Условие задачи:
На сторонах прямоугольного треугольника с прямым углом
построены во внешнюю сторону квадраты
,
и
. Докажите, что:
а) прямые и
отсекают от катетов треугольника
равные отрезки
б) прямые ,
и высота треугольника
, проведённая из вершины
, пересекаются в одной точке.
Решение:
а) Пусть ,
.
Докажем, что .
Обозначим
по 2 углам,
, так как
получим:
(1)
по 2 углам,
(2)
отсюда
б) Докажем, что
Это значит, что прямые
и
(высота к гипотенузе
) пересекаются в одной точке.
Введём систему координат с началом в точке запишем координаты точек.
Так как координаты точек
и
:
Запишем уравнение прямых и
.
Прямая проходит через точки
и
Её уравнение:
Прямая проходит через точки
и
Её уравнение:
Точка – точка их пересечения,
найдём координаты точки
, решив систему уравнений
Получим: найдём скалярное произведение векторов
и
, значит, точка
лежит на высоте
треугольника
.
Благодарим за то, что пользуйтесь нашими материалами. Информация на странице «Задача на доказательство. Планиметрия.» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.
Публикация обновлена: 08.05.2023