Задание 14 Профильного ЕГЭ по математике. Стереометрия. Задача 10

В основании призмы $ABCA_1B_1C_1$ лежит правильный треугольник, вершина $C_1$ проецируется в центр Q основания АВС.

а) Докажите, что плоскости $ABC_1$ и $QCC_1$ перпендикулярны,

б) Найдите угол между прямой $AA_1$ и плоскостью $ABC_1,$ если боковое ребро призмы равно стороне основания.

Заметим, что $ABCC_1$ — правильная пирамида. Ее вершина $C_1$ проецируется в центр основания — точку Q.

а) $\vartriangle ABC$ — правильный.

Пусть М — середина АВ. СМ — медиана и высота правильного треугольника АВС, $CM\bot AB.$

$C_1Q$ — высота пирамиды, $C_1Q\bot AB.$ Значит, $(CC_1Q)\bot AB$ по признаку перпендикулярности прямой и плоскости.

Плоскость $ABC_1$ содержит прямую АВ, $AB\bot (CC_1Q).$ Значит, $(ABC_1)\bot (CC_1Q)$ по признаку перпендикулярности плоскостей.

б) Угол между прямой $AA_1$ и плоскостью $ABC_1$ равен углу между $CC_1$ и $(ABC_{1)}$ т.к. $AA_1 \parallel CC_1.$

Сделаем новый чертеж:

Угол между прямой и плоскостью равен углу между прямой и её проекцией на плоскость.

Проведём в плоскости $CC_1Q$ прямую $CH$ , $CH\bot C_1M.$

Также $CH\bot AB$ , т.к. $CH\in \left(CC_1Q\right), \, \left(CC_1Q\right)\bot AB.$

Значит, $CH\bot \left(ABC_1\right).$ Точка H — проекция точки C на плоскость $\left(ABC_1\right), \, \angle CC_1H= \varphi$ — искомый угол.

Пусть $AB=a$ — сторона основания призмы.

По условию, $CC_1=a, \, CM=a\frac{\sqrt{3}}{2}$ — как высота в правильном треугольнике $ABC; CQ=\frac{a\sqrt{3}}{3}.$ Так как $ABCC_1$ - правильная пирамида, $AC_1=BC_1=CC_1=a$ и тогда $CM=C_1M.$

$\angle CC_1M=\angle C_1CM= \varphi$ , т.к. $\vartriangle CC_1M$ — равнобедренный.

Из $\vartriangle CC_1Q:$

${cos \varphi \ }=\frac{CQ}{CC_1}=\frac{a\sqrt{3}}{3\cdot a}=\frac{\sqrt{3}}{3}$

Ответ:

б) $\frac{\sqrt{3}}{3}$

Задание 14 Профильного ЕГЭ по математике. Стереометрия

Интенсивная подготовка

Бесплатные пробные ЕГЭ

Расписание курсов

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)
+7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

Узнать больше

Премиум

Вся часть 2 на ЕГЭ по математике, от задачи 13 до задачи 19. То, о чем не рассказывают даже ваши репетиторы. Все приемы решения задач части 2. Оформление задач на экзамене. Десятки реальных задач ЕГЭ, от простых до самых сложных.

Видеокурс «Премиум» состоит из 7 курсов для освоения части 2 ЕГЭ по математике (задачи 13-19). Длительность каждого курса - от 3,5 до 4,5 часов.

Уравнения (задача 13)

Стереометрия (задача 14)

Неравенства (задача 15)

Геометрия (задача 16)

Финансовая математика (задача 17)

Параметры (задача 18)

Нестандартная задача на числа и их свойства (задача 19).

Здесь то, чего нет в учебниках. Чего вам не расскажут в школе. Приемы, методы и секреты решения задач части 2.

Каждая тема разобрана с нуля. Десятки специально подобранных задач, каждая из которых помогает понять «подводные камни» и хитрости решения. Автор видеокурса Премиум - репетитор-профессионал Анна Малкова.

Получи пятерку

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

Сразу после оплаты вы получите ссылки на скачивание видеокурсов и уникальные ключи к ним.

Как пользоваться?

Не надо сразу просматривать задачи (и решения) всех вариантов. Такое читерство вам только помешает. Берите по одному! Задачи решайте по однойи старайтесь довести до ответа.

Если почти ничего не получилось – начинать надо не с решения вариантов, а с изучения математики. Вам помогут книга для подготовки к ЕГЭи Годовой Онлайн-курс.

Если вы правильно решили из первого варианта Маттренингов 5-7 задач – значит, знаний не хватает. Смотри пункт 1: Книгаи Годовой Онлайн-курс!

Обязательно разберите правильные решения. Посмотрите видеоразбор – в нем тоже много полезного.

Можно решать самостоятельно или вместе с друзьями. Или всем классом. А потом смотреть видеоразбор варианта.

Стоимость комплекта «Математические тренинги – 2019» - всего 1100 рублей. За 5 вариантов с решениями и видеоразбором каждого.