Материал для повторения:
Четные и нечетные функции
Что такое параметр. Простые задачи с параметром.
Графический метод в решении задач с параметрами.
Встречались ли вам в задаче 17 Профильного ЕГЭ по математике страшные-престрашные уравнения с параметрами? Такие, на которые смотришь – и вообще не понимаешь, что делать?
Есть множество «инструментов» для решения задач с параметрами — методов, приемов, больших и маленьких секретов. Конечно, эти приемы лучше не изобретать на экзамене, а изучить заранее.
Например, использование четности функций, входящих в уравнение.
1. Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение имеет единственный корень
Откроем секрет. Есть два универсальных способа для решения задач с параметрами. Вот они:
1) Если задачу с параметром можно решить графически — решаем графически.
2) Если в задаче с параметром можно сделать замену переменной — делаем замену переменной.
Второй из этих полезных советов — как раз для нашей задачи. Сделаем замену . Получим:
Конечно, можно решать уравнение графически, построив графики левой и правой его частей. Однако у этого способа есть недостаток: как мы узнаем, пересекаются ли графики в одной точке, или у них еще есть точки касания? Все равно без аналитического исследования не обойтись.
Поэтому выберем другой способ. Обозначим функции в левой и правой частях уравнения как f(x) и g(x):
Заметим, что f(x) и g(x) — четные относительно х, так как их области определения симметричны относительно нуля и ,
.
Значит, если — корень уравнения, то и
— тоже его корень. Поэтому единственное решение может быть только если
. В этом и состоит идея решения таких задач.
Обратите внимание, как аккуратно мы сформулировали: «единственное решение может быть только если ». Ведь может быть еще и такой случай, что
— один из корней уравнения, и при этом есть еще решения. Тогда общее количество решений уравнения нечетно.
Давайте подставим в уравнение и посмотрим, что получится.
. Решив это уравнение, получим:
, или
, или
.
Каждое из найденных значений параметра надо проверить. Подставим их по очереди в исходное уравнение и найдем, сколько решений оно будет иметь при каждом таком b.
1) . При этом
.
У этого уравнения три решения:
, или
, или
. Такое значение параметра нам не подходит.
2)
Уравнение решается методом интервалов для модулей (ССЫЛКА). На числовой прямой отмечаем точки -2 и 2 и решаем уравнение на каждом промежутке.
Получим единственное решение . Нам это подходит. При этом
.
При уравнение получится таким же. Эта ветвь решения дает в результате:
.
Ответ: -9,-5
Это была простая задача. А вот следующая… Только не пугаться! Мы справимся!
2. При каких значениях параметра a система имеет единственное решение
Найти это значение a. Найти решение.
Перед нами система из двух уравнений, в которой есть две переменныех и у, а также параметр а.
Решать такую систему, выражая, например, у через х и подставляя во второе уравнение? — Страшно даже думать об этом!
Для начала запишем ОДЗ — область допустимых значений системы.
ОДЗ:
Заметим, что все функции, входящие в уравнения системы, четны относительно х. А вот это уже что-то. Это значит, что если — решения, то
– тоже решение. Единственное решение возможно, если
.
Подставим в уравнения системы.
Получим:
, отсюда
, следовательно
1)Если , то
Получаем:
– единственное решение, так как
.
Подставив в уравнения, из первого уравнения получили, что
.
2) Если , то
– 3 решения. Это нам не подходит.
Ответ: . При этом система имеет единственное решение
.
Спасибо за то, что пользуйтесь нашими статьями. Информация на странице «Задачи с параметрами. Использование четности функций.» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.
Публикация обновлена: 05.09.2023