Анна Малкова
В 2022 году в варианты ЕГЭ по математике добавились новые задачи по теории вероятностей. По сравнению с теми, которые раньше были в варианте, это повышенный уровень сложности.
Мы разберем задачу №5 из Демоверсии ЕГЭ-2022, задания из Методических рекомендаций ФИПИ для учителей и аналогичные им.
БЕСПЛАТНЫЙ МИНИ-КУРС ПО ТЕОРВЕРУ
1. Демоверсия ЕГЭ-2022
Симметричную игральную кость бросили 3 раза. Известно, что в сумме выпало 6 очков. Какова вероятность события «хотя бы раз выпало 3 очка»?
Решение:
Выпишем возможные исходы как тройки чисел так, чтобы в сумме получилось 6.
Всего 10 возможных исходов. Благоприятные исходы помечены красным цветом, их 6.
По определению вероятности получаем \(p = 6 : 10 = 0,6.\)
2. Игральный кубик бросают дважды. Известно, что в сумме выпало 8 очков. Найдите вероятность того, что во второй раз выпало 3 очка.
Решение:
Выпишем возможные варианты получения 8 очков в сумме:
Подходит только вариант 5; 3. Вероятность этого события равна 1 : 5 = 0,2 (один случай из 5 возможных).
Ответ: 0,2.
3. В ящике 4 красных и 2 синих фломастера. Фломастеры вытаскивают по очереди в случайном порядке. Какова вероятность того, что первый раз синий фломастер появится третьим по счету?
Решение:
Благоприятными будут следующие исходы:
Первый раз – вытащили красный фломастер.
И второй раз – красный.
А третий раз – синий.
Вероятность вытащить красный фломастер (которых в ящике 4) равна \(\displaystyle \frac{4}{6} = \frac{2}{3}.\)
После этого в ящике остается 5 фломастеров, из них 3 красных, вероятность вытащить красный равна \(\displaystyle \frac{3}{5}.\)
Наконец, когда осталось 4 фломастера и из них 2 синих, вероятность вытащить синий равна \(\displaystyle \frac{1}{2}.\)
Вероятность события {красный – красный – синий } равна произведению этих вероятностей, то есть
\(\displaystyle \frac{2}{3} \cdot\frac{3}{5} \cdot\frac{1}{2} = \frac{1}{5} = 0,2. \)
Ответ: 0,2.
4. В коробке 10 синих, 9 красных и 6 зеленых фломастеров. Случайным образом выбирают 2 фломастера. Какова вероятность того, что окажутся выбраны один синий и один красный фломастер?
Решение:
Всего в коробке 25 фломастеров.
В условии не сказано, какой из фломастеров вытащили первым – красный или синий.
Предположим, что первым вытащили красный фломастер. Вероятность этого \(\displaystyle \frac{9}{25},\) в коробке остается 24 фломастера, и вероятность вытащить вторым синий равна \(\displaystyle \frac{10}{24}.\) Вероятность того, что первым вытащили красный, а вторым синий, равна \(\displaystyle \frac{9}{25} \cdot \frac{10}{24}=\frac{3}{5}\cdot \frac{1}{4} = \frac{3}{20}.\)
А если первым вытащили синий фломастер? Вероятность этого события равна \(\displaystyle \frac{10}{25} = \frac{2}{5}.\) Вероятность после этого вытащить красный равна \(\displaystyle\frac{9}{24} = \frac{3}{8},\) вероятность того, что синий и красный вытащили один за другим, равна \(\displaystyle\frac{2}{5} \cdot \frac{3}{8} = \frac{3}{20}.\)
Значит, вероятность вытащить первым красный, вторым синий или первым синий, вторым красный равна \(\displaystyle\frac{3}{20} + \frac{3}{20} = 0,3.\)
А если их доставали из коробки не один за другим, а одновременно? Вероятность остается такой же: 0,3. Потому что она не зависит от того, вытащили мы фломастеры один за другим, или с интервалом в 2 секунды, или с интервалом в 0,5 секунды… или одновременно!
Ответ: 0,3.
5. При подозрение на наличие некоторого заболевания пациента отправляют на ПЦР-тест. Если заболевание действительно есть, то тест подтверждает его в 86 % случаев. Если заболевания нет, то тест выявляет отсутствие заболевания в среднем в 94% случаев.
Известно, что в среднем тест оказывается положительным у 10% пациентов, направленных на тестирование. При обследовании некоторого пациента врач направил его на ПЦР-тест, который оказался положительным. Какова вероятность того, что пациент действительно имеет это заболевание?
Решение:
Уточним условие: "Какова вероятность того, что пациент, ПЦР-тест которого положителен, действительно имеет это заболевание?". В такой формулировке множество возможных исходов - это число пациентов с положительным результатом ПЦР-теста, причем только часть из них действительно заболевшие.
Пациент приходит к врачу и делает ПЦР-тест. Он может быть болен этим заболеванием – с вероятностью х. Тогда с вероятностью 1 – х он этим заболеванием не болен.
Анализ пациента может быть положительным по двум причинам:
а) пациент болеет заболеванием, которое нельзя называть, его анализ верен; событие А;
б) пациент не болен этим заболеванием, его анализ ложно-положительный, событие В.
Это несовместные события, и вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий.
Имеем:
\(P(A)=0,86x;\)
\(P(B)=0,06 \cdot (1-x);\)
\(P(A+B)=P(A)+P(B)=0,86x+0,06(1-x)=0,1.\)
Мы составили уравнение, решив которое, найдем вероятность x.
\(x=0,05.\)
Что такое вероятность х? Это вероятность того, что пациент, пришедший к доктору, действительно болен. Здесь множество возможных исходов - это количество всех пациентов, пришедших к доктору.
Нам же нужно найти вероятность z того, что пациент, ПЦР-тест которого положителен, действительно имеет это заболевание. Вероятность этого события равна \(0,05 \cdot 0,86\) (пациент болен и ПЦР-тест выявил заболевание, произведение событий). С другой стороны, эта вероятность равна \(0,1 \cdot z\) (у пациента положительный результат ПЦР-теста, и при выполнении этого условия он действительно болен).
Получим: \(0,05 \cdot 0,86 = 0,1 \cdot z\) отсюда \(z = 0,43.\)
Ответ: 0,43.
Вероятность того, что пациент с положительным результатом ПЦР-теста действительно болен, меньше половины!
Кстати, это реальная проблема для диагностики в медицине, то есть в задаче отражена вполне жизненная ситуация.
Лень разбираться самому?
Присоединяйся к мини-курсу по теории вероятностей
6. Телефон передает sms-сообщение. В случае неудачи телефон делает следующую попытку. Вероятность того, что сообщение удастся передать без ошибок в каждой следующей попытке, равна 0,4. Найдите вероятность того, что для передачи сообщения потребуется не больше 2 попыток.
Решение:
Здесь все просто. Либо сообщение удалось передать с первой попытки, либо со второй.
Вероятность того, что сообщение удалось передать с первой попытки, равна 0,4.
С вероятностью 0,6 с первой попытки передать не получилось. Если при этом получилось со второй, то вероятность этого события равна \(0,6 \cdot 0,4.\)
Значит, вероятность того, что для передачи сообщения потребовалось не более 2 попыток, равна \( 0,4 + 0,4 \cdot 0,6 = 0,4 \cdot (1+0,6) = 0,64.\)
Ответ: 0,64.
7. Симметричную монету бросают 10 раз. Во сколько раз вероятность события «выпадет ровно 5 орлов» больше вероятности события «выпадет ровно 4 орла»?
Решение:
А это более сложная задача. Можно, как и в предыдущих, пользоваться определением вероятности и понятиями суммы и произведения событий. А можно применить формулу Бернулли.
Формула Бернулли:
– Вероятность \(P^m_n\) того, что в n независимых испытаниях некоторое случайное событие A наступит ровно m раз, равна:
\(P^m_n = C^m_n p^m q^{n-m},\) где
p – вероятность появления события A в каждом испытании;
\(q=1-p\) – вероятность появления события A в каждом испытании.
Коэффициент \(C^m_n\) часто называют биномиальным коэффициентом.
О том, что это такое, расскажем с следующих статьях на нашем сайте. Чтобы не пропустить – подписывайтесь на нашу рассылку.
А пока скажем просто, как их вычислять.
\(\displaystyle C^m_n = \frac{n!}{m!(n-m)!}.\)
Нет, это не заклинание. Не нужно громко кричать: Эн!!!! Поделить на эм! И на эн минус эм! То, что вы видите в формуле, – это не восклицательные знаки. Это факториалы. На самом деле все просто: n! (читается: эн факториал) – это произведение натуральных чисел от 1 до n. Например,
\(6! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6.\)
Пусть вероятность выпадения орла при одном броске монеты равна \(\displaystyle\frac{1}{2}, \) вероятность решки тоже \(\displaystyle \frac{1}{2}. \) Давайте посчитаем вероятность того, что из 10 бросков монеты выпадет ровно 5 орлов.
\(\displaystyle P_1=C_{10}^5\left ( \frac{1}{2} \right )^5\cdot \left ( \frac{1}{2} \right )^5=\frac{10!}{5!\cdot 5!\cdot 2^{10}}.\)
Вероятность выпадения ровно 4 орлов равна
\(\displaystyle P_2=C_{10}^4\cdot \left ( \frac{1}{2} \right )^4\cdot \left ( \frac{1}{2} \right )^6=\frac{10!}{4!\cdot 6!\cdot 2^{10}}.\)
Найдем, во сколько раз \(P_1\) больше, чем \(P_2.\)
\(\displaystyle \frac{P_1}{P_2}=\frac{10!\cdot 4!\cdot 6!\cdot 2^{10}}{5!\cdot 5!\cdot 2^{10}\cdot 10!}=\frac{4!}{5!}=\frac{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 1\cdot 2\cdot 3 \cdot 4\cdot 5\cdot 6}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4\cdot 5 \cdot 1\cdot 2\cdot 3 \cdot 4\cdot 5}=\)
\(\displaystyle =\frac{6}{5} = 1,2.\)
Ответ: 1,2.
8. Стрелок стреляет по пяти одинаковым мишеням. На каждую мишень дается не более двух выстрелов, и известно, что вероятность поразить мишень каждым отдельным выстрелом равна 0,6. Во сколько раз вероятность события «стрелок поразит ровно 5 мишеней» больше вероятности события «стрелок поразит ровно 4 мишени»?
Решение:
Стрелок поражает мишень с первого или со второго выстрела;
Вероятность поразить мишень равна
\(0,6+0,4 \cdot 0,6 = 0,84.\)
Вероятность поразить 5 мишеней из 5 равна \(0,84^5 = P_1.\)
Вероятность поразить 4 мишени из 5 находим по формуле Бернулли:
\(\displaystyle P_2=C_{5}^{4}\cdot 0,84^{4}\cdot 0,16=\frac{5!\; 0,84^4 \cdot 0,16}{4!}=5\cdot 0,84^4 \cdot 0,16.\)
\(\displaystyle \frac{P_1}{P_2} = \frac{0,84^5}{5 \cdot 0,84^4 \cdot 0,16}= \frac{0,84}{0,8}=1,05.\)
9. Стрелок стреляет по пяти одинаковым мишеням. На каждую мишень дается не более двух выстрелов, и известно, что вероятность поразить мишень каждым выстрелом равна 0,5. Во сколько раз вероятность события «стрелок поразит ровно 3 мишени» больше вероятности события «стрелок поразит ровно 2 мишени»?
Решение:
Найдем вероятность поразить одну мишень – с первого или со второго выстрела.
С вероятностью \(\displaystyle \frac{1}{2}\) стрелок поражает мишень первым выстрелом (и больше по ней не стреляет).
Найдем вероятность того, что стрелок поразит мишень вторым выстрелом. Она равна \(\displaystyle \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4},\) так как с вероятностью \(\displaystyle \frac{1}{2}\) он промахнулся в первый раз и с вероятностью \(\displaystyle \frac{1}{2}\) второй выстрел был удачным.
Значит, вероятность поразить одну мишень первым или вторым выстрелом равна \(\displaystyle \frac{1}{2}+\frac{1}{4} = \frac{3}{4}.\)
Теперь нам на помощь придет формула Бернулли.
Найдем вероятность того, что стрелок поразит ровно 3 мишени из 5.
\(\displaystyle P_1=P^3_5=C^3_5 \cdot \left ( \frac{3}{4} \right )^3 \cdot \left ( \frac{1}{4} \right )^2 = \frac{5!}{3!\ 2!} \cdot \frac{3^3}{4^5}.\)
Вероятность поразить ровно 2 мишени из пяти
\(\displaystyle P_2=P^2_5=C^2_5 \cdot \left ( \frac{3}{4} \right )^2\cdot \left( \frac{1}{4} \right )^3 = \frac{5!}{3!\ 2!} \cdot \frac{3^2}{4^5}.\)
Заметим, что \(C^3_5 = C^2_5.\)
Получим:
\(\displaystyle \frac{P_1}{P_2} = \frac{3^3 \cdot 4^5}{4^5 \cdot 3^2} = 3.\)
Ответ: 3.
10. Стрелок в тире стреляет по мишени. Известно, что он попадает в цель с вероятностью 0,3 при каждом отдельном выстреле. Какое наименьшее количество патронов нужно дать этому стрелку, чтобы вероятность поражения цели была не менее 0,6?
Решение:
Похожие задачи были в Банке заданий ФИПИ и раньше. Пусть у стрелка есть n патронов. Стрелок может поразить цель первым, вторым … n-ным выстрелом, и все эти исходы для нас благоприятны. Не подходит только один исход – когда стрелок n раз стрелял и каждый раз был промах.
Вероятность промаха при одном выстреле равна 1 – 0,3 = 0,7.
Вероятность n промахов (из n выстрелов) равна \(0,7^n,\) а вероятность попасть с первого раза или сто второго ... или с n-ого выстрела равна \(1-0,7^n.\)
По условию, \(1-0,7^n \geq 0,6.\)
\(0,7^n \leq 0,4.\)
Если \(n = 2,\) то \(0,7^2 = 0,49\) – не подходит.
Для \(n=3\) условие выполнено, \(0,7^3 = 0,343 \textless 0,4.\)
Хватит 3 патронов.
Ответ: 3.
11. Игральную кость бросают до тех пор, пока сумма всех выпавших очков не превысит число 3. Какова вероятность того, что для этого потребуется ровно 3 броска? Ответ округлите до сотых.
Решение:
Кажется, что задача сложная (на самом деле нет).
Давайте подумаем: как получилось, что ровно за 3 броска игральной кости сумма выпавших очков оказалась больше трех? Из этого следует, что за 2 броска сумма выпавших очков была меньше 3 или равна 3.
Если за 2 броска сумма выпавших очков была меньше 3, значит, она была равна 2, то есть первый раз выпала единица и второй раз тоже единица. Вероятность этого события равна \(\displaystyle \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1}{36}.\)
Сколько же очков в этом случае должен дать третий бросок? Очевидно, что подойдет 2, 3, 4, 5, 6 – все, кроме 1. Вероятность того, что при третьем броске выпадет число очков, не равное единице, равна \(\displaystyle \frac{5}{6}.\)
Значит, вероятность того, что при первых двух бросках выпали единицы, а при третьем – не единица, равна \(\displaystyle \frac{5}{216}.\)
Нам подойдет также случай, когда сумма очков за первые 2 броска равна 3. Это значит, что выпали 2 и 1 или 1 и 2, то есть 2 благоприятных исхода из 36 возможных. Вероятность этого события равна \(\displaystyle \frac{2}{36} = \frac{1}{18}.\)
При этом нам все равно, что выпадет при третьем броске: очевидно, что сумма очков при трех бросках будет больше трех.
Окончательно получаем: \(\displaystyle \frac{5}{216} + \frac{1}{18} = \frac{17}{216} \approx 0,08.\)
Ответ: 0,08.
Вот еще одна задача из Демоверсии ЕГЭ-2022:
12. В городе 48% взрослого населения – мужчины. Пенсионеры составляют 12,6% взрослого населения, причём доля пенсионеров среди женщин равна 15%. Для социологического опроса выбран случайным образом мужчина, проживающий в этом городе. Найдите вероятность события «выбранный мужчина является пенсионером».
Решение:
Пусть N – численность взрослого населения в городе (мужчин и женщин).
Количество взрослых мужчин в городе: 0,48N.
Количество женщин в городе: 0,52N.
Из них 0,15 * 0,52N = 0,078N женщин-пенсионеров.
Всего пенсионеров 0,126N.
Тогда количество мужчин-пенсионеров равно 0,126N – 0,078N = 0,048N.
Вероятность для случайно выбранного мужчины оказаться пенсионером равна отношению числа мужчин-пенсионеров к числу мужчин в городе, то есть 0,048 N : 0,48N = 0,1.
Ответ. 0,1.
Мы разобрали все доступные типы заданий №4 из вариантов ЕГЭ-2022. Раздел будет дополняться решениями новых задач – как только они появятся в Банке заданий ФИПИ.
