previous arrow
next arrow
Slider

Задачи ЕГЭ на числа и их свойства. Подготовительные задачи

Анна Малкова

Задача №19 Профильного ЕГЭ по математике. Странная. Ни на что не похожая. В ней нет ни синусов, ни логарифмов, ни производных… но попробуй реши!

Мы разберем реальные задачи Профильного ЕГЭ на числа и их свойсва. Но не сразу. Сначала – подготовительные задачи. Они помогут понять основные принципы решения таинственной 19-й задачи.

1. Встретились как-то раз два математика. Когда-то они вместе учились в школе, много лет друг друга не видели, и им было о чем поговорить.
Один сказал, что у него трое сыновей. И что произведение возрастов этих детей равно 36.

Второй спросил: «А чему равна сумма их возрастов»

– А сумма возрастов, - сказал первый, - такая же, как и номер автобуса, который только что проехал мимо.

- Не хватает данных, - ответил второй.

- Хорошо, - согласился первый. – Старший сын рыжий.

Второй назвал возраст детей.

Как он это сделал?

Будем считать, что возрасты сыновей математика – целые положительные (то есть натуральные) числа. Произведение трех натуральных чисел равно 36. Запишем возможные варианты, а также сумму возрастов детей в каждом случае.

Возрасты детей Сумма возрастов
1 1 36 38
1 2 18 21
1 3 12 16
1 4 9 14
1 6 6 13
2 2 9 13
2 3 6 11
3 3 4 10

Если бы номер проехавшего автобуса был равен 21, или 10, или 11, возрасты детей определялись бы однозначно. Но второй математик сказал, что ему не хватает данных. Значит, номер автобуса равен 13. Возможны варианты: 1, 6 и 6 лет или 2, 2 и 9 лет. Фраза «Старший сын рыжий» подразумевает, что среди мальчиков есть старший. В случае, когда возрасты детей равны 1, 6 и 6 лет, старших двое, и этот вариант не подходит. Значит, старшему 9 лет, а младшим по 2 года.

В задаче 19 Профильного ЕГЭ по математике тоже используется перебор вариантов. Но не хаотичный, а умный, то есть перебор вариантов по определенному правилу.

Вот еще одна задача, которая появилась задолго до ЕГЭ. Когда-то она была предложена на экзаменах в Финансовый университет и давно уже стала народной. В ней есть забавная ловушка, поэтому лучше решать ее большой компанией. Рекомендую учителям матклассов и ведущим курсов подготовки к ЕГЭ!

2.Два брата продали стадо овец, выручив за каждую овцу столько рублей, сколько было в стаде овец. Решив разделить выручку поровну, они поступили следующим образом: каждый брат, начиная со старшего, брал из общей суммы по 10 рублей. После того, как в очередной раз старший брат взял 10 рублей, остаток от выручки оказался меньше 10 рублей. Желая его компенсировать, старший брат отдал младшему свой нож. Во сколько рублей был оценен этот нож? (Все суммы денег выражаются натуральными числами).

Пусть в стаде n овец, и за каждую выручили n рублей.

Теперь у братьев есть n^{2} рублей.

Пусть из кучки в n^{2} рублей братья k раз берут по 10 рублей. Старший, потом младший, опять старший, и опять младший… И вот старший брат взял десятку, и осталось
y рублей. Теперь младший брат слегка обиженно смотрит на старшего, и старший отдает ему свой нож. Представили?

Пусть нож оценен в x рублей.

Запишите систему условий. И проверьте, что у вас получилось.

Вот что у меня:

Первое уравнение вопросов не вызывает, правда? Со вторым – неравенством – тоже все понятно. Остаток от деления на 10 ненулевой и меньше 10, и мы записали эти условия в виде нестрогого неравенства. А вот третье уравнение...

Что же оно означает?
Каждый из братьев получил одинаковое количество десяток. И еще младший брат взял y рублей и нож, оцененный в x рублей (это левая часть уравнения). А старший брат взял на одну десятку больше, но зато лишился ножа – значит, он стал на x рублей беднее.

Получаем: 2x=10-y, то есть y=10-2x.

Правая часть уравнения делится на 2. Значит, и левая его часть делится на 2, и тогда y – четное число.

Тогда из первого уравнения следует, что n^{2} – четная величина. Но если квадрат натурального числа является четной величиной, значит, и само число четно. И тогда
n^{2} делится на 4.

Поскольку y – четный остаток от деления на 10, то у может принимать значения: 2, 4, 6, 8.

Тогда запись n^{2}=10k+y означает, что n^{2} оканчивается на 2, 4, 6 или 8. Теперь 2 и 8 можно отбросить, поскольку ни один квадрат целого числа ни на 2, ни на 8 не заканчивается. Остаются варианты y=4 и y=6. Что же из них является правильным ответом?

Вспомним еще одно условие: последним взял 10 рублей старший брат. Это значит, что k, то есть количество десяток, – нечетно. Пусть k=2m+1.

Если y=4, то n^{2}=10\left ( 2m+1 \right )=20m+14. Получим:

n^{2}-20m=14.

Посмотрим внимательно на это уравнение в целых числах. Поскольку n^{2} делится на 4, 20 делится на 4, то левая часть уравнения делится на 4. Но правая его часть, равная 14, на 4 не делится! Значит, у него нет решений, и y=4 не подходит.

Если y=6, то n^{2}=10\left ( 2m+1 \right )+6=20m+16, противоречий нет. В этом случае x=2.

Вот такие они – задачи на числа и их свойства. Иногда кажется, что условие и то, о чем спрашивается, никак не связаны. Научиться решать их – целое искусство.

Для того чтобы лучше освоить тему, читайте статью «Делимость чисел»

Интересно, что в Базовом ЕГЭ по математике тоже есть задание на числа и их свойства. И тоже под номером 19. Их вполне можно считать подготовительными.

Обратите внимание, что даже решая их подбором – мы не перебираем все числа подряд, а следуем определенному правилу.

3. Вычеркните в числе 24715905 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 30. В ответе укажите какое-нибудь одно получившееся число.

Чтобы число делилось на 30, оно должно делиться на 3 и на 10. Вычеркнем на конце исходного числа цифру 5. Получившееся число 2471590 делится на 10. Сумма его цифр равна 28. Вычеркнем цифры 7. Теперь сумма цифр равна 21, число 241590 делится на 3. Вычеркнем 9 – третью цифру. Число 24150 делится на 30, поскольку делится на 3 и на 10.

Ответ: 24150. Возможны и другие ответы.

4. Найдите четырехзначное число, кратное 66, все цифры которого различны и четны. В ответе укажите какое-нибудь такое число.

Если число кратно 66, то оно делится на 2, на 3 и на 11. Значит, оно четно, сумма его цифр делится на 3. Кроме того, выполняется признак деления на 11:

Число делится на 11 тогда и только тогда, когда суммы цифр на четных и нечетных позициях числа a равны или их разность кратна 11.

Четные цифры: 2, 4, 6, 8, 0.

Число 2640 четно, сумма цифр делится на 3, 2 + 4 = 6 + 0.

Ответ: 2640.

5. Найдите четырёхзначное число, большее 2000, но меньшее 4000, которое делится на 18 и каждая следующая цифра которого больше предыдущей. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.
Число делится на 18, если оно четно и сумма его цифр делится на 9.
Первая цифра нашего числа – либо 2, либо 3. Последняя 6 или 8 (четная).

Случай, когда первая цифра равна 2, а последняя цифра равна 6, не подходит: числа 2346 и 2456 не делятся на 9. Число 3456 – четно и делится на 9.

Ответ: 3456.

6. Приведите пример трёхзначного натурального числа, большего 600, которое при делении на 4, на 5 и на 6 даёт в остатке 3 и цифры которого расположены в порядке убывания слева направо. В ответе укажите ровно одно такое число.

Обозначим наше число А. Поскольку число А которое при делении на 4, на 5 и на 6 даёт в остатке 3, число В = А – 3 делится на 4, на 5 и на 6. Значит, В делится на их наименьшее общее кратное, то есть на 60.

Поскольку А ≥ 601, В ≥ 588. Возможные значения для В:
600, 660, 720, 780, 840, 900, 960.

Возьмем число 963. При делении на 4, на 5 и на 6 оно дает в остатке 3, и его цифры которого расположены в порядке убывания слева направо. Они даже образуют убывающую арифметическую прогрессию!

Ответ: 963.

7. Найдите натуральное число, большее 1340, но меньшее 1640, которое делится на каждую свою цифру и все цифры которого различны и не равны нулю. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Обозначим наше число А. Поскольку 1341 ≤ А ≤ 1639, первая цифра этого числа равна 1.

Возьмем число 1395. Оно делится на 1, на 3, на 9 и на 5. Просто подбор.

Ответ: 1395.