Задачи ЕГЭ на движение по окружности

Секрет задач на движение по окружности: тот, кто обгоняет, проезжает на 1 круг больше, если это первый обгон. И на n кругов больше, если обогнал другого в n-ный раз.

$1.$ Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 8 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 114 км/ч, и через 20 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.

Автомобили стартовали одновременно, и первый автомобиль через 20 минут после старта опережал второй автомобиль на один круг. Значит, за эти 20 минут, то есть за $\frac{1}{3}$ часа он проехал на 1 круг больше – то есть на 8 км больше.

За час первый автомобиль проедет на $8\cdot3=24$ км больше второго. Скорость второго автомобиля на 24 км/ч меньше, чем у первого, и равна 114 - 24 = 90 км/ч.

Ответ: 90.

$2.$ Из пункта $A$ круговой трассы выехал велосипедист, а через $30$ минут следом за ним отправился мотоциклист. Через $10$ минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через $30$ минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна $30$ км. Ответ дайте в км/ч.

Во-первых, переведем минуты в часы, поскольку скорость надо найти в км/ч. Скорости участников обозначим за $x$ и $y$ . В первый раз мотоциклист обогнал велосипедиста через $10$ минут, то есть через $\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 6}$ часа после старта. До этого момента велосипедист был в пути $40$ минут, то есть $\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 2}{\displaystyle 3}$ часа.

Запишем эти данные в таблицу:

	$v$	$y$	$S$
велосипедист	$x$	$\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 2}{\displaystyle 3}$	$\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 2}{\displaystyle 3}x$
мотоциклист	$y$	$\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 6}$	$\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 6}y$

Оба проехали одинаковые расстояния, то есть $\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 6}y=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 2}{\displaystyle 3}x$ .

Затем мотоциклист второй раз обогнал велосипедиста. Произошло это через $30$ минут, то есть через $\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}$ часа после первого обгона.

Нарисуем вторую таблицу.

	$v$	$t$	$S$
велосипедист	$x$	$\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}$	$\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}x$
мотоциклист	$y$	$\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}$	$\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}y$

А какие же расстояния они проехали? Мотоциклист обогнал велосипедиста. Значит, он проехал на один круг больше. Это и есть секрет данной задачи. Один круг — это длина трассы, она равна $30$ км. Получим второе уравнение:

$\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}y-\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}x=30$

Решим получившуюся систему.

$\left\{\begin{matrix}\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 6}y=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 2}{\displaystyle 3}x\\\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}y-\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}x=30\end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix}y=4x\\ y-x=60\end{matrix}\right.$

Получим, что $x=20, y=80$ . В ответ запишем скорость мотоциклиста.

Ответ: $80$ .

$3.$ Часы со стрелками показывают $8$ часов $00$ минут. Через сколько минут минутная стрелка в четвертый раз поравняется с часовой?

Это, пожалуй, самая сложная задача из вариантов ЕГЭ. Конечно, есть простое решение — взять часы со стрелками и убедиться, что в четвертый раз стрелки поравняются через $4$ часа, ровно в $12.00$ .
А как быть, если у вас электронные часы и вы не можете решить задачу экспериментально?

За один час минутная стрелка проходит один круг, а часовая $\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 12}$ часть круга. Пусть их скорости равны $1$ (круг в час) и $\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 12}$ (круга в час). Старт — в $8.00$ . Найдем время, за которое минутная стрелка в первый раз догонит часовую.

Минутная стрелка пройдет на $\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 2}{\displaystyle 3}$ круга больше, поэтому уравнение будет таким:
$1 \cdot t - \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 12}t=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 2}{\displaystyle 3}$

Решив его, получим, что $\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 8}{\displaystyle 11}$ часа. Итак, в первый раз стрелки поравняются через $\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 8}{\displaystyle 11}$ часа. Пусть во второй раз они поравняются через время $z$ . Минутная стрелка пройдет расстояние $1 \cdot z$ , а часовая $\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 12}z$ , причем минутная стрелка пройдет на один круг больше. Запишем уравнение:

$1 \cdot z-\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 12}z=1$

Решив его, получим, что $z=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 12}{\displaystyle 11}$ часа. Итак, через $\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 12}{\displaystyle 11}$ часа стрелки поравняются во второй раз, еще через $\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 12}{\displaystyle 11}$ часа — в третий, и еще через $\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 12}{\displaystyle 11}$ часа — в четвертый.

Значит, если старт был в $8.00$ , то в четвертый раз стрелки поравняются через $\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 8}{\displaystyle 11}+3\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 12}{\displaystyle 11}$ часа.

Ответ полностью согласуется с «экспериментальным» решением! :-)

На экзамене по математике вам может также встретиться задача о нахождении средней скорости. Запомним, что средняя скорость не равна среднему арифметическому скоростей. Она находится по специальной формуле:

$v_{cp}=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle S_o}{\displaystyle t_o}$ ,

где $v_{cp}$ — средняя скорость, $S_o$ - общий путь, $t_o$ — общее время.

Если участков пути было два, то

$v_{cp}=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle S_1 + S_2}{\displaystyle t_1+t_2}$

А сейчас покажем вам один из секретов решения текстовых задач. Что делать, если у вас получился в уравнении пятизначный дискриминант? Да, это реальная ситуация! Это может встретиться в варианте ЕГЭ.

$4.$ Два гонщика участвуют в гонках. Им предстоит проехать 60 кругов по кольцевой трассе протяжённостью 3 км. Оба гонщика стартовали одновременно, а на финиш первый пришёл раньше второго на 10 минут. Чему равнялась средняя скорость второго гонщика, если известно, что первый гонщик в первый раз обогнал второго на круг через 15 минут? Ответ дайте в км/ч.

Первый гонщик через 15 минут после старта обогнал второго на 1 круг. Значит, за 15 минут он проехал на 1 круг, то есть на 3 километра больше. За час он проедет на $3\cdot4 = 12$ километров больше. Его скорость на 12 км/ч больше, чем скорость второго.

Как всегда, составляем таблицу и уравнение. 10 минут переведем в часы. Это $\frac{1}{4}$ часа.

$\frac{180}{x}-\frac{180}{x+12}=\frac{1}{6};$

Честно преобразовав это уравнение к квадратному, получим:

$x^2 + 12 x - 12960 = 0.$

Пятизначный дискриминант, вот повезло! Но есть и другой способ решения, и он намного проще.
Посмотрим еще раз на наше уравнение:

$\frac{180}{x}-\frac{180}{x+12}=\frac{1}{6}$

Заметим, что 180 делится на 12. Сделаем замену: $x=12z.$

Это уравнение легко привести к квадратному и решить.
Целый положительный корень этого уравнения: $z=9.$ Тогда $x=12z=108.$

Ответ: 108

Мы решили текстовую задачу с помощью замены переменной. Этот прием в математике используется везде: в решении задач, уравнений и неравенств, в задачах с параметрами и интегрировании. Общее правило: можете сделать замену переменной – сделайте.

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими публикациями. Информация на странице «Задачи ЕГЭ на движение по окружности» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.

Публикация обновлена: 07.05.2023

Это полезно