previous arrow
next arrow
Slider

Задание 14 Профильного ЕГЭ по математике. Стереометрия. Задача 12

На ребрах АВ и ВС треугольной пирамиды АВСD отмечены точки М и N соответственно, причем AM : MB = CN : NB = 3 : 1.

Точки P и Q — середины ребер DA и DC соответственно.

а) Докажите, что точки P, Q, M и N лежат в одной плоскости.

б) Найдите, в каком отношении эта плоскость делит объем пирамиды.

а) Рассмотрим треугольники МВN и АВС.

\triangle MBN\sim \triangle ABC (по углу и двум сторонам), значит, MN \parallel AC.

PQ — средняя линия \triangle ADC, значит, PQ \parallel AC.

\left. \begin{array}{c}\ MN\parallel AC \\PQ\ \parallel AC \end{array}\right\}= \textgreater MN\parallel PQ. Через параллельные прямые MN и PQ проходит единственная плоскость, в которой лежат точки M, N, P и Q.

б) Найдем, в каком отношении плоскость MNP делит объем пирамиды.

Как назвать многогранники AMNCPQ и PQNMBD? Они не являются ни призмами, ни пирамидами. Не будем ломать голову над их названиями — лучше разобьем многогранник AMNCPQ на пирамиды ACNMQ и AQMP.

Объем четырехугольной пирамиды ACNMQ найти легко: её высота в 2 раза меньше высоты пирамиды ABCD , а площадь основания S_{ACNM}=S_{\triangle ABC}-S_{\triangle BMN}{=S}_{\triangle ABC}-{\frac{1}{16}S}_{\triangle BMN}={\frac{15}{16}S}_{\triangle BMN}.

Значит, V_{AMNCPQ\ }=\frac{15}{32}V_{ABCD\ }.

Осталось найти объем пирамиды AMQP.

V_{AMQP}=\frac{1}{3}S_{\triangle APQ}\cdot h, ,где h — расстояние от точки M до плоскости ADC.

Заметим, что h=\frac{3}{4}H,, H — расстояние от точки В до плоскости ADC. Это легко доказать, опустив перпендикуляры из точек М и В на плоскость АDC и рассмотрев соответствующие подобные треугольники.

PQ — средняя линия \triangle ADC;

S_{APQC}=\frac{3}{4}S_{\triangle ADC}

Треугольники APQ и AQC имеют общую высоту, значит, отношение их площадей равно отношению PQ : AC, то есть равно 1:2.

Тогда S_{APQ}\ =\ \frac{1}{4}{\ S}_{\triangle ADC}.

V_{AMQP}=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{4}S_{\triangle ADC}\cdot \frac{3}{4} H=\frac{3}{16}V_{ABCD};

V_{ACNMPQ}=\left(\frac{15}{32}+\frac{3}{16}V_{ABCD}\right)=\frac{21}{32}V_{ABCD};

Отношение объемов частей, на которые плоскость PMNQ делит пирамиду, равно 11:21.

Задание 14 Профильного ЕГЭ по математике. Стереометрия