Среди «экономических» задач Профильного ЕГЭ по математике есть также задания на оптимизацию. Как правило, в них мы составляем математическую модель и находим точки максимума и минимума некоторой функции, или наибольшее (наименьшее) значение функции. Часто такие задачи решаются с помощью производной.
1. Строительство нового завода стоит \(78\) млн рублей. Затраты на производство \(x\) тысяч единиц продукции на таком заводе равны \(0,5x^2 + 2x + 6\) млн рублей в год. Если продукцию завода продавать по цене \(p\) тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн рублей) за один год составит \(px - (0, 5x^2 + 2x + 6)\). Когда завод будет построен, фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем значении p строительство завода окупится не более, чем за 3 года?
Решение:
Чтобы прибыль за три года была не меньше \(78\) млн рублей, необходимо, чтобы каждый год прибыль была не меньше \(26\) млн рублей. Это значит, что должно выполняться неравенство:
\(px-\left(0,5 x^2 +2x+6\right) \geq 26. \)
Здесь \( px-\left( 0,5x^ 2 +2x+6\right)\) — прибыль за год. Рассмотрим функцию:
\(Z\left(x\right)={ px-}\left({{ 0,5x}}^{{ 2}}{ +2x+6}\right)={{ -0,5x}}^{{ 2}}+\left(p-2\right)x-6.\)
Наибольшее значение этой функции должно быть не меньше, чем \(26\).
Графиком функции \(Z\left(x\right)={{ -0,5x}}^{{ 2}}+\left(p-2\right)x-6\) является парабола с ветвями вниз. Наибольшее значение функции достигается при \( x=p-2\), то есть в вершине параболы.
Значит, \({ Z}\left({ p-2} \right)\geq { 26.}\) Получим:
\({{ -0,5}\left({ p-2}\right)}^{{ 2}}+{\left(p-2\right)}^2-6 \geq 26; \)
\({\left(p-2\right)}^2 \geq 64; \)
\({p-2}^{}\le -8\) или \({p-2}^{} \geq 8\).
Поскольку \(p \geq 0\), получим: \({p-2}^{}\geq 8.\)
Тогда \(p^{} \geq 10.\)
Ответ: \({{ p}}_{min}{ =10}.\)
2. Зависимость объема \(Q\) (в штуках) купленного у фирмы товара от цены \(P\) (в рублях за штуку) выражается формулой \(Q = 15000 - P\), где \(1000 \leq P \leq 15000\). Доход от продажи товара составляет \(PQ\) рублей. Затраты на производство \(Q\) единиц товара составляют \(3000Q + 5000000\) рублей. Прибыль равна разности дохода от продажи товара и затрат на его производство.
Стремясь привлечь внимание покупателей, фирма уменьшила цену продукции на \(20\)%, однако ее прибыль не изменилась. На сколько процентов следует увеличить сниженную цену, чтобы добиться наибольшей прибыли?
Решение:
Будем рассматривать прибыль как функцию от цены продукции. Так как прибыль, по условию, равна разности дохода от продажи товара и затрат на его производство, получим:
\(Z(p)=pQ-3\cdot 10^{3}Q-5\cdot 10^{6}=p\cdot (15\cdot 10^{3}-p)-3\cdot 10^{3}\cdot (15\cdot 10^{3}-p)-5\cdot 10^{6}.\)
Обратите внимание, что можно записывать \(1000\) как \(10^{3}\), \(1000000\) как \(10^{6}\). Работать со степенями проще, чем с длинными рядами нулей.
\(Z(p)=(p-3\cdot 10^{3})(15\cdot 10^{3}-p)-5\cdot 10^{6}=-p^{2}+18\cdot 10^{3}p-50\cdot 10^{6}.\)
После того как фирма уменьшила первоначальную цену \(p_{0}\) на \(20\)%, ее прибыль не изменилась. Значит,
\(Z\left(p_0\right)=Z(0,8p_0). \)
Приравняем эти величины.
\(-p^2_0+18\cdot {10}^3p_0=-{\left(0,8p_0\right)}^2+18\cdot {10}^3\cdot (0,8p_0); \)
\(p^2_0\cdot \left(1-{0,8}^2\right)=18\cdot {10}^3\cdot 0,2p_0. \)
Разделим обе части уравнения на \(p_{0}> 0.\)
Получим:
\(p_0=\displaystyle \frac{18\cdot 2\cdot {10}^2\cdot 100}{36}=10\cdot {10}^3\) руб.
Значит, первоначальная цена продукции равна \(10\) тысяч рублей за штуку. После снижения на \(20\)% цена за штуку стала равна \(8\) тысяч рублей.
На сколько же процентов следует увеличить сниженную цену, чтобы прибыль была наибольшей? И при каком значении цены получается наибольшая прибыль?
Другими словами, мы находим наибольшее значение функции:
\(Z\left(p\right)=-p^2+18\cdot {10}^3p-50\cdot {10}^6.\)
Эта функция задает квадратичную параболу с ветвями вниз. Можно найти ее точку максимума с помощью производной. Или просто найти координату вершины параболы:
\( {{ p}}_{max}=9\cdot {10}^3=9000\) рублей.
Остается решить стандартную задачу на проценты.
На сколько процентов надо увеличить \(8000\), чтобы получить \(9000\)?
\(8\cdot \left(\displaystyle 1+\frac{x}{100}\right)=9; \)
\(1+\displaystyle \frac{x}{100}=1+\frac{1}{8}=1+\frac{125}{1000}; \)
\(\displaystyle \frac{x}{100}=\frac{125}{1000}; \)
\(x=12,5.\)
Ответ: на 12,5 %.
Теперь применение производной.
3. В распоряжении начальника имеется бригада рабочих в составе \(24\) человек. Их нужно распределить на день на два объекта. Если на первом объекте работает \(t\) человек, то их суточная зарплата составляет \(4t^2\) условных единиц. Если на втором объекте работает \(t\) человек, то их суточная зарплата составляет \(t^2\) у. е. (условных единиц). Как нужно распределить на эти объекты бригаду рабочих, чтобы выплаты на их суточную зарплату оказались наименьшими? Сколько у. е. в этом случае придется заплатить рабочим?
Решение:
Обратите внимание, что в этой задаче переменная \(t\) — это не время! Переменная \(t\) здесь — некий параметр, через который выражены количество работающих на объекте человек и их суточная зарплата.
Сколько человек работает на каждом объекте? Мы не знаем. Нам надо найти, сколько должно быть рабочих на каждом объекте, чтобы затраты на оплату их труда оказались наименьшими.
Пусть на первом объекте работает \(x\) человек. Тогда на втором \(24\) — \(x\) человек, поскольку всего в бригаде \(24\) рабочих.
Запишем данные задачи в таблицу:
| I объект | II объект | |
| Количество рабочих | \(x\) | \(24-x\) |
| Оплата | \(4x^2\) | \((24-x)^2\) |
Пусть функция \(Z\left(x\right)\) - зависимость затрат на оплату труда рабочих от количества рабочих на первом объекте.
\(Z\left(x\right)=4x^2+{(24-x)}^2. \)
Найдем наименьшее значение функции \(Z\left(x\right).\) Раскроем скобки в формуле функции:
\(Z\left(x\right)=5x^2-48x+576. \)
Мы можем взять производную и найти \({{ Z}}_{{ min}}{ (x)}\). А можем просто заметить, что \( Z\left(x\right)\) - квадратичная парабола, графиком которой является парабола с ветвями вверх. Наименьшее ее значение достигается при \( x_0=\displaystyle \frac{48}{10}=4,8{ }\) — то есть в вершине параболы.
Да, но ведь число рабочих на первом объекте — целое, и оно никак не может быть равно \(4,8\). Что же делать?
Найдем значения функции \( Z\left(x\right)\) при \(x=4\) и \(x=5\) — то есть в ближайших к точке минимума целых точках.
\(Z\left(4\right)=464; \)
\(Z\left(5\right)=461 < Z\left(4\right). \)
Значит, оптимальное распределение рабочих по объектам — это \(5\) рабочих на первом объекте и \(19\) на втором. Затраты на оплату их труда в этом случае составляют \(461\) у.е.
Ответ: 461
И еще одна задача на производную.
4. Алексей приобрёл ценную бумагу за \(7\) тыс. рублей. Цена бумаги каждый год возрастает на \(2\) тыс. рублей. В любой момент Алексей может продать бумагу и положить вырученные деньги на банковский счёт. Каждый год сумма на счёте будет увеличиваться на \(10\)%. В течение какого года после покупки Алексей должен продать ценную бумагу, чтобы через тридцать лет после покупки этой бумаги сумма на банковском счёте была наибольшей?
Решение:
Пока Алексей не продал ценную бумагу, ее стоимость ежегодно увеличивается на \(2\) тысячи рублей. В течение \(n\)-го года после покупки ее стоимость равна \(7+2\left({ n}-1\right)=5+2{ n}\) тысяч рублей.
Когда Алексей (через \(n\) лет после покупки) продал ценную бумагу и положил деньги на банковский счет, сумма на счете ежегодно увеличивается на \(10\)% (то есть в \(1,1\) раза) в течение \(30\) — \(n\) лет.
Значит, через \(30\) лет после приобретения ценной бумаги эта сумма равна \(S_n=\left(5+2{ n}\right)\cdot {{ 1,1}}^{30-{ n}}.\)
Рассмотрим функцию \(S\left({ x}\right)=\left(5+2{ x}\right)\cdot {{ 1,1}}^{30-{ x}},\) совпадающую с \({{ S}}_{{ n}} \) при целых значениях \(x\), и найдем ее наибольшее значение на отрезке \(0\le { x}\le 30.\)
Мы знаем, как найти наибольшее значение функции на отрезке. Взять производную, приравнять ее к нулю, найти точки экстремума, сравнить значения в точке максимума и на концах отрезка.
\({S}'(x)={(5+2x)}'\cdot 1,1^{30-x}+(5+2x)\cdot {(1,1^{30-x})}'=2\cdot 1,1^{30-x}-(5+2x)\cdot 1,1^{30-x}\cdot ln1,1=\)
\(=1,1^{30-x}(2-(5+2x)\cdot ln1,1).\)
Приравняем производную к нулю. Поскольку \({{ 1,1}}^{30-{ x}} > 0\), исследуем знак выражения:
\(2-\left(5+2{ x}\right)\cdot { ln1,1}=2-5{ ln1,1}-2{ x}\cdot { ln1,1}. \)
\({{ S}}^{{ '}}\left({ x}\right)=0\) при \({{ x}}_0=\displaystyle \frac{2-5{ ln1,1}}{2{ ln1,1}};\)
\( S{'} (x)> 0, \) если \( x< x_0;\)
\( S{'} (x)< 0, \) если \( x> x_0.\)
Значит, точка \({{ x}}_0=\displaystyle \frac{2-5{ ln1,1}}{2{ ln1,1}}\) — точка максимума функции \(S(x)\).
Хорошо, но чем это нам поможет? Ведь значение \( {{ x}}_0\) невозможно посчитать без калькулятора. Тупик? Зря вычисляли производную?
Нет, не зря. Мы выяснили, что функция стоимости ценной бумаги имеет точку максимума, причем единственную. И если в определенный момент не продать эту ценную бумагу, в итоге ее стоимость будет меньше максимально возможной.
Как же вычислить этот момент? Найдем, после скольких лет хранения будет более выгодно продать ценную бумагу и положить деньги на счет, чем продолжать хранить.
При хранении бумаги ее стоимость ежегодно увеличивается на \(2\) тысячи рублей. При продаже бумаги — увеличивается в \(1,1\) раза.
Пусть в момент продажи стоимость ценной бумаги \(S(k)\) равна \(S(k)=5+2k.\)
Если продать бумагу и положить деньги в банк сумма будет равна \({ 1,1}\left(5+2{ k}\right).\)
Если продолжать хранить — получим \(5+2k+2=7+2k.\)
Необходимо выполнение условия:
\({ 1,1}\left(5+2{ k}\right) > 7+2{ k};\)
\(5,5+2,2k > 7+2k;\)
\( 0,2k>1,5; \; k> 7,5.\)
Тогда \(k=8.\)
Этого условия достаточно, поскольку мы доказали, что функция \(S(x)\) имеет единственную точку максимума. Значит, ценную бумагу надо продать на восьмой год после ее приобретения.
Ответ: 8.
