Секрет задач на движение по окружности: тот, кто обгоняет, проезжает на 1 круг больше, если это первый обгон. И на n кругов больше, если обогнал другого в n-ный раз.
1. Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 8 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 114 км/ч, и через 20 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.
Автомобили стартовали одновременно, и первый автомобиль через 20 минут после старта опережал второй автомобиль на один круг. Значит, за эти 20 минут, то есть за \(\displaystyle\frac{1}{3}\) часа он проехал на 1 круг больше – то есть на 8 км больше.
За час первый автомобиль проедет на \(8\cdot3=24\) км больше второго. Скорость второго автомобиля на 24 км/ч меньше, чем у первого, и равна \(114 - 24 = 90\) км/ч.
Ответ: 90.
2. Из пункта \(A\) круговой трассы выехал велосипедист, а через \(30\) минут следом за ним отправился мотоциклист. Через \(10\) минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через \(30\) минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна \(30\) км. Ответ дайте в км/ч.
Во-первых, переведем минуты в часы, поскольку скорость надо найти в км/ч. Скорости участников обозначим за \(x\) и \(y\). В первый раз мотоциклист обогнал велосипедиста через \(10\) минут, то есть через \(\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 6}\) часа после старта. До этого момента велосипедист был в пути \(40\) минут, то есть \(\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 2}{\displaystyle 3}\) часа.
Запишем эти данные в таблицу:
| \(v\) | \(t\) | \(S\) | |
| велосипедист | \(x\) | \(\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 2}{\displaystyle 3}\) | \(\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 2}{\displaystyle 3}x\) |
| мотоциклист | \(y\) | \(\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 6}\) | \(\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 6}y\) |
Оба проехали одинаковые расстояния, то есть \(\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 6}y=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 2}{\displaystyle 3}x\).
Затем мотоциклист второй раз обогнал велосипедиста. Произошло это через \(30\) минут, то есть через \(\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}\) часа после первого обгона.
Нарисуем вторую таблицу.
| \(v\) | \(t\) | \(S\) | |
| велосипедист | \(x\) | \(\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}\) | \(\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}x\) |
| мотоциклист | \(y\) | \(\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}\) | \(\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}y\) |
А какие же расстояния они проехали? Мотоциклист обогнал велосипедиста. Значит, он проехал на один круг больше. Это и есть секрет данной задачи. Один круг — это длина трассы, она равна \(30\) км. Получим второе уравнение:
\(\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}y-\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}x=30.\)
Решим получившуюся систему.
\(\left\{\begin{matrix}\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 6}y=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 2}{\displaystyle 3}x,
\\
\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}y-\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}x=30.
\end{matrix}\right.\)
\(\left\{\begin{matrix}y=4x,
\\ y-x=60.
\end{matrix}\right.\)
Получим, что \(x=20, y=80\). В ответ запишем скорость мотоциклиста.
Ответ: \(80\).
3. Часы со стрелками показывают \(8\) часов \(00\) минут. Через сколько минут минутная стрелка в четвертый раз поравняется с часовой?
Покажем простой способ решения этой задачи.
Мы знаем, что стрелки часов встречаются в полдень и в полночь, когда и часовая, и минутная стрелки указывают на 12. Но есть и другие моменты, когда встречаются часовая и минутная стрелки. На промежутке от 8 до 12 часов есть три таких момента. Это примерно в 8.45, примерно в 9.50 и примерно в 10.55. А в четвертый раз стрелки поравняются ровно в 12.00, то есть через 4 часа.
4 часа - 240 минут.
Ответ: 240.
Теперь второй способ решения задачи.
За один час минутная стрелка проходит один круг, а часовая \(\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 12}\) часть круга. Пусть их скорости равны \(1\) (круг в час) и \(\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 12}\) (круга в час). Старт — в \(8.00\). Найдем время, за которое минутная стрелка в первый раз догонит часовую.
Минутная стрелка пройдет на \(\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 2}{\displaystyle 3}\) круга больше, поэтому уравнение будет таким:
\(1 \cdot t - \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 12}t=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 2}{\displaystyle 3}\)
Решив его, получим, что \(\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 8}{\displaystyle 11}\) часа. Итак, в первый раз стрелки поравняются через \(\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 8}{\displaystyle 11}\) часа. Пусть во второй раз они поравняются через время \(z\). Минутная стрелка пройдет расстояние \(1 \cdot z\), а часовая \(\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 12}z\), причем минутная стрелка пройдет на один круг больше. Запишем уравнение:
\(1 \cdot z-\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 12}z=1\)
Решив его, получим, что \(z=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 12}{\displaystyle 11}\) часа. Итак, через \(\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 12}{\displaystyle 11}\) часа стрелки поравняются во второй раз, еще через \(\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 12}{\displaystyle 11}\) часа — в третий, и еще через \(\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 12}{\displaystyle 11}\) часа — в четвертый.
Значит, если старт был в \(8.00\), то в четвертый раз стрелки поравняются через \(\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 8}{\displaystyle 11}+3 \cdot \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 12}{\displaystyle 11}\) часа.
Ответ полностью согласуется с «экспериментальным» решением! :-)
А сейчас покажем вам один из секретов решения текстовых задач. Что делать, если у вас получился в уравнении пятизначный дискриминант? Да, это реальная ситуация! Это может встретиться в варианте ЕГЭ.
4. Два гонщика участвуют в гонках. Им предстоит проехать 60 кругов по кольцевой трассе протяжённостью 3 км. Оба гонщика стартовали одновременно, а на финиш первый пришёл раньше второго на 10 минут. Чему равнялась средняя скорость второго гонщика, если известно, что первый гонщик в первый раз обогнал второго на круг через 15 минут? Ответ дайте в км/ч.
Первый гонщик через 15 минут после старта обогнал второго на 1 круг. Значит, за 15 минут он проехал на 1 круг, то есть на 3 километра больше. За час он проедет на \(3\cdot4 = 12\) километров больше. Его скорость на 12 км/ч больше, чем скорость второго.
Как всегда, составляем таблицу и уравнение. 10 минут переведем в часы. Это \(\displaystyle\frac{1}{4}\) часа.
\(\displaystyle\frac{180}{x}-\frac{180}{x+12}=\frac{1}{6};\)
Честно преобразовав это уравнение к квадратному, получим:
\(x^2 + 12 x - 12960 = 0.\)
Пятизначный дискриминант, вот повезло! Но есть и другой способ решения, и он намного проще.
Посмотрим еще раз на наше уравнение:
\(\displaystyle\frac{180}{x}-\frac{180}{x+12}=\frac{1}{6}\)
Заметим, что 180 делится на 12. Сделаем замену: \(x=12z.\)
\(\displaystyle \frac{180}{12z}-\frac{180}{12z+12}=\frac{1}{6};\)
\(\displaystyle \frac{15}{z}-\frac{15}{z+1}=\frac{1}{6};\)
\(\displaystyle\frac{90}{z}-\frac{90}{z+1}=1.\)
Это уравнение легко привести к квадратному и решить.
Целый положительный корень этого уравнения: \(z=9.\) Тогда \(x=12z=108.\)
Ответ: 108.
Мы решили текстовую задачу с помощью замены переменной. Этот прием в математике используется везде: в решении задач, уравнений и неравенств, в задачах с параметрами и интегрировании. Общее правило: можете сделать замену переменной – сделайте.
