Задание 14 Профильного ЕГЭ по математике. Стереометрия. Задача 2

В правильной шестиугольной призме $A\dots F_1$ , все ребра которой равны 1, точка G — середина ребра $A_1B_1.$ Найдите угол между прямой АG и плоскостью $BDD_1.$

Мы видим, что прямая $AG$ и плоскость $BDD_1$ пересекаются вне призмы. В этой ситуации возможны два выхода. Первый — достроить чертеж, продлив эти плоскость и прямую до точки пересечения. Второй — провести через какую-либо точку, лежащую в плоскости $BB_1D_1$ , прямую, параллельную $AG$ , и найти угол между плоскостью и полученной прямой. Мы выберем второй способ.

В плоскости $ABB_1$ проведем через точку $B_1$ прямую $B_1T$ , параллельную AG. Точка Т является серединой ребра АВ, так как $ATB_1G$ — параллелограмм.

Найдем угол между $TB_1$ и $\left(BB_1 D_1 \right).$

Угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.

Точка $B_1$ уже лежит в нужной нам плоскости. Значит, надо найти проекцию точки Т на эту плоскость. Для этого надо опустить из точки Т перпендикуляр на эту плоскость. Но какая же точка будет основанием этого перпендикуляра? В какую точку плоскости $BB_1D_1$ проецируется точка Т?

Вспомним признак перпендикулярности прямой и плоскости.

Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости.

Сделаем плоский чертеж нижнего основания и докажем, что $TB\bot DB$

Угол АВС — угол правильного шестиугольника, и он равен $120^{\circ}$ ,

$\angle CDB=\angle CBD=30^{\circ}$ (из равнобедренного треугольника DBC). Значит, $\angle ABD=120^{\circ} -30^{\circ} =90^{\circ} .$ Итак, $TB\bot DB.$

Кроме того, ТВ лежит в плоскости нижней грани (АВС), а $BB_1 \bot (ABC)$ как высота призмы. Значит, $BB_{1}$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости АВС, в том числе, и прямой ТВ.