Функция \(y=f(x)\) называется четной, если ее область определения симметрична относительно нуля и для любого \(x\) из ее области определения выполняется равенство
\(f(-x)=f(x). \)
График четной функции симметричен относительно оси ординат.
Например, \(y = x^2, \; y = cos x, \; y = \left |x \right |\) — четные функции.
Функция \(y=f(x)\) называется нечетной, если ее область определения симметрична относительно нуля и для любого \(x\) из ее области определения выполняется равенство
\( f(-x)=-f(x). \)
График нечетной функции симметричен относительно начала координат.
Например, \(y = x^3, \; y = sin x, \; y = tg x, \; y=\displaystyle \frac{1}{x}\) — нечетные функции.
Функции, не являющиеся ни четными, ни нечетными, называются функциями общего вида.
Если вы учитесь в матклассе или на первом курсе вуза — вам могут встретиться вот такие задания:
1. Проверьте, является ли функция \(f(x)=\displaystyle \frac{x}{3}-\frac{3}{x}\) четной (нечетной).
Решение:
Область определения функции \(f(x): x\ne 0.\)
Проверим, является ли \(f(x)\) чётной или нечётной. Если \(f(-x)=f(x),\) функция четна. Если \(f(-x)=-f(x),\) функция нечетна.
\(f(-x)=-\displaystyle \frac{x}{3}+\frac{3}{x}=-\left (\displaystyle \frac{x}{3}-\frac{3}{x}\right )=-f(x)\) — значит, функция \(f(x)=\displaystyle \frac{x}{3}-\frac{3}{x} \) нечётная, её график симметричен относительно нуля.
2. Проверьте, является ли функция \(f(x)=x^2+cosx\) четной (нечетной).
Решение:
Область определения: все действительные числа.
\( f(x)\) — чётная, как сумма двух чётных функций.
\(f(-x)={(-x)}^2+cos(-x)=x^2+cosx=f(x).\)
Её график симметричен относительно оси \(y\).
3. Проверьте, является ли функция \(f(x)=\displaystyle \frac{\sqrt{1-x^2}}{\left|x\right|} \) четной (нечетной).
Решение:
\(D(f):x\in [-1;0)\cup (0;1] . \)
Область определения функции симметрична относительно нуля.
\(f(-x)=\displaystyle \frac{\sqrt{1-{(-x)}^2}}{\left|-x\right|}=\displaystyle \frac{\sqrt{1-x^2}}{\left|x\right|}; \)
\(f(x) \) — чётная, её график симметричен относительно оси \(y\).
