Задание 14 Профильного ЕГЭ по математике. Стереометрия. Задача 10

В основании призмы $ABCA_1B_1C_1$ лежит правильный треугольник, вершина $C_1$ проецируется в центр Q основания АВС.

а) Докажите, что плоскости $ABC_1$ и $QCC_1$ перпендикулярны,

б) Найдите угол между прямой $AA_1$ и плоскостью $ABC_1,$ если боковое ребро призмы равно стороне основания.

Заметим, что $ABCC_1$ — правильная пирамида. Ее вершина $C_1$ проецируется в центр основания — точку Q.

а) $\vartriangle ABC$ — правильный.

Пусть М — середина АВ. СМ — медиана и высота правильного треугольника АВС, $CM\bot AB.$

$C_1Q$ — высота пирамиды, $C_1Q\bot AB.$ Значит, $(CC_1Q)\bot AB$ по признаку перпендикулярности прямой и плоскости.

Плоскость $ABC_1$ содержит прямую АВ, $AB\bot (CC_1Q).$ Значит, $(ABC_1)\bot (CC_1Q)$ по признаку перпендикулярности плоскостей.

б) Угол между прямой $AA_1$ и плоскостью $ABC_1$ равен углу между $CC_1$ и $(ABC_{1)}$ т.к. $AA_1 \parallel CC_1.$

Сделаем новый чертеж:

Угол между прямой и плоскостью равен углу между прямой и её проекцией на плоскость.

Проведём в плоскости $CC_1Q$ прямую $CH$ , $CH\bot C_1M.$

Также $CH\bot AB$ , т.к. $CH\in \left(CC_1Q\right), \, \left(CC_1Q\right)\bot AB.$

Значит, $CH\bot \left(ABC_1\right).$ Точка H — проекция точки C на плоскость $\left(ABC_1\right), \, \angle CC_1H= \varphi$ — искомый угол.

Пусть $AB=a$ — сторона основания призмы.

По условию, $CC_1=a, \, CM=a\frac{\sqrt{3}}{2}$ — как высота в правильном треугольнике $ABC; CQ=\frac{a\sqrt{3}}{3}.$ Так как $ABCC_1$ - правильная пирамида, $AC_1=BC_1=CC_1=a$ и тогда $CM=C_1M.$