previous arrow
next arrow
Slider

Задача на доказательство. Планиметрия.

Условие задачи:

На сторонах прямоугольного треугольника ABC с прямым углом C построены во внешнюю сторону квадраты ABB_1A_1, ACC_1A_2 и BCC_2B_2. Докажите, что:

а) прямые AB_2 и A_2B отсекают от катетов треугольника ABC равные отрезки

б) прямые AB_2, A_2B и высота треугольника ABC, проведённая из вершины C, пересекаются в одной точке.

Решение:

а) Пусть AB_2 \cap BC=E,
BA_2 \cap AC=F.

Докажем, что CE=CF.

Обозначим BC=a, \, \, AC=b

\triangle FBC \sim \triangle A_2BC_1 по 2 углам,

\frac{FC}{A_2C_1}=\frac{BC}{BC_1}, так как A_2C_1=AC=b,

BC_1=BC+CC_1=a+b, получим:

\frac{FC}{b}=\frac{a}{a+b}. \, (1)

\triangle ACE \sim \triangle AC_2B_2 по 2 углам,

\frac{CE}{C_2B_2}=\frac{AC}{AC_2}; \, \, \, \frac{CE}{a}=\frac{b}{a+b}. \, \, (2)

\frac{FC \cdot a}{CE \cdot b} = \frac{a}{b}, отсюда FC=CE.

б) Докажем, что A_2B \cap AB_2 = K,

CK \perp AB.

Это значит, что прямые A_2B, \, AB_2 и CH (высота к гипотенузе AB) пересекаются в одной точке.

Введём систему координат с началом в точке C; запишем координаты точек.

A(0; b); \, B(a;0).

A_2(-b; b); \, B_2(a;-a).

Так как CF=CE=\frac{ab}{a+b}, координаты точек E и F:

E(\frac{ab}{a+b};0) \, F(0; \frac{ab}{a+b}).

Запишем уравнение прямых BA_2 и AB_2.

Прямая BA_2 проходит через точки B(a;0) и A_2(-b;b). Её уравнение:

y= - \frac{b}{a+b} x+\frac{ab}{a+b}.

Прямая AB_2 проходит через точки A(0;b) и B_2(a;-a). Её уравнение:

y= - \frac{b \cdot (a+b)}{ab} x+b = - \frac{a+b}{a}x+b.

Точка K – точка их пересечения, K=BA_2 \cap AB_2; найдём координаты точки K, решив систему уравнений

\left\{\begin{matrix}- \frac{b}{a+b} x + \frac{ab}{a+b} = - \frac{a+b}{a}x+b\\ y = -\frac{bx}{a+b} + \frac{ab}{a+b}. \hfill\end{matrix}\right.

Получим: x= \frac{ab^2}{a^2+ab+b^2}, \, \, y= \frac{a^2b}{a^2+ab+b^2} найдём скалярное произведение векторов \overrightarrow{AB} (a;-b) и \overrightarrow{CK} \left ( \frac{ab^2}{a^2+ab+b^2}; \, \frac{a^2b}{a^2+ab+b^2}. \right )

\overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{CK}, значит, точка K лежит на высоте CH треугольника ABC.