previous arrow
next arrow
Slider

Задание 14 Профильного ЕГЭ по математике. Стереометрия. Задача 2

В правильной шестиугольной призме A\dots F_1, все ребра которой равны 1, точка G — середина ребра A_1B_1. Найдите угол между прямой АG и плоскостью BDD_1.

Мы видим, что прямая AG и плоскость BDD_1 пересекаются вне призмы. В этой ситуации возможны два выхода. Первый — достроить чертеж, продлив эти плоскость и прямую до точки пересечения. Второй — провести через какую-либо точку, лежащую в плоскости BB_1D_1, прямую, параллельную AG, и найти угол между плоскостью и полученной прямой. Мы выберем второй способ.

В плоскости ABB_1 проведем через точку B_1 прямую B_1T, параллельную AG. Точка Т является серединой ребра АВ, так как ATB_1G — параллелограмм.

Найдем угол между TB_1 и \left(BB_1 D_1 \right).

Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.

Точка B_1 уже лежит в нужной нам плоскости. Значит, надо найти проекцию точки Т на эту плоскость. Для этого надо опустить из точки Т перпендикуляр на эту плоскость. Но какая же точка будет основанием этого перпендикуляра? В какую точку плоскости BB_1D_1 проецируется точка Т?

Вспомним признак перпендикулярности прямой и плоскости.

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости.

Сделаем плоский чертеж нижнего основания и докажем, что TB\bot DB

Угол АВС — угол правильного шестиугольника, и он равен 120^{\circ},

\angle CDB=\angle CBD=30^{\circ} (из равнобедренного треугольника DBC). Значит, \angle ABD=120^{\circ} -30^{\circ} =90^{\circ} . Итак, TB\bot DB.

Кроме того, ТВ лежит в плоскости нижней грани (АВС), а BB_1 \bot (ABC) как высота призмы. Значит, BB_{1} перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости АВС, в том числе, и прямой ТВ.

Итак, TB\bot BB_{1}

По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, TB\bot \left(DBB_{1} \right)

Тогда точка В — проекция точки Т на \left(DBB_{1} \right).

Искомый угол BB_{1} T=\varphi .

BT=\frac{1}{2} AB=\frac{1}{2} , BB_{1} =1\Rightarrow tg\varphi =\frac{BT}{BB_{1} } =\frac{\frac{1}{2}}{2} =\frac{1}{2} \Rightarrow \varphi =arctg\frac{1}{2}

Ответ: arctg\frac{1}{2} .

Задание 14 Профильного ЕГЭ по математике. Стереометрия