Задание 14 Профильного ЕГЭ по математике. Стереометрия. Задача 12

На ребрах АВ и ВС треугольной пирамиды АВСD отмечены точки М и N соответственно, причем $AM : MB = CN : NB = 3 : 1.$

Точки P и Q — середины ребер DA и DC соответственно.

а) Докажите, что точки P, Q, M и N лежат в одной плоскости.

б) Найдите, в каком отношении эта плоскость делит объем пирамиды.

а) Рассмотрим треугольники МВN и АВС.

$\triangle MBN\sim \triangle ABC$ (по углу и двум сторонам), значит, $MN \parallel AC.$

PQ — средняя линия $\triangle ADC,$ значит, $PQ \parallel AC.$

$\left. \begin{array}{c}\ MN\parallel AC \\PQ\ \parallel AC \end{array}\right\}= \textgreater MN\parallel PQ.$ Через параллельные прямые MN и PQ проходит единственная плоскость, в которой лежат точки M, N, P и Q.

б) Найдем, в каком отношении плоскость MNP делит объем пирамиды.

Как назвать многогранники AMNCPQ и PQNMBD? Они не являются ни призмами, ни пирамидами. Не будем ломать голову над их названиями — лучше разобьем многогранник AMNCPQ на пирамиды ACNMQ и AQMP.

Объем четырехугольной пирамиды ACNMQ найти легко: её высота в 2 раза меньше высоты пирамиды ABCD , а площадь основания $S_{ACNM}=S_{\triangle ABC}-S_{\triangle BMN}{=S}_{\triangle ABC}-{\frac{1}{16}S}_{\triangle BMN}={\frac{15}{16}S}_{\triangle BMN}.$

Значит, $V_{AMNCPQ\ }=\frac{15}{32}V_{ABCD\ }.$

Осталось найти объем пирамиды AMQP.

$V_{AMQP}=\frac{1}{3}S_{\triangle APQ}\cdot h$ , ,где h — расстояние от точки M до плоскости ADC.

Заметим, что $h=\frac{3}{4}H,$ , H — расстояние от точки В до плоскости ADC. Это легко доказать, опустив перпендикуляры из точек М и В на плоскость АDC и рассмотрев соответствующие подобные треугольники.