На ребрах \(AB\) и \(BC\) треугольной пирамиды \(ABCD\) отмечены точки \(M\) и \(N\) соответственно, причем \(AM : MB = CN : NB = 3 : 1. \) Точки \(P\) и \(Q\) — середины ребер \(DA\) и \(DC\) соответственно.
а) Докажите, что точки \(P, \ Q, \ M\) и \(N\) лежат в одной плоскости.
б) Найдите, в каком отношении эта плоскость делит объем пирамиды.
Решение:
а) Рассмотрим треугольники \(MBN\) и \(ABC.\)
\(\triangle MBN\sim \triangle ABC\) (по углу и двум сторонам), значит, \(MN \parallel AC.\)
\(PQ\) — средняя линия \(\triangle ADC,\) значит, \( PQ \parallel AC.\)
\( \left. \begin{array}{c}
\ MN\parallel AC \\
PQ\ \parallel AC \end{array}
\right\}\Rightarrow MN\parallel PQ.\)
Через параллельные прямые \(MN\) и \(PQ\) проходит единственная плоскость, в которой лежат точки \(M, \ N, \ P\) и \(Q.\)
б) Найдем, в каком отношении плоскость \(MNP\) делит объем пирамиды.
Как назвать многогранники \(AMNCPQ\) и \(PQNMBD\)? Они не являются ни призмами, ни пирамидами. Не будем ломать голову над их названиями — лучше разобьем многогранник \(AMNCPQ\) на пирамиды \(ACNMQ\) и \(AQMP.\)
Объем четырехугольной пирамиды \(ACNMQ\) найти легко: её высота в 2 раза меньше высоты пирамиды \(ABCD\), а площадь основания \(S_{ACNM}=S_{\triangle ABC}-S_{\triangle BMN}{=S}_{\triangle ABC}-{\displaystyle \frac{1}{16}S}_{\triangle BMN}={\displaystyle \frac{15}{16}S}_{\triangle BMN}.\)
Значит, \(V_{AMNCPQ}=\displaystyle \frac{15}{32}V_{ABCD\ }.\)
Осталось найти объем пирамиды \(AMQP.\)
\( V_{AMQP}=\displaystyle \frac{1}{3}S_{\triangle APQ}\cdot h\), где \( h\) — расстояние от точки \(M\) до плоскости \(ADC.\)
Заметим, что \(h=\displaystyle \frac{3}{4}H, \ H\) — расстояние от точки \(B\) до плоскости \(ADC.\) Это легко доказать, опустив перпендикуляры из точек \(M\) и \(B\) на плоскость \(ADC\) и рассмотрев соответствующие подобные треугольники.
\(PQ\) — средняя линия \(\triangle ADC;\)
\( S_{APQC}=\displaystyle \frac{3}{4}S_{\triangle ADC}.\)
Треугольники \(APQ\) и \(AQC\) имеют общую высоту, значит, отношение их площадей равно отношению \(PQ : AC\), то есть равно \(1:2.\)
Тогда \(S_{APQ}=\displaystyle \frac{1}{4}{S}_{\triangle ADC}.\)
\(V_{AMQP}=\displaystyle \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{4}S_{\triangle ADC}\cdot \displaystyle \frac{3}{4} H=\frac{3}{16}V_{ABCD};\)
\(V_{ACNMPQ}=\left(\displaystyle \frac{15}{32}+\frac{3}{16}V_{ABCD}\right)=\displaystyle \frac{21}{32}V_{ABCD}.\)
Отношение объемов частей, на которые плоскость \(PMNQ\) делит пирамиду, равно \(11:21.\)
