В правильной шестиугольной призме \(A\dots F_1\), все ребра которой равны 1, точка \(G\) — середина ребра \(A_1B_1.\) Найдите угол между прямой \(AG\) и плоскостью \(BDD_1.\)
Решение:
Мы видим, что прямая \(AG\) и плоскость \(BDD_1\) пересекаются вне призмы. В этой ситуации возможны два выхода. Первый — достроить чертеж, продлив эти плоскость и прямую до точки пересечения. Второй — провести через какую-либо точку, лежащую в плоскости \(BB_1D_1\), прямую, параллельную \(AG\), и найти угол между плоскостью и полученной прямой. Мы выберем второй способ.
В плоскости \(ABB_1\) проведем через точку \(B_1\) прямую \(B_1T\), параллельную \(AG.\) Точка \(T\) является серединой ребра \(AB\), так как \(ATB_1G\) — параллелограмм.
Найдем угол между \(TB_1\) и \(\left(BB_1 D_1 \right). \)
Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.
Точка \(B_1\) уже лежит в нужной нам плоскости. Значит, надо найти проекцию точки \(T\) на эту плоскость. Для этого надо опустить из точки \(T\) перпендикуляр на эту плоскость. Но какая же точка будет основанием этого перпендикуляра? В какую точку плоскости \(BB_1D_1 \) проецируется точка \(T\)?
Вспомним признак перпендикулярности прямой и плоскости.
Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости.
Сделаем плоский чертеж нижнего основания и докажем, что \(TB\bot DB.\)
Угол \(ABC\) — угол правильного шестиугольника, и он равен \(120^{\circ}.\)
\(\angle CDB=\angle CBD=30^{\circ}\) (из равнобедренного треугольника \(DBC\)). Значит, \(\angle ABD=120^{\circ} -30^{\circ} =90^{\circ} .\) Итак, \(TB\bot DB.\)
Кроме того, \(TB\) лежит в плоскости нижней грани \((ABC)\), а \(BB_1 \bot (ABC)\) как высота призмы. Значит, \(BB_{1} \) перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости \(ABC\), в том числе, и прямой \(TB.\)
Итак, \(TB\bot BB_{1}. \)
По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, \(TB\bot \left(DBB_{1} \right).\)
Тогда точка \(B\) — проекция точки \(T\) на \(\left(DBB_{1} \right). \)
Искомый угол \(BB_{1} T=\varphi .\)
\(BT=\displaystyle \frac{1}{2} AB=\frac{1}{2} , \ BB_{1} =1\Rightarrow tg\varphi =\frac{BT}{BB_{1} } =\displaystyle \frac{\frac{1}{2}}{2} =\frac{1}{2} \varphi =arctg\frac{1}{2}.\)
Ответ: \(arctg\displaystyle \frac{1}{2} .\)
