на 20%, ее прибыль не изменилась. Значит,

Z\left(p_0\right)=Z(0,8p_0)

Приравняем эти величины.

-p^2_0+18\cdot {10}^3p_0=-{\left(0,8p_0\right)}^2+18\cdot {10}^3\cdot (0,8p_0)

p^2_0\cdot \left(1-{0,8}^2\right)=18\cdot {10}^3\cdot 0,2p_0.

Разделим обе части уравнения на p_0 \textgreater 0.

Получим:

p_0=\frac{18\cdot 2\cdot {10}^2\cdot 100}{36}=10\cdot {10}^3 руб.

Значит, первоначальная цена продукции равна 10 тысяч рублей за штуку. После снижения на 20% цена за штуку стала равна 8 тысяч рублей.

На сколько же процентов следует увеличить сниженную цену, чтобы прибыль была наибольшей? И при каком значении цены получается наибольшая прибыль?

Другими словами, мы находим наибольшее значение функции

Z\left(p\right)=-p^2+18\cdot {10}^3p-50\cdot {10}^6

Эта функция задает квадратичную параболу с ветвями вниз. Можно найти ее точку максимума с помощью производной. Или просто найти координату вершины параболы:

{{ p}}_{max}=9\cdot {10}^3=9000 рублей.

Остается решить стандартную задачу на проценты. На сколько процентов надо увеличить 8000, чтобы получить 9000?

8\cdot \left(1+\frac{x}{100}\right)=9

1+\frac{x}{100}=1+\frac{1}{8}=1+\frac{125}{1000}

\frac{x}{100}=\frac{125}{1000}

x=12,5

Ответ: на 12,5 %.

Теперь применение производной.

3. В распоряжении начальника имеется бригада рабочих в составе 24 человек. Их нужно распределить на день на два объекта. Если на первом объекте работает t человек, то их суточная зарплата составляет 4t^2 условных единиц. Если на втором объекте работает t человек, то их суточная зарплата составляет t^2 у. е. (условных единиц). Как нужно распределить на эти объекты бригаду рабочих, чтобы выплаты на их суточную зарплату оказались наименьшими? Сколько у. е. в этом случае придется заплатить рабочим?

Обратите внимание, что в этой задаче переменная t — это не время! Переменная t здесь — некий параметр, через который выражены количество работающих на объекте человек и их суточная зарплата.

Сколько человек работает на каждом объекте? Мы не знаем. Нам надо найти, сколько должно быть рабочих на каждом объекте, чтобы затраты на оплату их труда оказались наименьшими.

Пусть на первом объекте работает х человек. Тогда на втором 24 —х человек, поскольку всего в бригаде 24 рабочих. Запишем данные задачи в таблицу:

I объект II объект
Количество рабочих x 24-x
Оплата 4x^2 (24-x)^2

 

Пусть функция Z\left(x\right) - зависимость затрат на оплату труда рабочих от количества рабочих на первом объекте.

Z\left(x\right)=4x^2+{(24-x)}^2.

Найдем наименьшее значение функции Z\left(x\right). Раскроем скобки в формуле функции:

Z\left(x\right)=5x^2-48x+576.

Мы можем взять производную и найти {{ Z}}_{{ min}}{ (x)}. А можем просто заметить, что Z\left(x\right) - квадратичная парабола с ветвями вверх. Наименьшее ее значение достигается приx_0=\frac{48}{10}=4,8{ } — то есть в вершине параболы.

Да, но ведь число рабочих на первом объекте — целое, и оно никак не может быть равно 4,8. Что же делать?

Найдем значения функции Z\left(x\right) при x=4 и x=5 — то есть в ближайших к точке минимума целых точках.

Z\left(4\right)=464,

Z\left(5\right)=461 \textless Z\left(4\right).

Значит, оптимальное распределение рабочих по объектам — это 5 рабочих на первом объекте и 19 на втором. Затраты на оплату их труда в этом случае составляют 461 у.е.

И еще одна задача на производную.

4. Алексей приобрёл ценную бумагу за 7 тыс. рублей. Цена бумаги каждый год возрастает на 2 тыс. рублей. В любой момент Алексей может продать бумагу и положить вырученные деньги на банковский счёт. Каждый год сумма на счёте будет увеличиваться на 10%. В течение какого года после покупки Алексей должен продать ценную бумагу, чтобы через тридцать лет после покупки этой бумаги сумма на банковском счёте была наибольшей?

Пока Алексей не продал ценную бумагу, ее стоимость ежегодно увеличивается на 2 тысячи рублей. Через n лет ее стоимость равна 7+2\left({ n}-1\right)=5+2{ n} тысяч рублей.

Когда Алексей (через n лет после покупки) продал ценную бумагу и положил деньги на банковский счет, сумма на счете ежегодно увеличивается на 10% (то есть в 1,1 раза) в течение 30 — n лет.

Значит, через 30 лет после приобретения ценной бумаги эта сумма равна S_n=\left(5+2{ n}\right)\cdot {{ 1,1}}^{30-{ n}}

Рассмотрим функцию S\left({ x}\right)=\left(5+2{ x}\right)\cdot {{ 1,1}}^{30-{ x}}, совпадающую с {{ S}}_{{ n}} при целых значениях х, и найдем ее наибольшее значение на отрезке 0\le { x}\le 30.

Мы знаем, как найти наибольшее значение функции на отрезке. Взять производную, приравнять ее к нулю, найти точки экстремума, сравнить значения в точке максимума и на концах отрезка.

Приравняем производную к нулю. Поскольку {{ 1,1}}^{30-{ x}} \textgreater 0, исследуем знак выражения 2-\left(5+2{ x}\right)\cdot { ln1,1}=2-5{ ln1,1}-2{ x}\cdot { ln1,1}.

{{ S}}^{{ при {{ x}}_0=\frac{2-5{ ln1,1}}{2{ ln1,1}}

S{ если x \textless x_0

S{ если x \textgreater x_0

Значит, точка {{ x}}_0=\frac{2-5{ ln1,1}}{2{ ln1,1}} — точка максимума функции S(x).

Хорошо, но чем это нам поможет? Ведь значение {{ x}}_0 невозможно посчитать без калькулятора. Тупик? Зря вычисляли производную?

Нет, не зря. Мы выяснили, что функция стоимости ценной бумаги имеет точку максимума, причем единственную. И если в определенный момент не продать эту ценную бумагу, в итоге ее стоимость будет меньше максимально возможной.

Как же вычислить этот момент? Найдем, после скольких лет хранения будет более выгодно продать ценную бумагу и положить деньги на счет, чем продолжать хранить.

При хранении бумаги ее стоимость ежегодно увеличивается на 2 тысячи рублей. При продаже бумаги — увеличивается в 1,1 раза.

Пусть в момент продажи стоимость ценной бумаги S(k) равна S(k)=5+2k.

Если продать бумагу и положить деньги в банк сумма будет равна { 1,1}\left(5+2{ k}\right).

Если продолжать хранить — получим 5+2k+2=7+2k.

Необходимо выполнение условия: { 1,1}\left(5+2{ k}\right) \textgreater 7+2{ k};5,5+2,2k \textgreater 7+2k;

0,2k \textgreater 1,5;k \textgreater 7,5.

Тогда k=8.

Этого условия достаточно, поскольку мы доказали, что функция S(x) имеет единственную точку максимума. Значит, ценную бумагу надо продать на восьмой год после ее приобретения.

Ответ: 8.

Интенсивная подготовка

Бесплатные пробные ЕГЭ

Расписание курсов

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)
                       +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

НОВЫЙ НАБОР 2020 ЕГЭ И ОГЭ

Типы подготовки:
Сказать спасибо
ege-tv

Полный онлайн-курс подготовки к ЕГЭ по математике. Структурировано. Четко. Без воды. Сдай ЕГЭ на 100 баллов!

Смотреть

Для нормального функционирования и Вашего удобства, сайт использует файлы cookies. Это совершенно обычная практика.Продолжая использовать портал, Вы соглашаетесь с нашей Политикой конфиденциальности.

Позвоните мне

Все поля обязательны для заполнения

Отправить

Премиум

Вся часть 2 на ЕГЭ по математике, от задачи 13 до задачи 19. То, о чем не рассказывают даже ваши репетиторы. Все приемы решения задач части 2. Оформление задач на экзамене. Десятки реальных задач ЕГЭ, от простых до самых сложных.

Видеокурс «Премиум» состоит из 7 курсов  для освоения части 2 ЕГЭ по математике (задачи 13-19). Длительность каждого курса - от 3,5 до 4,5 часов.

  1. Уравнения (задача 13)
  2. Стереометрия (задача 14)
  3. Неравенства (задача 15)
  4. Геометрия (задача 16)
  5. Финансовая математика (задача 17)
  6. Параметры (задача 18)
  7. Нестандартная задача на числа и их свойства (задача 19).

Здесь то, чего нет в учебниках. Чего вам не расскажут в школе. Приемы, методы и секреты решения задач части 2.

Каждая тема разобрана с нуля. Десятки специально подобранных задач, каждая из которых помогает понять «подводные камни» и хитрости решения.  Автор видеокурса Премиум - репетитор-профессионал Анна Малкова.

Получи пятерку

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

Сразу после оплаты вы получите ссылки на скачивание видеокурсов и уникальные ключи к ним.

Задачи комплекта «Математические тренинги - 2019» непростые. В каждой – интересные хитрости, «подводные камни», полезные секреты.

Варианты составлены так, чтобы охватить все возможные сложные задачи, как первой, так и второй части ЕГЭ по математике.

Как пользоваться?

  1. Не надо сразу просматривать задачи (и решения) всех вариантов. Такое читерство вам только помешает. Берите по одному! Задачи решайте по однойи старайтесь довести до ответа.
  2. Если почти ничего не получилось – начинать надо не с решения вариантов, а с изучения математики. Вам помогут книга для подготовки к ЕГЭи Годовой Онлайн-курс.
  3. Если вы правильно решили из первого варианта Маттренингов 5-7 задач – значит, знаний не хватает. Смотри пункт 1: Книгаи Годовой Онлайн-курс!
  4. Обязательно разберите правильные решения. Посмотрите видеоразбор – в нем тоже много полезного.
  5. Можно решать самостоятельно или вместе с друзьями. Или всем классом. А потом смотреть видеоразбор варианта.

Стоимость комплекта «Математические тренинги – 2019» - всего 1100 рублей. За 5 вариантов с решениями и видеоразбором каждого.

Это пробная версия онлайн курса по профильной математике.

Вы получите доступ к 3 темам, которые помогут понять принцип обучения, работу платформы и оценить ведущую курса Анну Малкову.

Вы получите:

— 3 темы курса (из 50).
— Текстовый учебник с видеопримерами.
— Мастер-класс Анны Малковой.
— Тренажер для отработки задач.

Регистрируйтесь, это бесплатно!

Нажимая на кнопку, вы даете согласие на обработку своих персональных данных