Задачи на кредиты. Две схемы решения
Задачи на кредиты обычно относятся к одному из двух характерных типов, которые легко различить между собой.
1 тип. Выплаты кредита производятся равными платежами. Эта схема еще называется «аннуитет».
2 тип. Выплаты кредита подбираются так, что сумма долга уменьшается равномерно. Это так называемая «схема с дифференцированными платежами».
В задачах первого типа часто применяется формула суммы n членов геометрической прогрессии.
В задачах второго типа – формула суммы n членов арифметической прогрессии.
|
Две схемы решения задач на кредиты
Пусть S – сумма кредита, n – количество платежных периодов, р – процент по кредиту, начисляемый банком. Коэффициент
|
|
| 1. Выплаты кредита равными платежами (аннуитет). | 2. Равномерное уменьшение суммы долга (схема с дифференцированными платежами) |
| Схема погашения кредита:
\( (((S\cdot k-X)\cdot k-X)\cdot k-X)...\cdot k-X=0\) Х – очередная выплата, n – число платежных периодов. Раскроем скобки: \(S\cdot k^n-X(k^{n-1}+k^{n-2}+...+k^2+k+1)=0\) Применяем формулу суммы геометрической прогрессии. Получим: \(S\cdot k^n-X\cdot \frac{k^n-1}{k-1}=0.\)
|
Схема погашения кредита для n платежных периодов.
n – число платежных периодов. 1 выплата: \(Z_1=S\cdot k-S\cdot \frac{n-1}{n}\) 2 выплата: \(Z_2=S\cdot \frac{n-1}{n}\cdot k-S\cdot \frac{n-2}{n}\) n-ная выплата: \(Z_n=S\cdot \frac{1}{n}\cdot k\) Сумма всех выплат: Z = Z1 + Z2+…+ Zn= Применяем формулу суммы арифметической прогрессии. Общая сумма выплат: \(Z_n=S\cdot k\cdot \frac{n+1}{2}-S\cdot \frac{n-1}{2}=S+S\cdot \frac{n+1}{2}\cdot \frac{p}{100}=S+\sqcap\) \(\sqcap =S\cdot \frac{n+1}{2}\cdot \frac{p}{100}\) |
показывает, во сколько раз увеличивается сумма долга после начисления процентов.
Вообще к первому типу можно отнести все задачи, где одинаковы (или известны) платежи. Ко второму – задачи, где равномерно (или по известной схеме) уменьшается сумма долга.
