Сечением прямоугольного параллелепипеда \(ABCDA_{1}B_{1}C_{1} D_{1}\) плоскостью \(\alpha\) , содержащей прямую \(B D_{1}\) и параллельной прямой \(AC\), является ромб.
а) Докажите, что грань \(ABCD\) — квадрат.
б) Найдите угол между плоскостями \(\alpha\) и \(BCC_{1}\), если \( AA_{1} = 6, \, AB = 4. \)
Решение:
а) Построим сечение, содержащее прямую \(BD_1\) и параллельное прямой \(AC.\)
Пусть \(O\) — точка пересечения диагоналей параллелепипеда;
\(O=\ {BD}_1\cap AC_1; \ O\) — середина диагонали \(BD_1. \)
В плоскости \((AA_1C_1)\) через точку \(O\) проведем прямую \(MN\), параллельную \(AC.\) Точка \(M\) лежит на ребре \(AA_1\), точка \(N\) лежит на ребре \(CC_1.\)
Мы построили искомое сечение. Это четырехугольник \(MD_1NB\), который по условию является ромбом.
Так как \(MD_1NB\) — ромб, \(MN\bot BD_1.\) Тогда \(AC\bot BD_1.\)
По теореме о трёх перпендикулярах \(AC\bot BD.\) Это значит, что \(ABCD\) — прямоугольник, диагонали которого перпендикулярны, то есть квадрат.
б) Угол между плоскостью сечения \(\alpha\) и плоскостью \(BCC_1\) — это угол между перпендикулярами к линии их пересечения, проведенными в этих плоскостях.
Мы можем найти искомый угол между \(\alpha\) и \(BCC_1\), пользуясь этим определением. Однако есть более простой способ. Вспомним формулу площади прямоугольной проекции фигуры:
Пусть \(S\) — площадь фигуры. Тогда площадь ее прямоугольной проекции равна
\(\boldsymbol{S \cdot cos \varphi }\), где \(\boldsymbol{\varphi}\) — угол между плоскостью фигуры и плоскостью проекции.
\(S_{проекции}=S_{фигуры}\cdot cos\varphi.\)
Пусть \({ M}_1\) — середина \(BB_1.\) Тогда \(BM_1C_1N\) — проекция ромба \(BMD_1N\) на плоскость \((BB_1C_1).\)
Площадь ромба \(S_{BMD_{1}N}=\displaystyle \frac{1}{2}\cdot MN\cdot BD_{1}=\displaystyle \frac{1}{2}\cdot 4\sqrt{2}\cdot \sqrt{4^{2}+4^{2}+6^{2}}=2\sqrt{2}\cdot \sqrt{68}=4\sqrt{34}.\)
Площадь его проекции на плоскость \((BB_1C_1). \)
\(S_{BM_1C_1N}=\displaystyle \frac{1}{2}\cdot S_{BB_1C_1C}=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 6=12.\)
Подставив эти значения в формулу для площади проекции, найдем, что
\({cos \varphi =\displaystyle \frac{12}{4\sqrt{34}}}=\displaystyle \frac{3}{\sqrt{34}}=\frac{3\sqrt{34}}{34}\cdot \varphi =arccos\frac{3\sqrt{34}}{34}. \)
Решая задачу другим способом, можно получить ответ \(\varphi =arctg\displaystyle \frac{5}{3}.\)
Покажем, что эти два ответа эквивалентны. Поскольку \(\varphi\) — острый угол, его тангенс и косинус положительны.
\(cos \varphi =\displaystyle \frac{3}{\sqrt{34}},\) тогда \(sin \varphi =\displaystyle \frac{5}{\sqrt{34}}\) и \(tg \varphi =\displaystyle \frac{5}{3}. \)
