previous arrow
next arrow
Slider

Задание 12 Профильного ЕГЭ по математике

Задание 12 первой части Профильного ЕГЭ по математике — это нахождение точек максимума и минимума функции, а также наибольших и наименьших значений функции с помощью производной.

Вот какие типы задач могут встретиться в этом задании:

Нахождение точек максимума и минимума функций

Исследование сложных функций

Нахождение наибольших и наименьших значений функций на отрезке

Нахождение точек максимума и минимума функций

1. Найдите точку максимума функции y=-{{x^2+289}\over{x}}.

Найдем производную функции.

y^{

Приравняем производную к нулю. Получим:

x^2=289\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{c} \ x=17, \hfill \\ x=-17. \end{array} \right.

Исследуем знаки производной.

В точке x = 17 производная y меняет знак с «плюса» на «минус». Значит, x= 17 — точка максимума функции y(x).

Ответ: 17.

2. Найдите точку минимума функции y=2x^2-5x+lnx-3.

Найдем производную функции.

y{

Приравняем производную к нулю.

4x-5+{{1}\over{x}}=0\Leftrightarrow 4x^2-5x+1=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{c} \ x=1, \\ x={{1}\over{4}}. \end{array} \right.

Определим знаки производной.

В точке x = 1 производная y меняет знак с «минуса» на «плюс». Значит, x= 1 — точка минимума функции y(x).

Ответ: 1.

Исследование сложных функций

3. Найдите точку максимума функции y=2^{5-8x-x^2}.

Перед нами сложная функция y=2^{5-8x-x^2}. Возможно, вы знаете формулы производной сложной функции. Но вообще-то их изучают на первом курсе вуза, поэтому мы решим задачу более простым способом.

Так как функция y=2^t монотонно возрастает, точка максимума функции y=2^{5-8x-x^2}.будет при том же x_0, что и точка максимума функции t\left(x\right)=5-8x-x^2. А ее найти легко.

t^{

t^{ при x=-4. В точке x = -4 производная {{ t}}^{{ меняет знак с «плюса» на «минус». Значит, x= - 4 — точка максимума функции { t}\left({ x}\right).

Заметим, что точку максимума функции t\left(x\right)=5-8x-x^2 можно найти и без производной.

Графиком функции t\left(x\right) является парабола ветвями вниз, и наибольшее значение t\left(x\right) достигается в вершине параболы, то есть при x=-\frac{8}{2}=-4.

Ответ: - 4.

4. Найдите абсциссу точки максимума функции y=\sqrt{4-4x-x^2}.

Напомним, что абсцисса — это координата по X.

Снова сложная функция. Применяем тот же прием, что и в предыдущей задаче.

Так как функция y=\sqrt{z} монотонно возрастает, точка максимума функции y=\sqrt{4-4x-x^2} является и точкой максимума функции t\left(x\right)=4-4x-x^2.

Это вершина квадратичной параболы t\left(x\right)=4-4x-x^2;x_0=\frac{-4}{2}=-2.

Нахождение наибольших и наименьших значений функций на отрезке

5. Найдите наибольшее значение функции y=x^3+2x^2-4x+4 на отрезке [-2;0].

Мы помним, что наибольшее значение функции на отрезке может достигаться либо в точке максимума, либо на конце отрезка. Эти случаи показаны на рисунке.

Будем искать точку максимума функции y=x^3+2x^2-4x+4 с помощью производной. Найдем производную и приравняем ее к нулю.

y

y

{3x}^2+4x-4=0;

D=64;x=\frac{-4\pm 8}{6};x_1=\frac{2}{3},x_2=-2.

Найдем знаки производной.

В точке x = - 2 производная равна нулю и меняет знак с "+" на "-". Значит, x = - 2 — точка максимума функции y(x). Поскольку при x\in [-2;0] функция y(x) убывает, y_{max}\left(x\right)=y\left(-2\right)=12. В этой задаче значение функции на концах отрезка искать не нужно.

Ответ: 12

6. Найдите наименьшее значение функции y={4x}^2-10x+2lnx-5 на отрезке [0,3;3].

Найдем производную функции y={4x}^2-10x+2lnx-5 и приравняем ее к нулю.

y при x_1=1,x_2=\frac{1}{4}.

Найдем знаки производной.

Точка x_1=1 — точка минимума функции y\left(x\right). Точка x_2=\frac{1}{4} не лежит на отрезке [0,3;1]. Поэтому

 и  Значит, наименьшее значение функции на отрезке \left[0,3;1\right] достигается при x=1. Найдем это значение.

y_{min}\left(x\right)=y\left(1\right)=4-10-5=-11

Ответ: -11.

7. Найдите наименьшее значение функции y=9x-{\ln \left(9x\right)}+3 на отрезке \left[\frac{1}{18};\frac{5}{18}\right].

Иногда перед тем, как взять производную, формулу функции полезно упростить.

y=9x-{\ln \left(9x\right)}+3=9x-{\ln 9-{\ln x}}+3.

Мы применили формулу для логарифма произведения. y при x=\frac{1}{9}.

Если  то  Если , то 

Значит, x=\frac{1}{9} — точка минимума функции y(x). В этой точке и достигается наименьшее значение функции на отрезке \left[\frac{1}{18};\frac{5}{18}\right].

y_{min}\left(x\right)=y\left(\frac{1}{2}\right)=1+3=4

Ответ: 4

8. Найдите наибольшее значение функции y(x)=14x-7tgx-3,5\pi +11 на отрезке \left[-\frac{\pi }{3};\frac{\pi }{3}\right].

Найдем производную функции y(x)=14x-7tgx-3,5\pi +11. y

Приравняем производную к нулю: 14-\frac{7}{{cos}^2x}=0

{cos}^2x=\frac{1}{2}

{cos}^2x=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}. Поскольку x\in \left[-\frac{\pi }{3};\frac{\pi }{3}\right], y если x=\pm \frac{\pi }{4}.

Найдем знаки производной на отрезке \left[-\frac{\pi }{3};\frac{\pi }{3}\right].

При x=\frac{\pi }{4} знак производной меняется с «плюса» на «минус». Значит, x=\frac{\pi }{4} — точка максимума функции y(x).

Мы нашли точку максимума, но это еще не все. Сравним значения функции в точке максимума и на конце отрезка, то есть при x=-\frac{\pi }{3} и x =\frac{\pi }{4}.

y\left(\frac{\pi }{4}\right)=-7+11=4

Мы нашли, что y_{max}\left(x\right)=y\left(\frac{\pi }{4}\right)=-7+11=4.

Заметим, что если вам попадется такая задача в первой части ЕГЭ по математике, то находить значение функции при -\frac{\pi }{3} не обязательно. Как мы видим, это значение — число иррациональное. А в первой части ЕГЭ по математике ответом может быть только целое число или конечная десятичная дробь.

Ответ: 4

9. Найдите наименьшее значение функции y=e^{2x}-{8e}^x+9 на отрезке [0;2].

Снова сложная функция. Запишем полезные формулы:

{{(e}^{-x})}^{

{\left(e^{cx}\right)}^{

{(e}^{x+a})

Найдем производную функции y=e^{2x}-{8e}^x+9.

y

y если e^x=4. Тогда x=ln4.

 При x=ln4 знак производной меняется с «минуса» на «плюс». Значит, x=ln4 — точка минимума функции y(x). y\left(ln4\right)=4^2-8\cdot 4+9=16-32+9=-7.

10. Найдите наибольшее значение функции y=12cosx+6\sqrt{3}x-2\sqrt{3}\pi +6 на отрезке \left[0;\frac{\pi }{2}\right]

Как всегда, возьмем производную функции и приравняем ее к нулю.

y

y 12sinx=6\sqrt{3}

sinx=\frac{\sqrt{3}}{2};

По условию, x\in \left[0;\frac{\pi }{2}\right]. На этом отрезке условие sinx=\frac{\sqrt{3}}{2} выполняется только для x=\frac{\pi }{3}. Найдем знаки производной слева и справа от точки x=\frac{\pi }{3}.

В точке x_0=\frac{\pi }{3} производная функции меняет знак с «плюса» на «минус». Значит, точка x_0=\frac{\pi }{3} — точка максимума функции y(x). Других точек экстремума на отрезке \left[0;\frac{\pi }{2}\right] функция не имеет, и наибольшее значение функции { y=12cosx+6}\sqrt{{ 3}}{ }{ x}{ -}{ 2}\sqrt{{ 3}}{ }\pi { +6} на отрезке \left[{ 0};\frac{\pi }{{ 2}}\right] достигается при { x=}\frac{\pi }{{ 3}}.

y_{max}\left(x\right)=y\left(\frac{\pi }{3}\right)=12. Ответ: 12.

11.Найдите наименьшее значение функции y=16x-6sinx+6 на отрезке \left[0;\frac{\pi }{2}\right].

Найдем производную функции и приравняем ее к нулю.  — нет решений.

Что это значит? Производная функции y=16x-6sinx+6 не равна нулю ни в какой точке. Это значит, что знак производной в любой точке одинаков, а функция не имеет экстремумов и является монотонной.

Поскольку cosx\le 1, получим, что  для всех x, и функция y\left(x\right)=16x-6sinx+6 монотонно возрастает при x\in \left[0;\frac{\pi }{2}\right].

Значит, наименьшее свое значение функция принимает в левом конце отрезка \left[{ 0};\frac{\pi }{{ 2}}\right], то есть при x=0.

y_{min}\left(x\right)=y\left(0\right)=6.

Ответ: 6