Задачи с параметрами. Использование четности функций.

Материал для повторения:

Четные и нечетные функции
Что такое параметр. Простые задачи с параметром.
Графический метод в решении задач с параметрами.

Встречались ли вам в задаче 17 Профильного ЕГЭ по математике страшные-престрашные уравнения с параметрами? Такие, на которые смотришь – и вообще не понимаешь, что делать?

Есть множество «инструментов» для решения задач с параметрами — методов, приемов, больших и маленьких секретов. Конечно, эти приемы лучше не изобретать на экзамене, а изучить заранее.

Например, использование четности функций, входящих в уравнение.

1. Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение имеет единственный корень

$x^{2}+\left ( a+7 \right )^{2}=\left | x-7-a \right |+\left | x+7+a \right |$

Откроем секрет. Есть два универсальных способа для решения задач с параметрами. Вот они:

1) Если задачу с параметром можно решить графически — решаем графически.

2) Если в задаче с параметром можно сделать замену переменной — делаем замену переменной.

Второй из этих полезных советов — как раз для нашей задачи. Сделаем замену $a+7=b$ . Получим:

$x^{2}+b^{2}=\left | x-b \right |+\left | x+b \right |$

Конечно, можно решать уравнение графически, построив графики левой и правой его частей. Однако у этого способа есть недостаток: как мы узнаем, пересекаются ли графики в одной точке, или у них еще есть точки касания? Все равно без аналитического исследования не обойтись.

Поэтому выберем другой способ. Обозначим функции в левой и правой частях уравнения как f(x) и g(x):

$f\left ( x \right )=x^{2}+b^{2}$

$g\left ( x \right )=\left | x-b \right |+\left | x+b \right |$

Заметим, что f(x) и g(x) — четные относительно х, так как их области определения симметричны относительно нуля и $f\left ( -x \right )=f\left ( x \right )$ , $g\left ( -x \right )=g\left ( x \right )$ .

Значит, если $x_{0}$ — корень уравнения, то и
$\left (-x_{0} \right )$ — тоже его корень. Поэтому единственное решение может быть только если $x_{0}=0$ . В этом и состоит идея решения таких задач.

Обратите внимание, как аккуратно мы сформулировали: «единственное решение может быть только если $x_{0}=0$ ». Ведь может быть еще и такой случай, что $x_{0}=0$ — один из корней уравнения, и при этом есть еще решения. Тогда общее количество решений уравнения нечетно.

Давайте подставим $x_{0}=0$ в уравнение и посмотрим, что получится.

$b^{2}=2\left | b \right |$ . Решив это уравнение, получим:

$b=0$ , или $b=-2$ , или $b=2$ .

Каждое из найденных значений параметра надо проверить. Подставим их по очереди в исходное уравнение и найдем, сколько решений оно будет иметь при каждом таком b.

1) $b=0$ . При этом $x^{2}=2\left | x \right |$ .

У этого уравнения три решения:

$x=0$ , или $x=-2$ , или $x=2$ . Такое значение параметра нам не подходит.

2) $b=2,\; x^{2}+4=\left | x-2 \right |+\left | x+2 \right |$

Уравнение решается методом интервалов для модулей (ССЫЛКА). На числовой прямой отмечаем точки -2 и 2 и решаем уравнение на каждом промежутке.

$\left[ \begin {array}{ccc} \left\{\begin{matrix} x\leq -2\\ -x+2-x-2=x^{2}+4 \end{matrix}\right.\\ \left\{\begin{matrix} -2< x\leq 2\\ -x+2+x+2=x^{2}+4 \end{matrix}\right.\\ \!\!\!\left\{\begin{matrix} x> 2\\ x-2+x+2=x^{2}+4 \end{matrix}\right. \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin {array}{ccc} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\left\{\begin{matrix} x\leq -2\\ x\in\varnothing \end{matrix}\right.\\ \left\{\begin{matrix} -2< x\leq 2\\ x=0 \end{matrix}\right.\\ \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\left\{\begin{matrix} x> 2\\ x\in \varnothing \end{matrix}\right. \end{array} \right.$

Получим единственное решение $x=0$ . Нам это подходит. При этом $b=2,\;a+7=2,\;a=-5$ .

При $b=-2$ уравнение получится таким же. Эта ветвь решения дает в результате:

$b=-2,\;a+7=-2,\;a=-9$ .

Ответ: -9,-5

Это была простая задача. А вот следующая… Только не пугаться! Мы справимся!

2. При каких значениях параметра a система имеет единственное решение

$\left\{\begin{matrix} 2^{\ln y}=4^{\left | x \right |}\\ \log _{2}\left ( x^{4}y^{2}+2a^{2} \right )=\log _{2}\left ( 1-ax^{2}y^{2} \right )+1 \end{matrix}\right.$

Найти это значение a. Найти решение.

Перед нами система из двух уравнений, в которой есть две переменныех и у, а также параметр а.

Решать такую систему, выражая, например, у через х и подставляя во второе уравнение? — Страшно даже думать об этом!

Для начала запишем ОДЗ — область допустимых значений системы.

ОДЗ: $\left\{\begin{matrix} 1-ax^{2}y^{2}> 0\\ y> 0 \end{matrix}\right.$

Заметим, что все функции, входящие в уравнения системы, четны относительно х. А вот это уже что-то. Это значит, что если $x$ — решения, то
$\left (-x \right )$ – тоже решение. Единственное решение возможно, если $x=0$ .

Подставим $x=0$ в уравнения системы.

Получим:

$\left\{\begin{matrix} 2^{\ln y}=1\\ \log _{2}2a^{2}=1 \end{matrix}\right.$ , отсюда $2a^{2}=2$ , следовательно $\left[ \begin{array} {ccc} a=1\\ a=-1 \end{array} \right.$

1)Если $a=1$ , то $\log _{2}\left ( x^{4}y^{2}+2 \right )=\log _{2}\left ( 1-x^{2}y^{2} \right )+1$

Получаем:
$\left\{\begin{matrix} 1-x^{2}y^{2}> 0\\ x^{4}y^{2}+2 = 2-2x^{2}y^{2} \end{matrix}\right.$

$y^{2}\left ( x^{4} +2x^{2}\right )=0\Rightarrow x=0$ – единственное решение, так как $y> 0$ .

Подставив $x=0$ в уравнения, из первого уравнения получили, что $y=1$ .

2) Если $a=-1$ , то
$\log _{2}\left ( x^{4}y^{2}+2 \right )=\log _{2}\left ( 1+x^{2}y^{2} \right )+1$

$x^{4}y^{2}+2 = 2+2x^{2}y^{2}$

$y^{2}\left ( x^{4}-2x^{2} \right )=0\Leftrightarrow \left [ \begin{array} {ccc} x=0\\ x=\sqrt{2}\\ x=-\sqrt{2} \end{array} \right.$ – 3 решения. Это нам не подходит.

Ответ: $a=1$ . При этом система имеет единственное решение $\left ( 0;1 \right )$ .

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими статьями. Информация на странице «Задачи с параметрами. Использование четности функций.» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена: 05.09.2023

Задачи с параметрами. Использование четности функций.

Это полезно