В основании призмы \(ABCA_1B_1C_1\) лежит правильный треугольник, вершина \(C_1\) проецируется в центр \(Q\) основания \(ABC.\)
а) Докажите, что плоскости \(ABC_1\) и \(QCC_1\) перпендикулярны.
б) Найдите угол между прямой \(AA_1\) и плоскостью \(ABC_1,\) если боковое ребро призмы равно стороне основания.
Решение:
Заметим, что \(ABCC_1\) — правильная пирамида. Ее вершина \(C_1\) проецируется в центр основания — точку \(Q.\)
а) \(\vartriangle ABC\) — правильный.
Пусть \(M\) — середина \(AB. \ CM\) — медиана и высота правильного треугольника \(ABC, \ CM\bot AB.\)
\( C_1Q\) — высота пирамиды, \( C_1Q\bot AB.\) Значит, \((CC_1Q)\bot AB\) по признаку перпендикулярности прямой и плоскости.
Плоскость \(ABC_1\) содержит прямую \(AB, \ AB\bot (CC_1Q).\) Значит, \((ABC_1)\bot (CC_1Q)\) по признаку перпендикулярности плоскостей.
б) Угол между прямой \(AA_1\) и плоскостью \(ABC_1\) равен углу между \(CC_1\) и \((ABC_{1)}\) т. к. \(AA_1 \parallel CC_1.\)
Сделаем новый чертеж:
Угол между прямой и плоскостью равен углу между прямой и её проекцией на плоскость.
Проведём в плоскости \(CC_1Q\) прямую \(CH, \ CH\bot C_1M.\)
Также \(CH\bot AB,\) т. к. \(CH\in \left(CC_1Q\right), \, \left(CC_1Q\right)\bot AB.\)
Значит, \(CH\bot \left(ABC_1\right).\) Точка \(H\) — проекция точки \(C\) на плоскость \(\left(ABC_1\right), \, \angle CC_1H= \varphi\) — искомый угол.
Пусть \(AB=a\) — сторона основания призмы.
По условию, \(CC_1=a, \, CM=a \displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}\) — как высота в правильном треугольнике \(ABC; \ CQ= \displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{3}.\)
Так как \(ABCC_1\) — правильная пирамида, \(AC_1=BC_1=CC_1=a\) и тогда \(CM=C_1M.\)
\(\angle CC_1M=\angle C_1CM = \varphi,\) т. к. \(\vartriangle CC_1M\) — равнобедренный.
Из \(\vartriangle CC_1Q: \ {cos \varphi }=\displaystyle \frac{CQ}{CC_1}=\displaystyle \frac{a\sqrt{3}}{3\cdot a}=\frac{\sqrt{3}}{3}. \)
Ответ: б) \(\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}.\)
