Задание 14 Профильного ЕГЭ по математике. Стереометрия. Задача 11

Сечением прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_{1}B_{1}C_{1} D_{1}$ плоскостью $\alpha$ , содержащей прямую $B D_{1}$ и параллельной прямой АС, является ромб.

а) Докажите, что грань ABCD — квадрат.

б) Найдите угол между плоскостями $\alpha$ и $BCC_{1}$ , если $AA_{1} = 6, \, AB = 4.$

а) Построим сечение, содержащее прямую $BD_1$ и параллельное прямой АС.

Пусть О — точка пересечения диагоналей параллелепипеда;

$O=\ {BD}_1\cap AC_1;$ О — середина диагонали $BD_1.$

В плоскости $(AA_1C_1)$ через точку О проведем прямую MN, параллельную AC. Точка M лежит на ребре $AA_1$ , точка N лежит на ребре $CC_1$ .

Мы построили искомое сечение. Это четырехугольник $MD_1NB$ , который по условию является ромбом.

Так как $MD_1NB$ — ромб, $MN\bot BD_1.$ Тогда $AC\bot BD_1.$ По теореме о трёх перпендикулярах $AC\bot BD.$ Это значит, что ABCD — прямоугольник, диагонали которого перпендикулярны, то есть квадрат.

б) Угол между плоскостью сечения $\alpha$ и плоскостью $BCC_1$ — это угол между перпендикулярами к линии их пересечения, проведенными в этих плоскостях.

Мы можем найти искомый угол между $\alpha$ и $BCC_1$ , пользуясь этим определением. Однако есть более простой способ. Вспомним формулу площади прямоугольной проекции фигуры:

Пусть S — площадь фигуры. Тогда площадь ее прямоугольной проекции равна

$\boldsymbol{S \cdot cos \varphi }$ , где $\boldsymbol{\varphi}$ — угол между плоскостью фигуры и плоскостью проекции.

Пусть ${ M}_1$ — середина $BB_1.$ Тогда $BM_1C_1N$ — проекция ромба $BMD_1N$ на плоскость $(BB_1C_1).$

Площадь ромба

Площадь его проекции на плоскость $(BB_1C_1).$

$S_{BM_1C_1N}=\frac{1}{2}\cdot S_{BB_1C_1C}=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 6=12.$

Подставив эти значения в формулу для площади проекции, найдем, что

${cos \varphi =\frac{12}{4\sqrt{34}}\ }=\frac{3}{\sqrt{34}}=\frac{3\sqrt{34}}{34}.\varphi =arccos\frac{3\sqrt{34}}{34}.$

Решая задачу другим способом, можно получить ответ $\varphi =arctg\frac{5}{3}.$

Покажем, что эти два ответа эквивалентны. Поскольку $\varphi$ — острый угол, его тангенс и косинус положительны.

$cos \varphi =\frac{3}{\sqrt{34}},$ тогда $sin \varphi =\frac{5}{\sqrt{34}}$ и $tg \varphi =\ \frac{5}{3}.$

Задание 14 Профильного ЕГЭ по математике. Стереометрия

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими материалами. Информация на странице «Задание 14 Профильного ЕГЭ по математике. Стереометрия. Задача 11» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена: 06.09.2023

Задание 14 Профильного ЕГЭ по математике. Стереометрия. Задача 11

Это полезно