Задание 14 Профильного ЕГЭ по математике. Стереометрия. Задача 12

На ребрах АВ и ВС треугольной пирамиды АВСD отмечены точки М и N соответственно, причем $AM : MB = CN : NB = 3 : 1.$

Точки P и Q — середины ребер DA и DC соответственно.

а) Докажите, что точки P, Q, M и N лежат в одной плоскости.

б) Найдите, в каком отношении эта плоскость делит объем пирамиды.

а) Рассмотрим треугольники МВN и АВС.

$\triangle MBN\sim \triangle ABC$ (по углу и двум сторонам), значит, $MN \parallel AC.$

PQ — средняя линия $\triangle ADC,$ значит, $PQ \parallel AC.$

$\left. \begin{array}{c}\ MN\parallel AC \\PQ\ \parallel AC \end{array}\right\}= \textgreater MN\parallel PQ.$ Через параллельные прямые MN и PQ проходит единственная плоскость, в которой лежат точки M, N, P и Q.

б) Найдем, в каком отношении плоскость MNP делит объем пирамиды.

Как назвать многогранники AMNCPQ и PQNMBD? Они не являются ни призмами, ни пирамидами. Не будем ломать голову над их названиями — лучше разобьем многогранник AMNCPQ на пирамиды ACNMQ и AQMP.

Объем четырехугольной пирамиды ACNMQ найти легко: её высота в 2 раза меньше высоты пирамиды ABCD , а площадь основания $S_{ACNM}=S_{\triangle ABC}-S_{\triangle BMN}{=S}_{\triangle ABC}-{\frac{1}{16}S}_{\triangle BMN}={\frac{15}{16}S}_{\triangle BMN}.$

Значит, $V_{AMNCPQ\ }=\frac{15}{32}V_{ABCD\ }.$

Осталось найти объем пирамиды AMQP.

$V_{AMQP}=\frac{1}{3}S_{\triangle APQ}\cdot h$ , ,где h — расстояние от точки M до плоскости ADC.

Заметим, что $h=\frac{3}{4}H,$ , H — расстояние от точки В до плоскости ADC. Это легко доказать, опустив перпендикуляры из точек М и В на плоскость АDC и рассмотрев соответствующие подобные треугольники.

PQ — средняя линия $\triangle ADC;$

$S_{APQC}=\frac{3}{4}S_{\triangle ADC}$

Треугольники APQ и AQC имеют общую высоту, значит, отношение их площадей равно отношению $PQ : AC$ , то есть равно $1:2$ .

Тогда $S_{APQ}\ =\ \frac{1}{4}{\ S}_{\triangle ADC}.$

$V_{AMQP}=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{4}S_{\triangle ADC}\cdot \frac{3}{4} H=\frac{3}{16}V_{ABCD};$

$V_{ACNMPQ}=\left(\frac{15}{32}+\frac{3}{16}V_{ABCD}\right)=\frac{21}{32}V_{ABCD};$

Отношение объемов частей, на которые плоскость PMNQ делит пирамиду, равно 11:21.

Задание 14 Профильного ЕГЭ по математике. Стереометрия

Интенсивная подготовка

Бесплатные пробные ЕГЭ

Расписание курсов

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)
+7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

Узнать больше

Премиум

Вся часть 2 на ЕГЭ по математике, от задачи 13 до задачи 19. То, о чем не рассказывают даже ваши репетиторы. Все приемы решения задач части 2. Оформление задач на экзамене. Десятки реальных задач ЕГЭ, от простых до самых сложных.

Видеокурс «Премиум» состоит из 7 курсов для освоения части 2 ЕГЭ по математике (задачи 13-19). Длительность каждого курса - от 3,5 до 4,5 часов.

Уравнения (задача 13)

Стереометрия (задача 14)

Неравенства (задача 15)

Геометрия (задача 16)

Финансовая математика (задача 17)

Параметры (задача 18)

Нестандартная задача на числа и их свойства (задача 19).

Здесь то, чего нет в учебниках. Чего вам не расскажут в школе. Приемы, методы и секреты решения задач части 2.

Каждая тема разобрана с нуля. Десятки специально подобранных задач, каждая из которых помогает понять «подводные камни» и хитрости решения. Автор видеокурса Премиум - репетитор-профессионал Анна Малкова.

Получи пятерку

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

Сразу после оплаты вы получите ссылки на скачивание видеокурсов и уникальные ключи к ним.

Как пользоваться?

Не надо сразу просматривать задачи (и решения) всех вариантов. Такое читерство вам только помешает. Берите по одному! Задачи решайте по однойи старайтесь довести до ответа.

Если почти ничего не получилось – начинать надо не с решения вариантов, а с изучения математики. Вам помогут книга для подготовки к ЕГЭи Годовой Онлайн-курс.

Если вы правильно решили из первого варианта Маттренингов 5-7 задач – значит, знаний не хватает. Смотри пункт 1: Книгаи Годовой Онлайн-курс!

Обязательно разберите правильные решения. Посмотрите видеоразбор – в нем тоже много полезного.

Можно решать самостоятельно или вместе с друзьями. Или всем классом. А потом смотреть видеоразбор варианта.

Стоимость комплекта «Математические тренинги – 2019» - всего 1100 рублей. За 5 вариантов с решениями и видеоразбором каждого.