Этот метод применяется, когда остальные не работают или приводят к большим сложностям. Ключевые слова, намекающие на его применение, - «при любом значении параметра «\(a\)» или «для всех \(x\)». Смысл в том, что из этих «любых» значений переменной мы выбираем наиболее удобное для нас, при котором уравнение упрощается. Это может быть \(a=0\), или \(a=1\), или любое другое – лишь бы уравнение при таком значении параметра стало проще.
1. Найдите все значения \(x\), удовлетворяющие уравнению
\(2log_{3a^2+2}(7-\sqrt{34+x})=log_{2a^2+3}(3-x)\) при любом значении параметра \(a\).
Решение:
Заметим, что \(3a^2+2 > 1\) и \(2a^2+3 > 1\) при всех \(a\).
Если \(x_0\) решение уравнения при любом значении параметра \(a\), то \(x_0\) будет решением и при тех значениях параметра \(a\), при которых уравнение значительно упрощается.
При каких же значения параметра уравнение становится проще? Конечно, при \(a^2=1\).
Тогда \(3a^2+2=2a^2+3=5\), и мы получим обычное логарифмическое уравнение:
\(2log_{5}(7-\sqrt{34+x})=log_{5}(3-x)\). Давайте решим его.
ОДЗ: \(\left\{\begin{matrix}
34+x\geq 0, \\
7-\sqrt{34+x}>0, \\
3-x>0.\end{matrix}\right.\)
При выполнении этих условий перейдем к уравнению без логарифмов:
\((7-\sqrt{34+x})^2=3-x;\)
\(49+34+x-14\sqrt{34+x}=3-x;\)
\(14\sqrt{34+x}=80+2x;\)
\(7\sqrt{34+x}=40+x;\)
\(49(34+x)=1600+80x+x^2;\)
\(x^2+31x-66=0.\)
\(D=31^2+4 \cdot 66=1225; \; \sqrt{D}=35.\)
\(x=2\) или \(x=-33.\)
Мы нашли, что \(x=2\) и \(x=-33\) будут корнями уравнения при \(a=\pm 1\), и других корней у уравнения нет.
Осталось выяснить, будут ли \(x=2\) и \(x=-33\) также корнями уравнения при всех остальных значениях параметра \(a\).
1) Пусть \(x=2\). Подставим \(x=2\) в исходное уравнение.
\(2log_{3a^2+2}(7-\sqrt{34+2})=log_{2a^2+3}(3-2).\)
\(2log_{3a^2+2}1=log_{2a^2+3}1, \; 0=0\), и это верно при всех \(a\).
Значит, \(x=2\) — решение уравнения при любой значении параметра \(a\).
2) Пусть \(x=-33\). Подставим это значение в уравнение.
\(2log_{3a^2+2}(7-\sqrt{34-33})=log_{2a^2+3}(3+33);\)
\(2log_{3a^2+2}6=log_{2a^2+3}36;\)
\(log_{3a^2+2}6=log_{2a^2+3}6.\)
Применим формулу перехода к другому основанию:
\(\displaystyle \frac{1}{log_6(3a^2+2)}=\frac{1}{log_6 (2a^2+3)};\)
\(log_6(3a^2+2)=log_6 (2a^2+3);\)
\(3a^2+2=2a^2+3;\)
\(a^2=1\), \(a=\pm1.\)
Мы нашли, что \(x=-33\) является корнем уравнения при \(a=\pm1\). Удовлетворяет ли это условию задачи? Нет, потому что надо было найти \(x\), которые являются решениями при всех \(a\), а не только при каких-то отдельных. Нам подходит только \(x=2\).
Ответ: \(x=2\).
2. Найдите все значения \(x\), каждое из которых является решением уравнения \(\displaystyle \frac{5a\sqrt{3}sin4x+(\sqrt{3}-5a)cos 4x}{6sin 4x-\sqrt{3}cos 4x}=1\) при любом значении \(a\) из отрезка \([-3\sqrt2;1]\).
Решение:
Обозначим \(4x=t\). Уравнение станет немного проще:
\(\displaystyle \frac{5a\sqrt{3}sint+(\sqrt{3}-5a)cost}{6sint-\sqrt{3}cost}=1.\)
Выберем «удобное» значение параметра: \(a=0\). Ведь мы ищем значения \(t\), которые будут решениями исходного уравнения при любом \(a\) из отрезка \([-3\sqrt{2};1]\) – в том числе и при \(a=0\).
Подставив \(a=0\) в исходное уравнение, найдем значения \(t\) и убедимся, что они будут решениями при любом \(a\) из отрезка \([-3\sqrt{2};1]\). И после этого вернемся к переменной \(x\).
При \(a=0\) получим:
\(\displaystyle \frac{\sqrt{3}cos t}{6sin t-\sqrt{3}cos t}=1;\)
\(\left\{\begin{matrix}
\sqrt{3}cos t=6sin t-\sqrt{3}cost, \\
6sint-\sqrt{3}cos t\neq 0;\end{matrix}\right.\)
\(\left\{\begin{matrix}
\sqrt{3}cos t=3sin t ,\\
6sint\neq \sqrt{3}cos t.\end{matrix}\right.\)
Первое уравнение — однородное. Разделим обе его части на \(cos t \neq 0\). Мы можем это сделать, так как если в нем \(cos t=0\), то и \(sin t=0\), а таких углов нет. И во втором уравнении также разделим обе части на \(cos t\).
\(\left\{\begin{matrix}
tg t=\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}, \\
tg t\neq \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{6};\end{matrix}\right.\Leftrightarrow tgt=\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}.\)
\(t=\displaystyle \frac{\pi }{6}+\pi k, \; k\in Z.\)
Проверим, что \(t=\displaystyle \frac{\pi }{6}+\pi k, \; k\in Z\) будет решением исходного уравнения не только при \(a=0\), но и при любом \(a\in [-3\sqrt{2}; 1]\).
Если \(t=\displaystyle \frac{\pi }{6}+\pi k\), то \(sint=\displaystyle \frac{1}{2}, \; cost=\displaystyle \frac{\sqrt3}{2}\) или \(sint=-\displaystyle \frac{1}{2}, \; cost=-\displaystyle \frac{\sqrt3}{2}.\)
Подставим эти значения в уравнение.
1) Подставим \(sint=\displaystyle \frac{1}{2}\) и \(cost=\displaystyle \frac{\sqrt3}{2}:\)
\(\displaystyle \frac{5a\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}+(\sqrt{3}-5a)\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{3-\frac{\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}{2}}=1;\)
\(\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}(5a+\sqrt{3}-5a)=\frac{3}{2};\)
\(\displaystyle \frac{3}{2}=\frac{3}{2},\) верно.
2) Теперь подставим \(sint=-\displaystyle \frac{1}{2}\) и \(cost=-\displaystyle \frac{\sqrt3}{2}:\)
\(\displaystyle \frac{-5a\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}-(\sqrt{3}-\sqrt{5a})\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{-3+\frac{\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}{2}}=1;\)
\(-\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}(5a+\sqrt{3}-5a)=-\frac{3}{2};\)
\(-\displaystyle \frac{3}{2}=-\frac{3}{2},\) верно.
Мы нашли, что \(t=\displaystyle \frac{\pi }{6}+\pi k\) является решением уравнения при любом \(a\), в том числе и при \(a\in [-3\sqrt{2}; 1]\).
Тогда \(x=\displaystyle \frac{t}{4}=\displaystyle \frac{\pi }{24}+\frac{\pi k}{4}.\)
Ответ: \(\displaystyle \frac{\pi }{24}+\frac{\pi k}{4}.\)
