Задание 14 Профильного ЕГЭ по математике. Стереометрия. Задача 2

В правильной шестиугольной призме $A\dots F_1$ , все ребра которой равны 1, точка G — середина ребра $A_1B_1.$ Найдите угол между прямой АG и плоскостью $BDD_1.$

Мы видим, что прямая $AG$ и плоскость $BDD_1$ пересекаются вне призмы. В этой ситуации возможны два выхода. Первый — достроить чертеж, продлив эти плоскость и прямую до точки пересечения. Второй — провести через какую-либо точку, лежащую в плоскости $BB_1D_1$ , прямую, параллельную $AG$ , и найти угол между плоскостью и полученной прямой. Мы выберем второй способ.

В плоскости $ABB_1$ проведем через точку $B_1$ прямую $B_1T$ , параллельную AG. Точка Т является серединой ребра АВ, так как $ATB_1G$ — параллелограмм.

Найдем угол между $TB_1$ и $\left(BB_1 D_1 \right).$

Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.

Точка $B_1$ уже лежит в нужной нам плоскости. Значит, надо найти проекцию точки Т на эту плоскость. Для этого надо опустить из точки Т перпендикуляр на эту плоскость. Но какая же точка будет основанием этого перпендикуляра? В какую точку плоскости $BB_1D_1$ проецируется точка Т?

Вспомним признак перпендикулярности прямой и плоскости.

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости.

Сделаем плоский чертеж нижнего основания и докажем, что $TB\bot DB$

Угол АВС — угол правильного шестиугольника, и он равен $120^{\circ}$ ,

$\angle CDB=\angle CBD=30^{\circ}$ (из равнобедренного треугольника DBC). Значит, $\angle ABD=120^{\circ} -30^{\circ} =90^{\circ} .$ Итак, $TB\bot DB.$

Кроме того, ТВ лежит в плоскости нижней грани (АВС), а $BB_1 \bot (ABC)$ как высота призмы. Значит, $BB_{1}$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости АВС, в том числе, и прямой ТВ.

Итак, $TB\bot BB_{1}$

По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, $TB\bot \left(DBB_{1} \right)$

Тогда точка В — проекция точки Т на $\left(DBB_{1} \right).$

Искомый угол $BB_{1} T=\varphi .$

$BT=\frac{1}{2} AB=\frac{1}{2} , BB_{1} =1\Rightarrow tg\varphi =\frac{BT}{BB_{1} } =\frac{\frac{1}{2}}{2} =\frac{1}{2} \Rightarrow \varphi =arctg\frac{1}{2}$

Ответ: $arctg\frac{1}{2} .$

Задание 14 Профильного ЕГЭ по математике. Стереометрия

Интенсивная подготовка

Бесплатные пробные ЕГЭ

Расписание курсов

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)
+7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

Узнать больше

Премиум

Вся часть 2 на ЕГЭ по математике, от задачи 13 до задачи 19. То, о чем не рассказывают даже ваши репетиторы. Все приемы решения задач части 2. Оформление задач на экзамене. Десятки реальных задач ЕГЭ, от простых до самых сложных.

Видеокурс «Премиум» состоит из 7 курсов для освоения части 2 ЕГЭ по математике (задачи 13-19). Длительность каждого курса - от 3,5 до 4,5 часов.

Уравнения (задача 13)

Стереометрия (задача 14)

Неравенства (задача 15)

Геометрия (задача 16)

Финансовая математика (задача 17)

Параметры (задача 18)

Нестандартная задача на числа и их свойства (задача 19).

Здесь то, чего нет в учебниках. Чего вам не расскажут в школе. Приемы, методы и секреты решения задач части 2.

Каждая тема разобрана с нуля. Десятки специально подобранных задач, каждая из которых помогает понять «подводные камни» и хитрости решения. Автор видеокурса Премиум - репетитор-профессионал Анна Малкова.

Получи пятерку

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

Сразу после оплаты вы получите ссылки на скачивание видеокурсов и уникальные ключи к ним.

Как пользоваться?

Не надо сразу просматривать задачи (и решения) всех вариантов. Такое читерство вам только помешает. Берите по одному! Задачи решайте по однойи старайтесь довести до ответа.

Если почти ничего не получилось – начинать надо не с решения вариантов, а с изучения математики. Вам помогут книга для подготовки к ЕГЭи Годовой Онлайн-курс.

Если вы правильно решили из первого варианта Маттренингов 5-7 задач – значит, знаний не хватает. Смотри пункт 1: Книгаи Годовой Онлайн-курс!

Обязательно разберите правильные решения. Посмотрите видеоразбор – в нем тоже много полезного.

Можно решать самостоятельно или вместе с друзьями. Или всем классом. А потом смотреть видеоразбор варианта.

Стоимость комплекта «Математические тренинги – 2019» - всего 1100 рублей. За 5 вариантов с решениями и видеоразбором каждого.