Slider

Задачи с параметрами. Использование четности функций.

Материал для повторения:

Четные и нечетные функции
Что такое параметр. Простые задачи с параметром.
Графический метод в решении задач с параметрами.

Встречались ли вам в задаче 18 Профильного ЕГЭ по математике страшные-престрашные уравнения с параметрами? Такие, на которые смотришь – и вообще не понимаешь, что делать?

Есть множество «инструментов» для решения задач с параметрами — методов, приемов, больших и маленьких секретов. Конечно, эти приемы лучше не изобретать на экзамене, а изучить заранее.

Например, использование четности функций, входящих в уравнение.

1. Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение имеет единственный корень

x^{2}+\left ( a+7 \right )^{2}=\left | x-7-a \right |+\left | x+7+a \right |

Откроем секрет. Есть два универсальных способа для решения задач с параметрами. Вот они:

1) Если задачу с параметром можно решить графически — решаем графически.

2) Если в задаче с параметром можно сделать замену переменной — делаем замену переменной.

Второй из этих полезных советов — как раз для нашей задачи. Сделаем замену a+7=b. Получим:

x^{2}+b^{2}=\left | x-b \right |+\left | x+b \right |

Конечно, можно решать уравнение графически, построив графики левой и правой его частей. Однако у этого способа есть недостаток: как мы узнаем, пересекаются ли графики в одной точке, или у них еще есть точки касания? Все равно без аналитического исследования не обойтись.

Поэтому выберем другой способ. Обозначим функции в левой и правой частях уравнения как f(x) и g(x):

f\left ( x \right )=x^{2}+b^{2}

g\left ( x \right )=\left | x-b \right |+\left | x+b \right |

Заметим, что f(x) и g(x) — четные относительно х, так как их области определения симметричны относительно нуля и f\left ( -x \right )=f\left ( x \right ), g\left ( -x \right )=g\left ( x \right ).

Значит, если x_{0} — корень уравнения, то и
\left (-x_{0}  \right ) — тоже его корень. Поэтому единственное решение может быть только если x_{0}=0. В этом и состоит идея решения таких задач.

Обратите внимание, как аккуратно мы сформулировали: «единственное решение может быть только если x_{0}=0». Ведь может быть еще и такой случай, что x_{0}=0 — один из корней уравнения, и при этом есть еще решения. Тогда общее количество решений уравнения нечетно.

Давайте подставим x_{0}=0 в уравнение и посмотрим, что получится.

b^{2}=2\left | b \right |. Решив это уравнение, получим:

b=0, или b=-2, или b=2.

Каждое из найденных значений параметра надо проверить. Подставим их по очереди в исходное уравнение и найдем, сколько решений оно будет иметь при каждом таком b.

1) b=0. При этом x^{2}=2\left | x \right |.

У этого уравнения три решения:

x=0, или x=-2, или x=2. Такое значение параметра нам не подходит.

2) b=2,\; x^{2}+4=\left | x-2 \right |+\left | x+2 \right |

Уравнение решается методом интервалов для модулей (ССЫЛКА). На числовой прямой отмечаем точки -2 и 2 и решаем уравнение на каждом промежутке.

\left[	\begin {array}{ccc} 	\left\{\begin{matrix}	x\leq -2\\ 	-x+2-x-2=x^{2}+4	\end{matrix}\right.\\	\left\{\begin{matrix}	-2< x\leq 2\\ 	-x+2+x+2=x^{2}+4	\end{matrix}\right.\\	\!\!\!\left\{\begin{matrix}	x> 2\\ 	x-2+x+2=x^{2}+4	\end{matrix}\right.		\end{array}	\right.\Leftrightarrow 	\left[	\begin {array}{ccc} 	\!\!\!\!\!\!\!\!\!\left\{\begin{matrix}	x\leq -2\\ 	x\in\varnothing 	\end{matrix}\right.\\	\left\{\begin{matrix}	-2< x\leq 2\\ 	x=0	\end{matrix}\right.\\	\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\left\{\begin{matrix}	x> 2\\ 	x\in \varnothing 	\end{matrix}\right.		\end{array}	\right.

Получим единственное решение x=0. Нам это подходит. При этом b=2,\;a+7=2,\;a=-5.

При b=-2 уравнение получится таким же. Эта ветвь решения дает в результате:

b=-2,\;a+7=-2,\;a=-9.

Ответ: -9,-5

Это была простая задача. А вот следующая… Только не пугаться! Мы справимся!

2. При каких значениях параметра a система имеет единственное решение

\left\{\begin{matrix}	2^{\ln y}=4^{\left | x \right |}\\ 	\log _{2}\left ( x^{4}y^{2}+2a^{2} \right )=\log _{2}\left ( 1-ax^{2}y^{2} \right )+1	\end{matrix}\right.

Найти это значение a. Найти решение.

Перед нами система из двух уравнений, в которой есть две переменныех и у, а также параметр а.

Решать такую систему, выражая, например, у через х и подставляя во второе уравнение? — Страшно даже думать об этом!

Для начала запишем ОДЗ — область допустимых значений системы.

ОДЗ: \left\{\begin{matrix}	1-ax^{2}y^{2}> 0\\ 	y> 0	\end{matrix}\right.

Заметим, что все функции, входящие в уравнения системы, четны относительно х. А вот это уже что-то. Это значит, что если x — решения, то
\left (-x  \right ) – тоже решение. Единственное решение возможно, если x=0.

Подставим x=0 в уравнения системы.

Получим:

\left\{\begin{matrix} 	2^{\ln y}=1\\  	\log _{2}2a^{2}=1 	\end{matrix}\right. , отсюда 2a^{2}=2, следовательно \left[ 		\begin{array} {ccc} 		a=1\\ 		a=-1 		\end{array} 		 \right.

1)Если a=1, то \log _{2}\left ( x^{4}y^{2}+2 \right )=\log _{2}\left ( 1-x^{2}y^{2} \right )+1

Получаем:
\left\{\begin{matrix}	1-x^{2}y^{2}> 0\\ 	 x^{4}y^{2}+2 = 2-2x^{2}y^{2} 	\end{matrix}\right.

y^{2}\left ( x^{4} +2x^{2}\right )=0\Rightarrow x=0 – единственное решение, так как y> 0.

Подставив x=0 в уравнения, из первого уравнения получили, что y=1.

2) Если a=-1, то
\log _{2}\left ( x^{4}y^{2}+2 \right )=\log _{2}\left ( 1+x^{2}y^{2} \right )+1

x^{4}y^{2}+2 = 2+2x^{2}y^{2}

y^{2}\left ( x^{4}-2x^{2} \right )=0\Leftrightarrow \left [   	\begin{array} {ccc} 	x=0\\ 	x=\sqrt{2}\\ 	x=-\sqrt{2} 	\end{array} 	\right. – 3 решения. Это нам не подходит.

Ответ: a=1. При этом система имеет единственное решение \left ( 0;1 \right ).

Интенсивная подготовка

Бесплатные пробные ЕГЭ

Расписание курсов

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)
                       +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

НОВЫЙ НАБОР 2020 ЕГЭ И ОГЭ

Типы подготовки:
Сказать спасибо
ege-tv

Полный онлайн-курс подготовки к ЕГЭ по математике. Структурировано. Четко. Без воды. Сдай ЕГЭ на 100 баллов!

Смотреть

Для нормального функционирования и Вашего удобства, сайт использует файлы cookies. Это совершенно обычная практика.Продолжая использовать портал, Вы соглашаетесь с нашей Политикой конфиденциальности.

Позвоните мне

Все поля обязательны для заполнения

Отправить

Премиум

Вся часть 2 на ЕГЭ по математике, от задачи 13 до задачи 19. То, о чем не рассказывают даже ваши репетиторы. Все приемы решения задач части 2. Оформление задач на экзамене. Десятки реальных задач ЕГЭ, от простых до самых сложных.

Видеокурс «Премиум» состоит из 7 курсов  для освоения части 2 ЕГЭ по математике (задачи 13-19). Длительность каждого курса - от 3,5 до 4,5 часов.

  1. Уравнения (задача 13)
  2. Стереометрия (задача 14)
  3. Неравенства (задача 15)
  4. Геометрия (задача 16)
  5. Финансовая математика (задача 17)
  6. Параметры (задача 18)
  7. Нестандартная задача на числа и их свойства (задача 19).

Здесь то, чего нет в учебниках. Чего вам не расскажут в школе. Приемы, методы и секреты решения задач части 2.

Каждая тема разобрана с нуля. Десятки специально подобранных задач, каждая из которых помогает понять «подводные камни» и хитрости решения.  Автор видеокурса Премиум - репетитор-профессионал Анна Малкова.

Получи пятерку

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

Сразу после оплаты вы получите ссылки на скачивание видеокурсов и уникальные ключи к ним.

Задачи комплекта «Математические тренинги - 2019» непростые. В каждой – интересные хитрости, «подводные камни», полезные секреты.

Варианты составлены так, чтобы охватить все возможные сложные задачи, как первой, так и второй части ЕГЭ по математике.

Как пользоваться?

  1. Не надо сразу просматривать задачи (и решения) всех вариантов. Такое читерство вам только помешает. Берите по одному! Задачи решайте по однойи старайтесь довести до ответа.
  2. Если почти ничего не получилось – начинать надо не с решения вариантов, а с изучения математики. Вам помогут книга для подготовки к ЕГЭи Годовой Онлайн-курс.
  3. Если вы правильно решили из первого варианта Маттренингов 5-7 задач – значит, знаний не хватает. Смотри пункт 1: Книгаи Годовой Онлайн-курс!
  4. Обязательно разберите правильные решения. Посмотрите видеоразбор – в нем тоже много полезного.
  5. Можно решать самостоятельно или вместе с друзьями. Или всем классом. А потом смотреть видеоразбор варианта.

Стоимость комплекта «Математические тренинги – 2019» - всего 1100 рублей. За 5 вариантов с решениями и видеоразбором каждого.

Это пробная версия онлайн курса по профильной математике.

Вы получите доступ к 3 темам, которые помогут понять принцип обучения, работу платформы и оценить ведущую курса Анну Малкову.

Вы получите:

— 3 темы курса (из 50).
— Текстовый учебник с видеопримерами.
— Мастер-класс Анны Малковой.
— Тренажер для отработки задач.

Регистрируйтесь, это бесплатно!

Нажимая на кнопку, вы даете согласие на обработку своих персональных данных