Точка \(E\) — середина ребра \(CC_1\) куба \(ABCDA_1B_1C_1D_1.\) Найдите угол между прямыми \(BE\) и \(B_1D.\)
Решение:
Прямые \(BE\) и \(B_1D\) - скрещивающиеся. Помните, как находится угол между скрещивающимися прямыми? Если не помните — посмотрите в нашем справочнике.
Проведем \(B_1K \parallel BE\) в плоскости \(BCC_1. \)
Тогда \(\vartriangle B_1 KC_1 =\vartriangle BEC, \, KC_1=\ EC = \displaystyle \frac{1}{2}.\)
Рассмотрим треугольник \(B_1DK:\)
\(B_1D = \sqrt{3}\) (как диагональ куба);
\(B_1K=\sqrt{1+\displaystyle \frac{1}{4}}=\displaystyle \frac{\sqrt{5}}{2}\) (из треугольника \(B_1KC_1\) по теореме Пифагора);
\( KD=\sqrt{1+\displaystyle \frac{9}{4}}=\displaystyle \frac{\sqrt{13}}{2}\) (из треугольника \(KCD\) по теореме Пифагора).
По теореме косинусов для треугольника \(B_1DK:\)
\(KD^2=B_1K^2+B_1D^2-2B_1K\cdot B_1D\cdot cos \varphi ;\)
\(\displaystyle \frac{13}{4}=3+\frac{5}{4}-2\cdot \sqrt{3}\cdot \displaystyle \frac{\sqrt{5}}{2}cos \varphi;\)
\( cos \varphi =\displaystyle \frac{\sqrt{15}}{15}; \)
\(\varphi =arccos\displaystyle \frac{\sqrt{15}}{15}. \)
