В правильной шестиугольной призме \(ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1\) все рёбра равны 1. Найдите расстояние от точки \(B\) до плоскости \(FB_1C_1.\)
Решение:
Расстояние от точки до плоскости равно длине перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость.
По свойству правильного шестиугольника \( BF\bot FE.\) Значит, \( BF\bot B_1C_1\), поскольку \(FE\) и \(B_1C_1\) параллельны.
\(BB_1 \bot B_1C_1\), т. к. призма прямая.
Получим, что \((FBB_1) \bot B_1C_1\) по признаку перпендикулярности прямой и плоскости.
Это значит, что любая прямая, лежащая в плоскости \(W\), перпендикулярна прямой \(BC_1.\)
Проведем \(BH \bot FB_1,\ BH \in (FBB_1).\)
Тогда \(BH\bot B_1C_1.\) По признаку перпендикулярности прямой и плоскости,
\(BH\bot (FB_1C_1).\) Тогда \(BH\) — расстояние от точки \(B\) до плоскости \(FB_1C_1.\)
Перейдем к плоскому чертежу — сечению призмы плоскостью \(FBB_1.\) Это сечение — прямоугольник.
\(FF_1=\ BB_1=1, \ FB = \sqrt{3},\) тогда \(FB_1= 2, \ \angle B_1FB=30^\circ .\)
Запишем площадь прямоугольного треугольника \(FBB_1\) двумя способами.
\( S_{\vartriangle }=\displaystyle \frac{1}{2}a\cdot h;\)
\(S_{\vartriangle FBB_1}=\displaystyle \frac{1}{2}\cdot FB\cdot BB_1=\displaystyle \frac{1}{2}\cdot FB_1\cdot BH. \)
Отсюда \(BH=\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{2}.\)
