Slider

Задачи ЕГЭ на движение по окружности

Секрет задач на движение по окружности: тот, кто обгоняет, проезжает на 1 круг больше, если это первый обгон. И на n кругов больше, если обогнал другого в n-ный раз.

1. Из одной точки круговой трассы, длина которой равна 8 км, одновременно в одном направлении стартовали два автомобиля. Скорость первого автомобиля равна 114 км/ч, и через 20 минут после старта он опережал второй автомобиль на один круг. Найдите скорость второго автомобиля. Ответ дайте в км/ч.

Автомобили стартовали одновременно, и первый автомобиль через 20 минут после старта опережал второй автомобиль на один круг. Значит, за эти 20 минут, то есть за \frac{1}{3} часа он проехал на 1 круг больше – то есть на 8 км больше.

За час первый автомобиль проедет на 8\cdot3=24 км больше второго. Скорость второго автомобиля на 24 км/ч меньше, чем у первого, и равна 114 - 24 = 90 км/ч.

Ответ: 90.


2. Из пункта A круговой трассы выехал велосипедист, а через 30 минут следом за ним отправился мотоциклист. Через 10 минут после отправления он догнал велосипедиста в первый раз, а еще через 30 минут после этого догнал его во второй раз. Найдите скорость мотоциклиста, если длина трассы равна 30 км. Ответ дайте в км/ч.

Во-первых, переведем минуты в часы, поскольку скорость надо найти в км/ч. Скорости участников обозначим за x и y. В первый раз мотоциклист обогнал велосипедиста через 10 минут, то есть через \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 6} часа после старта. До этого момента велосипедист был в пути 40 минут, то есть \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 2}{\displaystyle 3} часа.

Запишем эти данные в таблицу:

v y S
велосипедист x \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 2}{\displaystyle 3} \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 2}{\displaystyle 3}x
мотоциклист y \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 6} \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 6}y

Оба проехали одинаковые расстояния, то есть \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 6}y=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 2}{\displaystyle 3}x.

Затем мотоциклист второй раз обогнал велосипедиста. Произошло это через 30 минут, то есть через \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 2} часа после первого обгона.

Нарисуем вторую таблицу.

v t S
велосипедист x \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 2} \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}x
мотоциклист y \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 2} \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}y

А какие же расстояния они проехали? Мотоциклист обогнал велосипедиста. Значит, он проехал на один круг больше. Это и есть секрет данной задачи. Один круг — это длина трассы, она равна 30 км. Получим второе уравнение:

\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}y-\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}x=30

Решим получившуюся систему.

\left\{\begin{matrix}\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 6}y=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 2}{\displaystyle 3}x\\\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}y-\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 2}x=30\end{matrix}\right.

\left\{\begin{matrix}y=4x\\ y-x=60\end{matrix}\right.

Получим, что x=20, y=80. В ответ запишем скорость мотоциклиста.

Ответ: 80.


3. Часы со стрелками показывают 8 часов 00 минут. Через сколько минут минутная стрелка в четвертый раз поравняется с часовой?

Это, пожалуй, самая сложная задача из вариантов ЕГЭ. Конечно, есть простое решение — взять часы со стрелками и убедиться, что в четвертый раз стрелки поравняются через 4 часа, ровно в 12.00.
А как быть, если у вас электронные часы и вы не можете решить задачу экспериментально?

За один час минутная стрелка проходит один круг, а часовая \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 12} часть круга. Пусть их скорости равны 1 (круг в час) и \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 12} (круга в час). Старт — в 8.00. Найдем время, за которое минутная стрелка в первый раз догонит часовую.

Минутная стрелка пройдет на \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 2}{\displaystyle 3} круга больше, поэтому уравнение будет таким:
1 \cdot t - \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 12}t=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 2}{\displaystyle 3}

Решив его, получим, что \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 8}{\displaystyle 11} часа. Итак, в первый раз стрелки поравняются через \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 8}{\displaystyle 11} часа. Пусть во второй раз они поравняются через время z. Минутная стрелка пройдет расстояние 1 \cdot z, а часовая \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 12}z, причем минутная стрелка пройдет на один круг больше. Запишем уравнение:

1 \cdot z-\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 1}{\displaystyle 12}z=1

Решив его, получим, что z=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 12}{\displaystyle 11} часа. Итак, через \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 12}{\displaystyle 11} часа стрелки поравняются во второй раз, еще через \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 12}{\displaystyle 11} часа — в третий, и еще через \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 12}{\displaystyle 11} часа — в четвертый.

Значит, если старт был в 8.00, то в четвертый раз стрелки поравняются через \genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 8}{\displaystyle 11}+3\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle 12}{\displaystyle 11} часа.

Ответ полностью согласуется с «экспериментальным» решением! :-)

На экзамене по математике вам может также встретиться задача о нахождении средней скорости. Запомним, что средняя скорость не равна среднему арифметическому скоростей. Она находится по специальной формуле:

v_{cp}=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle S_o}{\displaystyle t_o},

где v_{cp} — средняя скорость, S_o- общий путь, t_o — общее время.

Если участков пути было два, то

v_{cp}=\genfrac{}{}{}{0}{\displaystyle S_1 + S_2}{\displaystyle t_1+t_2}


А сейчас покажем вам один из секретов решения текстовых задач. Что делать, если у вас получился в уравнении пятизначный дискриминант? Да, это реальная ситуация! Это может встретиться в варианте ЕГЭ.

4. Два гонщика участвуют в гонках. Им предстоит проехать 60 кругов по кольцевой трассе протяжённостью 3 км. Оба гонщика стартовали одновременно, а на финиш первый пришёл раньше второго на 10 минут. Чему равнялась средняя скорость второго гонщика, если известно, что первый гонщик в первый раз обогнал второго на круг через 15 минут? Ответ дайте в км/ч.

Первый гонщик через 15 минут после старта обогнал второго на 1 круг. Значит, за 15 минут он проехал на 1 круг, то есть на 3 километра больше. За час он проедет на 3\cdot4 = 12 километров больше. Его скорость на 12 км/ч больше, чем скорость второго.

Как всегда, составляем таблицу и уравнение. 10 минут переведем в часы. Это \frac{1}{4} часа.

\frac{180}{x}-\frac{180}{x+12}=\frac{1}{6};

Честно преобразовав это уравнение к квадратному, получим:

x^2 + 12 x - 12960 = 0.

Пятизначный дискриминант, вот повезло! Но есть и другой способ решения, и он намного проще.
Посмотрим еще раз на наше уравнение:

\frac{180}{x}-\frac{180}{x+12}=\frac{1}{6}

Заметим, что 180 делится на 12. Сделаем замену: x=12z.

Это уравнение легко привести к квадратному и решить.
Целый положительный корень этого уравнения: z=9. Тогда x=12z=108.

Ответ: 108

Мы решили текстовую задачу с помощью замены переменной. Этот прием в математике используется везде: в решении задач, уравнений и неравенств, в задачах с параметрами и интегрировании. Общее правило: можете сделать замену переменной – сделайте.

 

Интенсивная подготовка

Бесплатные пробные ЕГЭ

Расписание курсов

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)
                       +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

НОВЫЙ НАБОР 2020 ЕГЭ И ОГЭ

Типы подготовки:
Сказать спасибо
ege-tv

Полный онлайн-курс подготовки к ЕГЭ по математике. Структурировано. Четко. Без воды. Сдай ЕГЭ на 100 баллов!

Смотреть

Для нормального функционирования и Вашего удобства, сайт использует файлы cookies. Это совершенно обычная практика.Продолжая использовать портал, Вы соглашаетесь с нашей Политикой конфиденциальности.

Позвоните мне

Все поля обязательны для заполнения

Отправить

Премиум

Вся часть 2 на ЕГЭ по математике, от задачи 13 до задачи 19. То, о чем не рассказывают даже ваши репетиторы. Все приемы решения задач части 2. Оформление задач на экзамене. Десятки реальных задач ЕГЭ, от простых до самых сложных.

Видеокурс «Премиум» состоит из 7 курсов  для освоения части 2 ЕГЭ по математике (задачи 13-19). Длительность каждого курса - от 3,5 до 4,5 часов.

  1. Уравнения (задача 13)
  2. Стереометрия (задача 14)
  3. Неравенства (задача 15)
  4. Геометрия (задача 16)
  5. Финансовая математика (задача 17)
  6. Параметры (задача 18)
  7. Нестандартная задача на числа и их свойства (задача 19).

Здесь то, чего нет в учебниках. Чего вам не расскажут в школе. Приемы, методы и секреты решения задач части 2.

Каждая тема разобрана с нуля. Десятки специально подобранных задач, каждая из которых помогает понять «подводные камни» и хитрости решения.  Автор видеокурса Премиум - репетитор-профессионал Анна Малкова.

Получи пятерку

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

Сразу после оплаты вы получите ссылки на скачивание видеокурсов и уникальные ключи к ним.

Задачи комплекта «Математические тренинги - 2019» непростые. В каждой – интересные хитрости, «подводные камни», полезные секреты.

Варианты составлены так, чтобы охватить все возможные сложные задачи, как первой, так и второй части ЕГЭ по математике.

Как пользоваться?

  1. Не надо сразу просматривать задачи (и решения) всех вариантов. Такое читерство вам только помешает. Берите по одному! Задачи решайте по однойи старайтесь довести до ответа.
  2. Если почти ничего не получилось – начинать надо не с решения вариантов, а с изучения математики. Вам помогут книга для подготовки к ЕГЭи Годовой Онлайн-курс.
  3. Если вы правильно решили из первого варианта Маттренингов 5-7 задач – значит, знаний не хватает. Смотри пункт 1: Книгаи Годовой Онлайн-курс!
  4. Обязательно разберите правильные решения. Посмотрите видеоразбор – в нем тоже много полезного.
  5. Можно решать самостоятельно или вместе с друзьями. Или всем классом. А потом смотреть видеоразбор варианта.

Стоимость комплекта «Математические тренинги – 2019» - всего 1100 рублей. За 5 вариантов с решениями и видеоразбором каждого.

Это пробная версия онлайн курса по профильной математике.

Вы получите доступ к 3 темам, которые помогут понять принцип обучения, работу платформы и оценить ведущую курса Анну Малкову.

Вы получите:

— 3 темы курса (из 50).
— Текстовый учебник с видеопримерами.
— Мастер-класс Анны Малковой.
— Тренажер для отработки задач.

Регистрируйтесь, это бесплатно!

Нажимая на кнопку, вы даете согласие на обработку своих персональных данных