previous arrow
next arrow
Slider

Задание 14 Профильного ЕГЭ по математике. Стереометрия. Задача 3

В правильной шестиугольной призме ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1 все рёбра равны 1. Найдите расстояние от точки В до плоскости FB_1C_1.

Расстояние от точки до плоскости равно длине перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость.

По свойству правильного шестиугольника BF\ \bot \ FE. Значит,BF\ \bot \ B_1C_1, поскольку FE и B_1C_1 параллельны.

BB_1\ \bot \ B_1C_1, т.к. призма прямая.

Получим, что (FBB_1)\ \bot \ B_1C_1\ по признаку перпендикулярности прямой и плоскости.

Это значит, что любая прямая, лежащая в плоскости W, перпендикулярна прямой BC_1.

Проведем BH\ \bot \ FB_1,\ \ BH\ \in \ (FBB_1)

Тогда BH\ \bot \ B_1C_1\ . По признаку перпендикулярности прямой и плоскости,

BH\ \bot \ (FB_1C_1). Тогда BH — расстояние от точки B до плоскости FB_1C_1.

Перейдем к плоскому чертежу — сечению призмы плоскостью FBB_1. Это сечение — прямоугольник.

FF_1=\ BB_1=\ 1,\ \ FB\ = \sqrt{3}, тогда FB_1\ =\ 2,\ \ \ \angle B_1FB\ =\ 30^\circ .

Запишем площадь прямоугольного треугольника FBB_1 двумя способами.

S_{\vartriangle }=\frac{1}{2}a\cdot h,

S_{\vartriangle FBB_1}=\frac{1}{2}\cdot FB\cdot BB_1=\frac{1}{2}\cdot FB_1\cdot BH.

Отсюда BH=\frac{\sqrt{3}}{2}.

Задание 14 Профильного ЕГЭ по математике. Стереометрия