Условие задачи:
На сторонах прямоугольного треугольника \(ABC\) с прямым углом \(C\) построены во внешнюю сторону квадраты \(ABB_1A_1\), \(ACC_1A_2\) и \(BCC_2B_2\). Докажите, что:
а) Прямые \(AB_2\) и \(A_2B\) отсекают от катетов треугольника \(ABC\) равные отрезки
б) Прямые \(AB_2\), \(A_2B\) и высота треугольника \(ABC\), проведённая из вершины \(C\), пересекаются в одной точке.
Решение:
а) Пусть \(AB_2 \cap BC=E, \; BA_2 \cap AC=F.\)
Докажем, что \(CE=CF.\)
Обозначим \(BC=a, \, \, AC=b.\)
\(\triangle FBC \sim \triangle A_2BC_1\) по 2 углам,
\(\displaystyle \frac{FC}{A_2C_1}=\frac{BC}{BC_1}\), так как \(A_2C_1=AC=b,\)
\(BC_1=BC+CC_1=a+b.\) П
Получим: \(\displaystyle \frac{FC}{b}=\frac{a}{a+b}. \,\) (1)
\(\triangle ACE \sim \triangle AC_2B_2\) по 2 углам,
\(\displaystyle \frac{CE}{C_2B_2}=\frac{AC}{AC_2}; \, \, \, \frac{CE}{a}=\frac{b}{a+b}. \, \,\) (2)
\(\displaystyle \frac{FC \cdot a}{CE \cdot b} = \frac{a}{b},\) отсюда \(FC=CE.\)
б) Докажем, что \(A_2B \cap AB_2 = K, \; CK \perp AB.\)
Это значит, что прямые \(A_2B, \,\) \(AB_2\) и \(CH\) (высота к гипотенузе \(AB\)) пересекаются в одной точке.
Введём систему координат с началом в точке \(C;\) запишем координаты точек.
\(A(0; b); \, B(a;0).\)
\(A_2(-b; b); \, B_2(a;-a).\)
Так как \(CF=CE=\displaystyle \frac{ab}{a+b},\) координаты точек \(E\) и \(F\):
\(E\left (\displaystyle \frac{ab}{a+b};0\right ) \, F\left (0; \displaystyle \frac{ab}{a+b}\right ).\)
Запишем уравнение прямых \(BA_2\) и \(AB_2.\)
Прямая \(BA_2\) проходит через точки \(B(a;0)\) и \(A_2(-b;b).\) Её уравнение:
\(y= - \displaystyle \frac{b}{a+b} x+\frac{ab}{a+b}.\)
Прямая \(AB_2\) проходит через точки \(A(0;b)\) и \(B_2(a;-a).\) Её уравнение:
\(y= - \displaystyle \frac{b \cdot (a+b)}{ab} x+b = - \frac{a+b}{a}x+b.\)
Точка \(K\) – точка их пересечения, \(K=BA_2 \cap AB_2.\) найдём координаты точки \(K\), решив систему уравнений
\(\left\{\begin{matrix}-\displaystyle \frac{b}{a+b} x + \frac{ab}{a+b} = - \frac{a+b}{a}x+b,
\\ y = \displaystyle -\frac{bx}{a+b} + \frac{ab}{a+b}. \end{matrix}\right.\)
Получим: \(x= \displaystyle \frac{ab^2}{a^2+ab+b^2}, \, \, y= \frac{a^2b}{a^2+ab+b^2}\) найдём скалярное произведение векторов \(\overrightarrow{AB} (a;-b)\) и
\(\overrightarrow{CK} \left ( \displaystyle \frac{ab^2}{a^2+ab+b^2}; \, \displaystyle \frac{a^2b}{a^2+ab+b^2} \right ).\)
\( \overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{CK}\), значит, точка \(K\) лежит на высоте \(CH\) треугольника \(ABC.\)
