В правильной шестиугольной призме , все ребра которой равны 1, точка G — середина ребра
Найдите угол между прямой АG и плоскостью
Мы видим, что прямая и плоскость
пересекаются вне призмы. В этой ситуации возможны два выхода. Первый — достроить чертеж, продлив эти плоскость и прямую до точки пересечения. Второй — провести через какую-либо точку, лежащую в плоскости
, прямую, параллельную
, и найти угол между плоскостью и полученной прямой. Мы выберем второй способ.
В плоскости проведем через точку
прямую
, параллельную AG. Точка Т является серединой ребра АВ, так как
— параллелограмм.
Найдем угол между и
Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.
Точка уже лежит в нужной нам плоскости. Значит, надо найти проекцию точки Т на эту плоскость. Для этого надо опустить из точки Т перпендикуляр на эту плоскость. Но какая же точка будет основанием этого перпендикуляра? В какую точку плоскости
проецируется точка Т?
Вспомним признак перпендикулярности прямой и плоскости.
Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости.
Сделаем плоский чертеж нижнего основания и докажем, что
Угол АВС — угол правильного шестиугольника, и он равен ,
(из равнобедренного треугольника DBC). Значит,
Итак,
Кроме того, ТВ лежит в плоскости нижней грани (АВС), а как высота призмы. Значит,
перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости АВС, в том числе, и прямой ТВ.
Итак,
По признаку перпендикулярности прямой и плоскости,
Тогда точка В — проекция точки Т на
Искомый угол
Ответ: