previous arrow
next arrow
Slider

Задачи с параметрами. Использование четности функций.

Материал для повторения:

Четные и нечетные функции
Что такое параметр. Простые задачи с параметром.
Графический метод в решении задач с параметрами.

Встречались ли вам в задаче 18 Профильного ЕГЭ по математике страшные-престрашные уравнения с параметрами? Такие, на которые смотришь – и вообще не понимаешь, что делать?

Есть множество «инструментов» для решения задач с параметрами — методов, приемов, больших и маленьких секретов. Конечно, эти приемы лучше не изобретать на экзамене, а изучить заранее.

Например, использование четности функций, входящих в уравнение.

1. Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение имеет единственный корень

x^{2}+\left ( a+7 \right )^{2}=\left | x-7-a \right |+\left | x+7+a \right |

Откроем секрет. Есть два универсальных способа для решения задач с параметрами. Вот они:

1) Если задачу с параметром можно решить графически — решаем графически.

2) Если в задаче с параметром можно сделать замену переменной — делаем замену переменной.

Второй из этих полезных советов — как раз для нашей задачи. Сделаем замену a+7=b. Получим:

x^{2}+b^{2}=\left | x-b \right |+\left | x+b \right |

Конечно, можно решать уравнение графически, построив графики левой и правой его частей. Однако у этого способа есть недостаток: как мы узнаем, пересекаются ли графики в одной точке, или у них еще есть точки касания? Все равно без аналитического исследования не обойтись.

Поэтому выберем другой способ. Обозначим функции в левой и правой частях уравнения как f(x) и g(x):

f\left ( x \right )=x^{2}+b^{2}

g\left ( x \right )=\left | x-b \right |+\left | x+b \right |

Заметим, что f(x) и g(x) — четные относительно х, так как их области определения симметричны относительно нуля и f\left ( -x \right )=f\left ( x \right ), g\left ( -x \right )=g\left ( x \right ).

Значит, если x_{0} — корень уравнения, то и
\left (-x_{0}  \right ) — тоже его корень. Поэтому единственное решение может быть только если x_{0}=0. В этом и состоит идея решения таких задач.

Обратите внимание, как аккуратно мы сформулировали: «единственное решение может быть только если x_{0}=0». Ведь может быть еще и такой случай, что x_{0}=0 — один из корней уравнения, и при этом есть еще решения. Тогда общее количество решений уравнения нечетно.

Давайте подставим x_{0}=0 в уравнение и посмотрим, что получится.

b^{2}=2\left | b \right |. Решив это уравнение, получим:

b=0, или b=-2, или b=2.

Каждое из найденных значений параметра надо проверить. Подставим их по очереди в исходное уравнение и найдем, сколько решений оно будет иметь при каждом таком b.

1) b=0. При этом x^{2}=2\left | x \right |.

У этого уравнения три решения:

x=0, или x=-2, или x=2. Такое значение параметра нам не подходит.

2) b=2,\; x^{2}+4=\left | x-2 \right |+\left | x+2 \right |

Уравнение решается методом интервалов для модулей (ССЫЛКА). На числовой прямой отмечаем точки -2 и 2 и решаем уравнение на каждом промежутке.

\left[	\begin {array}{ccc} 	\left\{\begin{matrix}	x\leq -2\\ 	-x+2-x-2=x^{2}+4	\end{matrix}\right.\\	\left\{\begin{matrix}	-2< x\leq 2\\ 	-x+2+x+2=x^{2}+4	\end{matrix}\right.\\	\!\!\!\left\{\begin{matrix}	x> 2\\ 	x-2+x+2=x^{2}+4	\end{matrix}\right.		\end{array}	\right.\Leftrightarrow 	\left[	\begin {array}{ccc} 	\!\!\!\!\!\!\!\!\!\left\{\begin{matrix}	x\leq -2\\ 	x\in\varnothing 	\end{matrix}\right.\\	\left\{\begin{matrix}	-2< x\leq 2\\ 	x=0	\end{matrix}\right.\\	\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\left\{\begin{matrix}	x> 2\\ 	x\in \varnothing 	\end{matrix}\right.		\end{array}	\right.

Получим единственное решение x=0. Нам это подходит. При этом b=2,\;a+7=2,\;a=-5.

При b=-2 уравнение получится таким же. Эта ветвь решения дает в результате:

b=-2,\;a+7=-2,\;a=-9.

Ответ: -9,-5

Это была простая задача. А вот следующая… Только не пугаться! Мы справимся!

2. При каких значениях параметра a система имеет единственное решение

\left\{\begin{matrix}	2^{\ln y}=4^{\left | x \right |}\\ 	\log _{2}\left ( x^{4}y^{2}+2a^{2} \right )=\log _{2}\left ( 1-ax^{2}y^{2} \right )+1	\end{matrix}\right.

Найти это значение a. Найти решение.

Перед нами система из двух уравнений, в которой есть две переменныех и у, а также параметр а.

Решать такую систему, выражая, например, у через х и подставляя во второе уравнение? — Страшно даже думать об этом!

Для начала запишем ОДЗ — область допустимых значений системы.

ОДЗ: \left\{\begin{matrix}	1-ax^{2}y^{2}> 0\\ 	y> 0	\end{matrix}\right.

Заметим, что все функции, входящие в уравнения системы, четны относительно х. А вот это уже что-то. Это значит, что если x — решения, то
\left (-x  \right ) – тоже решение. Единственное решение возможно, если x=0.

Подставим x=0 в уравнения системы.

Получим:

\left\{\begin{matrix} 	2^{\ln y}=1\\  	\log _{2}2a^{2}=1 	\end{matrix}\right. , отсюда 2a^{2}=2, следовательно \left[ 		\begin{array} {ccc} 		a=1\\ 		a=-1 		\end{array} 		 \right.

1)Если a=1, то \log _{2}\left ( x^{4}y^{2}+2 \right )=\log _{2}\left ( 1-x^{2}y^{2} \right )+1

Получаем:
\left\{\begin{matrix}	1-x^{2}y^{2}> 0\\ 	 x^{4}y^{2}+2 = 2-2x^{2}y^{2} 	\end{matrix}\right.

y^{2}\left ( x^{4} +2x^{2}\right )=0\Rightarrow x=0 – единственное решение, так как y> 0.

Подставив x=0 в уравнения, из первого уравнения получили, что y=1.

2) Если a=-1, то
\log _{2}\left ( x^{4}y^{2}+2 \right )=\log _{2}\left ( 1+x^{2}y^{2} \right )+1

x^{4}y^{2}+2 = 2+2x^{2}y^{2}

y^{2}\left ( x^{4}-2x^{2} \right )=0\Leftrightarrow \left [   	\begin{array} {ccc} 	x=0\\ 	x=\sqrt{2}\\ 	x=-\sqrt{2} 	\end{array} 	\right. – 3 решения. Это нам не подходит.

Ответ: a=1. При этом система имеет единственное решение \left ( 0;1 \right ).