На ребрах АВ и ВС треугольной пирамиды АВСD отмечены точки М и N соответственно, причем
Точки P и Q — середины ребер DA и DC соответственно.
а) Докажите, что точки P, Q, M и N лежат в одной плоскости.
б) Найдите, в каком отношении эта плоскость делит объем пирамиды.
а) Рассмотрим треугольники МВN и АВС.
(по углу и двум сторонам), значит,
PQ — средняя линия значит,
Через параллельные прямые MN и PQ проходит единственная плоскость, в которой лежат точки M, N, P и Q.
б) Найдем, в каком отношении плоскость MNP делит объем пирамиды.
Как назвать многогранники AMNCPQ и PQNMBD? Они не являются ни призмами, ни пирамидами. Не будем ломать голову над их названиями — лучше разобьем многогранник AMNCPQ на пирамиды ACNMQ и AQMP.
Объем четырехугольной пирамиды ACNMQ найти легко: её высота в 2 раза меньше высоты пирамиды ABCD , а площадь основания
Значит,
Осталось найти объем пирамиды AMQP.
, ,где h — расстояние от точки M до плоскости ADC.
Заметим, что , H — расстояние от точки В до плоскости ADC. Это легко доказать, опустив перпендикуляры из точек М и В на плоскость АDC и рассмотрев соответствующие подобные треугольники.
PQ — средняя линия
Треугольники APQ и AQC имеют общую высоту, значит, отношение их площадей равно отношению , то есть равно
.
Тогда
Отношение объемов частей, на которые плоскость PMNQ делит пирамиду, равно 11:21.