previous arrow
next arrow
Slider

Задание 14 Профильного ЕГЭ по математике. Стереометрия. Задача 10

В основании призмы ABCA_1B_1C_1 лежит правильный треугольник, вершина C_1 проецируется в центр Q основания АВС.

а) Докажите, что плоскости ABC_1 и QCC_1 перпендикулярны,

б) Найдите угол между прямой AA_1 и плоскостью ABC_1, если боковое ребро призмы равно стороне основания.

Заметим, что ABCC_1 — правильная пирамида. Ее вершина C_1 проецируется в центр основания — точку Q.

а) \vartriangle ABC — правильный.

Пусть М — середина АВ. СМ — медиана и высота правильного треугольника АВС, CM\bot AB.

C_1Q — высота пирамиды,C_1Q\bot AB. Значит, (CC_1Q)\bot AB по признаку перпендикулярности прямой и плоскости.

Плоскость ABC_1 содержит прямую АВ, AB\bot (CC_1Q). Значит, (ABC_1)\bot (CC_1Q) по признаку перпендикулярности плоскостей.

б) Угол между прямой AA_1 и плоскостью ABC_1 равен углу между CC_1 и (ABC_{1)} т.к. AA_1 \parallel CC_1.

Сделаем новый чертеж:

Угол между прямой и плоскостью равен углу между прямой и её проекцией на плоскость.

Проведём в плоскости CC_1Q прямую CH, CH\bot C_1M.

Также CH\bot AB, т.к. CH\in \left(CC_1Q\right), \, \left(CC_1Q\right)\bot AB.

Значит, CH\bot \left(ABC_1\right). Точка H — проекция точки C на плоскость \left(ABC_1\right), \, \angle CC_1H= \varphi — искомый угол.

Пусть AB=a — сторона основания призмы.

По условию, CC_1=a, \, CM=a\frac{\sqrt{3}}{2} — как высота в правильном треугольнике ABC; CQ=\frac{a\sqrt{3}}{3}. Так как ABCC_1 - правильная пирамида, AC_1=BC_1=CC_1=a и тогда CM=C_1M.

\angle CC_1M=\angle C_1CM= \varphi , т.к. \vartriangle CC_1M — равнобедренный.

Из \vartriangle CC_1Q:

{cos \varphi \ }=\frac{CQ}{CC_1}=\frac{a\sqrt{3}}{3\cdot a}=\frac{\sqrt{3}}{3}

Ответ:

б) \frac{\sqrt{3}}{3}

Задание 14 Профильного ЕГЭ по математике. Стереометрия