Сечением прямоугольного параллелепипеда \(ABCDA_{1}B_{1}C_{1} D_{1}\) плоскостью \(\alpha\) , содержащей прямую \(B D_{1}\) и параллельной прямой АС, является ромб.
а) Докажите, что грань ABCD — квадрат.
б) Найдите угол между плоскостями \(\alpha\) и \(BCC_{1}\), если \( AA_{1} = 6, \, AB = 4. \)
а) Построим сечение, содержащее прямую \(BD_1\) и параллельное прямой АС.
Пусть О — точка пересечения диагоналей параллелепипеда;
\(O=\ {BD}_1\cap AC_1;\) О — середина диагонали \(BD_1. \)
В плоскости \((AA_1C_1)\) через точку О проведем прямую MN, параллельную AC. Точка M лежит на ребре \(AA_1\), точка N лежит на ребре \(CC_1\).
Мы построили искомое сечение. Это четырехугольник \(MD_1NB\), который по условию является ромбом.
Так как \(MD_1NB\) — ромб, \(MN\bot BD_1.\) Тогда \(AC\bot BD_1.\) По теореме о трёх перпендикулярах \(AC\bot BD.\) Это значит, что ABCD — прямоугольник, диагонали которого перпендикулярны, то есть квадрат.
б) Угол между плоскостью сечения \(\alpha\) и плоскостью \(BCC_1\) — это угол между перпендикулярами к линии их пересечения, проведенными в этих плоскостях.
Мы можем найти искомый угол между \(\alpha\) и \(BCC_1\), пользуясь этим определением. Однако есть более простой способ. Вспомним формулу площади прямоугольной проекции фигуры:
Пусть S — площадь фигуры. Тогда площадь ее прямоугольной проекции равна
\(\boldsymbol{S \cdot cos \varphi }\), где \(\boldsymbol{\varphi}\) — угол между плоскостью фигуры и плоскостью проекции.
Пусть \({ M}_1\) — середина \(BB_1.\) Тогда \(BM_1C_1N\) — проекция ромба \(BMD_1N\) на плоскость \((BB_1C_1).\)
Площадь ромба 
Площадь его проекции на плоскость \((BB_1C_1). \)
\(S_{BM_1C_1N}=\frac{1}{2}\cdot S_{BB_1C_1C}=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 6=12.\)
Подставив эти значения в формулу для площади проекции, найдем, что
\({cos \varphi =\frac{12}{4\sqrt{34}}\ }=\frac{3}{\sqrt{34}}=\frac{3\sqrt{34}}{34}.
\varphi =arccos\frac{3\sqrt{34}}{34}. \)
Решая задачу другим способом, можно получить ответ \(\varphi =arctg\frac{5}{3}.\)
Покажем, что эти два ответа эквивалентны. Поскольку \(\varphi\) — острый угол, его тангенс и косинус положительны.
\(cos \varphi =\frac{3}{\sqrt{34}},\) тогда \(sin \varphi =\frac{5}{\sqrt{34}}\) и \(tg \varphi =\ \frac{5}{3}. \)
