previous arrow
next arrow
Slider

Задание 14 Профильного ЕГЭ по математике. Стереометрия. Задача 11

Сечением прямоугольного параллелепипеда ABCDA_{1}B_{1}C_{1} D_{1} плоскостью \alpha , содержащей прямую B D_{1} и параллельной прямой АС, является ромб.

а) Докажите, что грань ABCD — квадрат.

б) Найдите угол между плоскостями \alpha и BCC_{1}, если AA_{1} = 6, \, AB = 4.

а) Построим сечение, содержащее прямую BD_1 и параллельное прямой АС.

Пусть О — точка пересечения диагоналей параллелепипеда;

O=\ {BD}_1\cap AC_1; О — середина диагонали BD_1.

В плоскости (AA_1C_1) через точку О проведем прямую MN, параллельную AC. Точка M лежит на ребре AA_1, точка N лежит на ребре CC_1;

Мы построили искомое сечение. Это четырехугольник MD_1NB, который по условию является ромбом.

Так как MD_1NB — ромб, MN\bot BD_1. Тогда AC\bot BD_1. По теореме о трёх перпендикулярах AC\bot BD. Это значит, что ABCD — прямоугольник, диагонали которого перпендикулярны, то есть квадрат.

б) Угол между плоскостью сечения \alpha и плоскостью BCC_1 — это угол между перпендикулярами к линии их пересечения, проведенными в этих плоскостях.

Мы можем найти искомый угол между \alpha и BCC_1, пользуясь этим определением. Однако есть более простой способ. Вспомним формулу площади прямоугольной проекции фигуры:

Пусть S — площадь фигуры. Тогда площадь ее прямоугольной проекции равна

\boldsymbol{S \cdot cos \varphi }, где \boldsymbol{\varphi} — угол между плоскостью фигуры и плоскостью проекции.

Пусть { M}_1 — середина BB_1. Тогда BM_1C_1N — проекция ромба BMD_1N на плоскость (BB_1C_1).

Площадь ромба 

Площадь его проекции на плоскость (BB_1C_1)

S_{BM_1C_1N}=\frac{1}{2}\cdot S_{BB_1C_1C}=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 6=12;

Подставив эти значения в формулу для площади проекции, найдем, что

{cos \varphi =\frac{12}{4\sqrt{34}}\ }=\frac{3}{\sqrt{34}}=\frac{3\sqrt{34}}{34}.\varphi =arccos\frac{3\sqrt{34}}{34}.

Решая задачу другим способом, можно получить ответ \varphi =arctg\frac{5}{3}

Покажем, что эти два ответа эквивалентны. Поскольку \varphi — острый угол, его тангенс и косинус положительны.

cos \varphi =\frac{3}{\sqrt{34}}, тогда sin \varphi =\frac{5}{\sqrt{34}} и tg \varphi =\ \frac{5}{3}.

Задание 14 Профильного ЕГЭ по математике. Стереометрия