previous arrow
next arrow
Slider
Центр подготовки к ЕГЭ > Задание 14 Профильного ЕГЭ по математике. Стереометрия. Задача 12

Задание 14 Профильного ЕГЭ по математике. Стереометрия. Задача 12

На ребрах АВ и ВС треугольной пирамиды АВСD отмечены точки М и N соответственно, причем AM : MB = CN : NB = 3 : 1.

Точки P и Q — середины ребер DA и DC соответственно.

а) Докажите, что точки P, Q, M и N лежат в одной плоскости.

б) Найдите, в каком отношении эта плоскость делит объем пирамиды.

а) Рассмотрим треугольники МВN и АВС.

\triangle MBN\sim \triangle ABC (по углу и двум сторонам), значит, MN \parallel AC.

PQ — средняя линия \triangle ADC, значит, PQ \parallel AC.

\left. \begin{array}{c}\ MN\parallel AC \\PQ\ \parallel AC \end{array}\right\}= \textgreater MN\parallel PQ. Через параллельные прямые MN и PQ проходит единственная плоскость, в которой лежат точки M, N, P и Q.

б) Найдем, в каком отношении плоскость MNP делит объем пирамиды.

Как назвать многогранники AMNCPQ и PQNMBD? Они не являются ни призмами, ни пирамидами. Не будем ломать голову над их названиями — лучше разобьем многогранник AMNCPQ на пирамиды ACNMQ и AQMP.

Объем четырехугольной пирамиды ACNMQ найти легко: её высота в 2 раза меньше высоты пирамиды ABCD , а площадь основания S_{ACNM}=S_{\triangle ABC}-S_{\triangle BMN}{=S}_{\triangle ABC}-{\frac{1}{16}S}_{\triangle BMN}={\frac{15}{16}S}_{\triangle BMN}.

Значит, V_{AMNCPQ\ }=\frac{15}{32}V_{ABCD\ }.

Осталось найти объем пирамиды AMQP.

V_{AMQP}=\frac{1}{3}S_{\triangle APQ}\cdot h, ,где h — расстояние от точки M до плоскости ADC.

Заметим, что h=\frac{3}{4}H,, H — расстояние от точки В до плоскости ADC. Это легко доказать, опустив перпендикуляры из точек М и В на плоскость АDC и рассмотрев соответствующие подобные треугольники.

PQ — средняя линия \triangle ADC;

S_{APQC}=\frac{3}{4}S_{\triangle ADC}.

Треугольники APQ и AQC имеют общую высоту, значит, отношение их площадей равно отношению PQ : AC, то есть равно 1:2.

Тогда S_{APQ}\ =\ \frac{1}{4}{\ S}_{\triangle ADC}.

V_{AMQP}=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{4}S_{\triangle ADC}\cdot \frac{3}{4} H=\frac{3}{16}V_{ABCD};

V_{ACNMPQ}=\left(\frac{15}{32}+\frac{3}{16}V_{ABCD}\right)=\frac{21}{32}V_{ABCD}.

Отношение объемов частей, на которые плоскость PMNQ делит пирамиду, равно 11:21.

Задание 14 Профильного ЕГЭ по математике. Стереометрия

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими публикациями. Информация на странице «Задание 14 Профильного ЕГЭ по математике. Стереометрия. Задача 12» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена: 05.09.2023