Это один из самых интересных типов текстовых задач на ЕГЭ по математике. Здесь и задачи на движение протяженных тел. И задачи, где два поезда движутся навстречу друг другу (по параллельным путям, конечно). И такие, где один поезд обгоняет другой.
Расскажем о секретах решения таких задач.
Что значит «движение протяженных тел»?
Если в условии задачи поезд проходит расстояние от Санкт-Петербурга до Москвы — длиной самого поезда можно пренебречь. Она намного меньше расстояния между городами. В физике говорят, что поезд в этом случае можно считать материальной точкой. Если же в задаче один поезд проходит мимо другого или поезд проходит через туннель — длину поезда также надо учитывать.
1. Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 80 км/ч, проезжает мимо лесополосы, длина которой равна 500 метров, за 36 секунд. Найдите длину поезда в метрах.
36 секунд, за которые поезд проезжает мимо лесополосы, - это время от момента, когда голова поезда поравнялась с началом лесополосы, до момента, когда хвост поезда поравнялся с концом лесополосы. За это время поезд проезжает расстояние, равное сумме собственной длины и длины лесополосы.
Переведем 36 секунды в часы. \(36с=\displaystyle \frac{36}{60}мин=\frac{36}{3600}ч=\frac{1}{100}ч.\)
За это время поезд проехал \(S=v\cdot t=80\cdot \displaystyle \frac{1}{100}=0,8км=800м.\)
\(l_{поезда}=S-l_{лесополосы}=800-500=300м.\)
Ответ: 300.
Задачи на встречное движение или обгон удобно решать в движущейся системе отсчета.
2. По двум параллельным железнодорожным путям друг навстречу другу следуют скорый и пассажирский поезда, скорости которых равны соответственно 60 км/ч и 30 км/ч. Длина пассажирского поезда равна 400 метрам. Найдите длину скорого поезда, если время, за которое он прошел мимо пассажирского поезда, равно 38 секундам. Ответ дайте в метрах.
Решим задачу в системе отсчета, связанную с головой пассажирского поезда. Представим, что мы находимся в кабине машиниста неподвижного поезда, а мимо нас проносится скорый поезд. Скорость, с которой один поезд движется относительно другого, равна
\(v=v_{1}+v_{2}=30+60=90км/ч.\)
Тогда 38 секунд, за которые движущийся поезд проезжает мимо неподвижного, - это время от момента, когда голова первого поезда поравнялась с хвостом второго, до момента, когда хвост первого поезда поравнялся с головой второго (смотри рисунки) За это время скорый поезд проезжает расстояние, равное сумме длин двух поездов.
Переведем 38 секунд в часы:
\(38с=\displaystyle \frac{38}{60}мин=\frac{38}{3600}ч=\frac{19}{1800}ч.\)
За это время поезд проехал \(S=v\cdot t=90\cdot \displaystyle \frac{19}{1800}=0,95км=950м.\)
\( l_{I поезда}=S-l_{II поезда}=950-400=550м.\)
Ответ: 550.
3. Два поезда движутся навстречу друг другу со скоростями 56 и 52 км/ч. Пассажир, находящийся в первом поезде, замечает, что второй поезд проходит мимо него в течение 15 секунд. Найдите длину второго поезда. Ответ выразите в метрах.
Если пассажир находится в первом поезде, то в его системе отсчета второй поезд движется навстречу со скоростью, равной сумме скоростей поездов. Иначе она называется «скорость сближения», и она равна
\(56+52=108км/ч.\)
Переведем эту скорость в метры/минуту.
\( 108км/ч=60км/ч+48км/ч=1км/мин+ \displaystyle \frac{4}{5}км/мин=1\frac{4}{5}км/мин=1,8км/мин=1800м/мин.\)
Мы получили, что со скоростью 1800м/мин мимо пассажира первого поезда проходит весь второй поезд. По условию, это происходит за \(15 секунд=\displaystyle \frac{1}{4}минуты.\)
Длина второго поезда равна \(1800\cdot \displaystyle \frac{1}{4}=450м.\)
Ответ: 450 м.
4. По морю параллельными курсами в одном направлении следуют два сухогруза: первый длиной 140 метров, второй — длиной 60 метров. Сначала второй сухогруз отстает от первого, и в некоторый момент времени расстояние от кормы первого сухогруза до носа второго составляет 800 метров. Через 15 минут после этого уже первый сухогруз отстает от второго так, что расстояние от кормы второго сухогруза до носа первого равно 1000 метрам. На сколько километров в час скорость первого сухогруза меньше скорости второго?
Переведем минуты в часы: \(15 минут=\displaystyle \frac{15}{60}ч=\frac{1}{4}ч.\)
Пусть \(v_1\) и \(v_2\) — скорости первого и второго сухогрузов. Будем решать задачу в системе отсчета, связанной с первым сухогрузом. Представьте, что вы находитесь на нем и видите, как второй сухогруз догоняет и обгоняет ваш корабль со скоростью \(v=v_2-v_1\)
Расстояние, пройденное вторым сухогрузом, — это сумма расстояний от носа второго сухогруза до кормы первого, длины первого сухогруза, расстояния от его носа первого до кормы второго и длины второго (см. рисунок).
\(l=800+140+60+1000=2000м=2км.\)
Воспользуемся формулой:
\(S=v\cdot t;\)
\(2=v\cdot \displaystyle \frac{1}{4}; \)
\(v=v_2-v_1=8км/ч.\)
На 8 километров в час скорость второго сухогруза больше скорости первого.
Ответ: 8.
