Slider

Задание 12 Профильного ЕГЭ по математике

Задание 12 первой части Профильного ЕГЭ по математике — это нахождение точек максимума и минимума функции, а также наибольших и наименьших значений функции с помощью производной.

Вот какие типы задач могут встретиться в этом задании:

Нахождение точек максимума и минимума функций

Исследование сложных функций

Нахождение наибольших и наименьших значений функций на отрезке

Нахождение точек максимума и минимума функций

1. Найдите точку максимума функции y=-{{x^2+289}\over{x}}.

Найдем производную функции.

y^{

Приравняем производную к нулю. Получим:

x^2=289\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{c} \ x=17, \hfill \\ x=-17. \end{array} \right.

Исследуем знаки производной.

В точке x = 17 производная y меняет знак с «плюса» на «минус». Значит, x= 17 — точка максимума функции y(x).

Ответ: 17.

2. Найдите точку минимума функции y=2x^2-5x+lnx-3.

Найдем производную функции.

y{

Приравняем производную к нулю.

4x-5+{{1}\over{x}}=0\Leftrightarrow 4x^2-5x+1=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{c} \ x=1, \\ x={{1}\over{4}}. \end{array} \right.

Определим знаки производной.

В точке x = 1 производная y меняет знак с «минуса» на «плюс». Значит, x= 1 — точка минимума функции y(x).

Ответ: 1.

Исследование сложных функций

3. Найдите точку максимума функции y=2^{5-8x-x^2}.

Перед нами сложная функция y=2^{5-8x-x^2}. Возможно, вы знаете формулы производной сложной функции. Но вообще-то их изучают на первом курсе вуза, поэтому мы решим задачу более простым способом.

Так как функция y=2^t монотонно возрастает, точка максимума функции y=2^{5-8x-x^2}.будет при том же x_0, что и точка максимума функции t\left(x\right)=5-8x-x^2. А ее найти легко.

t^{

t^{ при x=-4. В точке x = -4 производная {{ t}}^{{ меняет знак с «плюса» на «минус». Значит, x= - 4 — точка максимума функции { t}\left({ x}\right).

Заметим, что точку максимума функции t\left(x\right)=5-8x-x^2 можно найти и без производной.

Графиком функции t\left(x\right) является парабола ветвями вниз, и наибольшее значение t\left(x\right) достигается в вершине параболы, то есть при x=-\frac{8}{2}=-4.

Ответ: - 4.

4. Найдите абсциссу точки максимума функции y=\sqrt{4-4x-x^2}.

Напомним, что абсцисса — это координата по X.

Снова сложная функция. Применяем тот же прием, что и в предыдущей задаче.

Так как функция y=\sqrt{z} монотонно возрастает, точка максимума функции y=\sqrt{4-4x-x^2} является и точкой максимума функции t\left(x\right)=4-4x-x^2.

Это вершина квадратичной параболы t\left(x\right)=4-4x-x^2;x_0=\frac{-4}{2}=-2.

Нахождение наибольших и наименьших значений функций на отрезке

5. Найдите наибольшее значение функции y=x^3+2x^2-4x+4 на отрезке [-2;0].

Мы помним, что наибольшее значение функции на отрезке может достигаться либо в точке максимума, либо на конце отрезка. Эти случаи показаны на рисунке.

Будем искать точку максимума функции y=x^3+2x^2-4x+4 с помощью производной. Найдем производную и приравняем ее к нулю.

y

y

{3x}^2+4x-4=0;

D=64;x=\frac{-4\pm 8}{6};x_1=\frac{2}{3},x_2=-2.

Найдем знаки производной.

В точке x = - 2 производная равна нулю и меняет знак с "+" на "-". Значит, x = - 2 — точка максимума функции y(x). Поскольку при x\in [-2;0] функция y(x) убывает, y_{max}\left(x\right)=y\left(-2\right)=12. В этой задаче значение функции на концах отрезка искать не нужно.

Ответ: 12

6. Найдите наименьшее значение функции y={4x}^2-10x+2lnx-5 на отрезке [0,3;3].

Найдем производную функции y={4x}^2-10x+2lnx-5 и приравняем ее к нулю.

y при x_1=1,x_2=\frac{1}{4}.

Найдем знаки производной.

Точка x_1=1 — точка минимума функции y\left(x\right). Точка x_2=\frac{1}{4} не лежит на отрезке [0,3;1]. Поэтому

 и  Значит, наименьшее значение функции на отрезке \left[0,3;1\right] достигается при x=1. Найдем это значение.

y_{min}\left(x\right)=y\left(1\right)=4-10-5=-11

Ответ: -11.

7. Найдите наименьшее значение функции y=9x-{\ln \left(9x\right)}+3 на отрезке \left[\frac{1}{18};\frac{5}{18}\right].

Иногда перед тем, как взять производную, формулу функции полезно упростить.

y=9x-{\ln \left(9x\right)}+3=9x-{\ln 9-{\ln x}}+3.

Мы применили формулу для логарифма произведения. y при x=\frac{1}{9}.

Если  то  Если , то 

Значит, x=\frac{1}{9} — точка минимума функции y(x). В этой точке и достигается наименьшее значение функции на отрезке \left[\frac{1}{18};\frac{5}{18}\right].

y_{min}\left(x\right)=y\left(\frac{1}{2}\right)=1+3=4

Ответ: 4

8. Найдите наибольшее значение функции y(x)=14x-7tgx-3,5\pi +11 на отрезке \left[-\frac{\pi }{3};\frac{\pi }{3}\right].

Найдем производную функции y(x)=14x-7tgx-3,5\pi +11. y

Приравняем производную к нулю: 14-\frac{7}{{cos}^2x}=0

{cos}^2x=\frac{1}{2}

{cos}^2x=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}. Поскольку x\in \left[-\frac{\pi }{3};\frac{\pi }{3}\right], y если x=\pm \frac{\pi }{4}.

Найдем знаки производной на отрезке \left[-\frac{\pi }{3};\frac{\pi }{3}\right].

При x=\frac{\pi }{4} знак производной меняется с «плюса» на «минус». Значит, x=\frac{\pi }{4} — точка максимума функции y(x).

Мы нашли точку максимума, но это еще не все. Сравним значения функции в точке максимума и на конце отрезка, то есть при x=-\frac{\pi }{3} и x =\frac{\pi }{4}.

y\left(\frac{\pi }{4}\right)=-7+11=4

Мы нашли, что y_{max}\left(x\right)=y\left(\frac{\pi }{4}\right)=-7+11=4.

Заметим, что если вам попадется такая задача в первой части ЕГЭ по математике, то находить значение функции при -\frac{\pi }{3} не обязательно. Как мы видим, это значение — число иррациональное. А в первой части ЕГЭ по математике ответом может быть только целое число или конечная десятичная дробь.

Ответ: 4

9. Найдите наименьшее значение функции y=e^{2x}-{8e}^x+9 на отрезке [0;2].

Снова сложная функция. Запишем полезные формулы:

{{(e}^{-x})}^{

{\left(e^{cx}\right)}^{

{(e}^{x+a})

Найдем производную функции y=e^{2x}-{8e}^x+9.

y

y если e^x=4. Тогда x=ln4.

 При x=ln4 знак производной меняется с «минуса» на «плюс». Значит, x=ln4 — точка минимума функции y(x). y\left(ln4\right)=4^2-8\cdot 4+9=16-32+9=-7.

10. Найдите наибольшее значение функции y=12cosx+6\sqrt{3}x-2\sqrt{3}\pi +6 на отрезке \left[0;\frac{\pi }{2}\right]

Как всегда, возьмем производную функции и приравняем ее к нулю.

y

y 12sinx=6\sqrt{3}

sinx=\frac{\sqrt{3}}{2};

По условию, x\in \left[0;\frac{\pi }{2}\right]. На этом отрезке условие sinx=\frac{\sqrt{3}}{2} выполняется только для x=\frac{\pi }{3}. Найдем знаки производной слева и справа от точки x=\frac{\pi }{3}.

В точке x_0=\frac{\pi }{3} производная функции меняет знак с «плюса» на «минус». Значит, точка x_0=\frac{\pi }{3} — точка максимума функции y(x). Других точек экстремума на отрезке \left[0;\frac{\pi }{2}\right] функция не имеет, и наибольшее значение функции { y=12cosx+6}\sqrt{{ 3}}{ }{ x}{ -}{ 2}\sqrt{{ 3}}{ }\pi { +6} на отрезке \left[{ 0};\frac{\pi }{{ 2}}\right] достигается при { x=}\frac{\pi }{{ 3}}.

y_{max}\left(x\right)=y\left(\frac{\pi }{3}\right)=12. Ответ: 12.

11.Найдите наименьшее значение функции y=16x-6sinx+6 на отрезке \left[0;\frac{\pi }{2}\right].

Найдем производную функции и приравняем ее к нулю.  — нет решений.

Что это значит? Производная функции y=16x-6sinx+6 не равна нулю ни в какой точке. Это значит, что знак производной в любой точке одинаков, а функция не имеет экстремумов и является монотонной.

Поскольку cosx\le 1, получим, что  для всех x, и функция y\left(x\right)=16x-6sinx+6 монотонно возрастает при x\in \left[0;\frac{\pi }{2}\right].

Значит, наименьшее свое значение функция принимает в левом конце отрезка \left[{ 0};\frac{\pi }{{ 2}}\right], то есть при x=0.

y_{min}\left(x\right)=y\left(0\right)=6.

Ответ: 6

Интенсивная подготовка

Бесплатные пробные ЕГЭ

Расписание курсов

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)
                       +7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

НОВЫЙ НАБОР 2020 ЕГЭ И ОГЭ

Типы подготовки:
Сказать спасибо
ege-tv

Полный онлайн-курс подготовки к ЕГЭ по математике. Структурировано. Четко. Без воды. Сдай ЕГЭ на 100 баллов!

Смотреть

Для нормального функционирования и Вашего удобства, сайт использует файлы cookies. Это совершенно обычная практика.Продолжая использовать портал, Вы соглашаетесь с нашей Политикой конфиденциальности.

Позвоните мне

Все поля обязательны для заполнения

Отправить

Премиум

Вся часть 2 на ЕГЭ по математике, от задачи 13 до задачи 19. То, о чем не рассказывают даже ваши репетиторы. Все приемы решения задач части 2. Оформление задач на экзамене. Десятки реальных задач ЕГЭ, от простых до самых сложных.

Видеокурс «Премиум» состоит из 7 курсов  для освоения части 2 ЕГЭ по математике (задачи 13-19). Длительность каждого курса - от 3,5 до 4,5 часов.

  1. Уравнения (задача 13)
  2. Стереометрия (задача 14)
  3. Неравенства (задача 15)
  4. Геометрия (задача 16)
  5. Финансовая математика (задача 17)
  6. Параметры (задача 18)
  7. Нестандартная задача на числа и их свойства (задача 19).

Здесь то, чего нет в учебниках. Чего вам не расскажут в школе. Приемы, методы и секреты решения задач части 2.

Каждая тема разобрана с нуля. Десятки специально подобранных задач, каждая из которых помогает понять «подводные камни» и хитрости решения.  Автор видеокурса Премиум - репетитор-профессионал Анна Малкова.

Получи пятерку

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

Сразу после оплаты вы получите ссылки на скачивание видеокурсов и уникальные ключи к ним.

Задачи комплекта «Математические тренинги - 2019» непростые. В каждой – интересные хитрости, «подводные камни», полезные секреты.

Варианты составлены так, чтобы охватить все возможные сложные задачи, как первой, так и второй части ЕГЭ по математике.

Как пользоваться?

  1. Не надо сразу просматривать задачи (и решения) всех вариантов. Такое читерство вам только помешает. Берите по одному! Задачи решайте по однойи старайтесь довести до ответа.
  2. Если почти ничего не получилось – начинать надо не с решения вариантов, а с изучения математики. Вам помогут книга для подготовки к ЕГЭи Годовой Онлайн-курс.
  3. Если вы правильно решили из первого варианта Маттренингов 5-7 задач – значит, знаний не хватает. Смотри пункт 1: Книгаи Годовой Онлайн-курс!
  4. Обязательно разберите правильные решения. Посмотрите видеоразбор – в нем тоже много полезного.
  5. Можно решать самостоятельно или вместе с друзьями. Или всем классом. А потом смотреть видеоразбор варианта.

Стоимость комплекта «Математические тренинги – 2019» - всего 1100 рублей. За 5 вариантов с решениями и видеоразбором каждого.

Это пробная версия онлайн курса по профильной математике.

Вы получите доступ к 3 темам, которые помогут понять принцип обучения, работу платформы и оценить ведущую курса Анну Малкову.

Вы получите:

— 3 темы курса (из 50).
— Текстовый учебник с видеопримерами.
— Мастер-класс Анны Малковой.
— Тренажер для отработки задач.

Регистрируйтесь, это бесплатно!

Нажимая на кнопку, вы даете согласие на обработку своих персональных данных