Задание 14 Профильного ЕГЭ по математике. Стереометрия. Задача 2

В правильной шестиугольной призме $A\dots F_1$ , все ребра которой равны 1, точка G — середина ребра $A_1B_1.$ Найдите угол между прямой АG и плоскостью $BDD_1.$

Мы видим, что прямая $AG$ и плоскость $BDD_1$ пересекаются вне призмы. В этой ситуации возможны два выхода. Первый — достроить чертеж, продлив эти плоскость и прямую до точки пересечения. Второй — провести через какую-либо точку, лежащую в плоскости $BB_1D_1$ , прямую, параллельную $AG$ , и найти угол между плоскостью и полученной прямой. Мы выберем второй способ.

В плоскости $ABB_1$ проведем через точку $B_1$ прямую $B_1T$ , параллельную AG. Точка Т является серединой ребра АВ, так как $ATB_1G$ — параллелограмм.

Найдем угол между $TB_1$ и $\left(BB_1 D_1 \right).$

Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.

Точка $B_1$ уже лежит в нужной нам плоскости. Значит, надо найти проекцию точки Т на эту плоскость. Для этого надо опустить из точки Т перпендикуляр на эту плоскость. Но какая же точка будет основанием этого перпендикуляра? В какую точку плоскости $BB_1D_1$ проецируется точка Т?

Вспомним признак перпендикулярности прямой и плоскости.

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости.

Сделаем плоский чертеж нижнего основания и докажем, что $TB\bot DB$

Угол АВС — угол правильного шестиугольника, и он равен $120^{\circ}$ ,

$\angle CDB=\angle CBD=30^{\circ}$ (из равнобедренного треугольника DBC). Значит, $\angle ABD=120^{\circ} -30^{\circ} =90^{\circ} .$ Итак, $TB\bot DB.$

Кроме того, ТВ лежит в плоскости нижней грани (АВС), а $BB_1 \bot (ABC)$ как высота призмы. Значит, $BB_{1}$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости АВС, в том числе, и прямой ТВ.

Итак, $TB\bot BB_{1}.$

По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, $TB\bot \left(DBB_{1}. \right)$

Тогда точка В — проекция точки Т на $\left(DBB_{1} \right).$

Искомый угол $BB_{1} T=\varphi .$

$BT=\frac{1}{2} AB=\frac{1}{2} , BB_{1} =1\Rightarrow tg\varphi =\frac{BT}{BB_{1} } =\frac{\frac{1}{2}}{2} =\frac{1}{2} \varphi =arctg\frac{1}{2}.$

Ответ: $arctg\frac{1}{2} .$

Задание 14 Профильного ЕГЭ по математике. Стереометрия

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими статьями. Информация на странице «Задание 14 Профильного ЕГЭ по математике. Стереометрия. Задача 2» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.

Публикация обновлена: 06.09.2023

Задание 14 Профильного ЕГЭ по математике. Стереометрия. Задача 2

Это полезно