Задача на доказательство. Планиметрия.

Условие задачи:

На сторонах прямоугольного треугольника $ABC$ с прямым углом $C$ построены во внешнюю сторону квадраты $ABB_1A_1$ , $ACC_1A_2$ и $BCC_2B_2$ . Докажите, что:

а) прямые $AB_2$ и $A_2B$ отсекают от катетов треугольника $ABC$ равные отрезки

б) прямые $AB_2$ , $A_2B$ и высота треугольника $ABC$ , проведённая из вершины $C$ , пересекаются в одной точке.

Решение:

а) Пусть $AB_2 \cap BC=E$ ,
$BA_2 \cap AC=F$ .

Докажем, что $CE=CF$ .

Обозначим $BC=a, \, \, AC=b$

$\triangle FBC \sim \triangle A_2BC_1$ по 2 углам,

$\frac{FC}{A_2C_1}=\frac{BC}{BC_1}$ , так как $A_2C_1=AC=b,$

$BC_1=BC+CC_1=a+b,$ получим:

$\frac{FC}{b}=\frac{a}{a+b}. \,$ (1)

$\triangle ACE \sim \triangle AC_2B_2$ по 2 углам,

$\frac{CE}{C_2B_2}=\frac{AC}{AC_2}; \, \, \, \frac{CE}{a}=\frac{b}{a+b}. \, \,$ (2)

$\frac{FC \cdot a}{CE \cdot b} = \frac{a}{b},$ отсюда $FC=CE.$

б) Докажем, что $A_2B \cap AB_2 = K,$

$CK \perp AB.$

Это значит, что прямые $A_2B, \,$ $AB_2$ и $CH$ (высота к гипотенузе $AB$ ) пересекаются в одной точке.

Введём систему координат с началом в точке $C;$ запишем координаты точек.

$A(0; b); \, B(a;0).$

$A_2(-b; b); \, B_2(a;-a).$

Так как $CF=CE=\frac{ab}{a+b},$ координаты точек $E$ и $F$ :

$E(\frac{ab}{a+b};0) \, F(0; \frac{ab}{a+b}).$

Запишем уравнение прямых $BA_2$ и $AB_2$ .

Прямая $BA_2$ проходит через точки $B(a;0)$ и $A_2(-b;b).$ Её уравнение:

$y= - \frac{b}{a+b} x+\frac{ab}{a+b}.$

Прямая $AB_2$ проходит через точки $A(0;b)$ и $B_2(a;-a).$ Её уравнение:

$y= - \frac{b \cdot (a+b)}{ab} x+b = - \frac{a+b}{a}x+b.$

Точка $K$ – точка их пересечения, $K=BA_2 \cap AB_2;$ найдём координаты точки $K$ , решив систему уравнений

$\left\{\begin{matrix}- \frac{b}{a+b} x + \frac{ab}{a+b} = - \frac{a+b}{a}x+b\\ y = -\frac{bx}{a+b} + \frac{ab}{a+b}. \hfill\end{matrix}\right.$

Получим: $x= \frac{ab^2}{a^2+ab+b^2}, \, \, y= \frac{a^2b}{a^2+ab+b^2}$ найдём скалярное произведение векторов $\overrightarrow{AB} (a;-b)$ и $\overrightarrow{CK} \left ( \frac{ab^2}{a^2+ab+b^2}; \, \frac{a^2b}{a^2+ab+b^2}. \right )$

$\overrightarrow{AB} \perp \overrightarrow{CK}$ , значит, точка $K$ лежит на высоте $CH$ треугольника $ABC$ .

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими материалами. Информация на странице «Задача на доказательство. Планиметрия.» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена: 08.05.2023

Задача на доказательство. Планиметрия.

Это полезно