Задание 14 Профильного ЕГЭ по математике. Стереометрия. Задача 3

В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ все рёбра равны 1. Найдите расстояние от точки В до плоскости $FB_1C_1.$

Расстояние от точки до плоскости равно длине перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость.

По свойству правильного шестиугольника $BF\ \bot \ FE.$ Значит, $BF\ \bot \ B_1C_1$ , поскольку $FE$ и $B_1C_1$ параллельны.

$BB_1\ \bot \ B_1C_1$ , т.к. призма прямая.

Получим, что $(FBB_1)\ \bot \ B_1C_1\$ по признаку перпендикулярности прямой и плоскости.

Это значит, что любая прямая, лежащая в плоскости W, перпендикулярна прямой $BC_1$ .

Проведем $BH\ \bot \ FB_1,\ \ BH\ \in \ (FBB_1)$

Тогда $BH\ \bot \ B_1C_1\ .$ По признаку перпендикулярности прямой и плоскости,

$BH\ \bot \ (FB_1C_1).$ Тогда BH — расстояние от точки B до плоскости $FB_1C_1.$

Перейдем к плоскому чертежу — сечению призмы плоскостью $FBB_1.$ Это сечение — прямоугольник.

$FF_1=\ BB_1=\ 1,\ \ FB\ = \sqrt{3},$ тогда $FB_1\ =\ 2,\ \ \ \angle B_1FB\ =\ 30^\circ .$

Запишем площадь прямоугольного треугольника $FBB_1$ двумя способами.

$S_{\vartriangle }=\frac{1}{2}a\cdot h,$

$S_{\vartriangle FBB_1}=\frac{1}{2}\cdot FB\cdot BB_1=\frac{1}{2}\cdot FB_1\cdot BH.$

Отсюда $BH=\frac{\sqrt{3}}{2}.$

Задание 14 Профильного ЕГЭ по математике. Стереометрия

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими статьями. Информация на странице «Задание 14 Профильного ЕГЭ по математике. Стереометрия. Задача 3» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена: 07.09.2023

Задание 14 Профильного ЕГЭ по математике. Стереометрия. Задача 3

Это полезно