В правильной треугольной призме \(ABA_1A_1B_1C_1\), все рёбра которой равны \(\sqrt{3}\), найдите расстояние между прямыми \(AA_1\) и \(BC_1.\)
Решение:
Прямые \(AA_1\) и \(BC_1\) - скрещивающиеся.
Расстояние между ними равно длине их общего перпендикуляра. Оно также равно расстоянию от \(AA_1\) до параллельной ей плоскости \(BB_1C_1\), в которой лежит прямая \(BC_1.\)
Проведем \(A_1H\), где \(H\) — середина \(B_1C_1.\) Треугольник \(A_1B_1C_1\) правильный, поэтому \(A_1H \bot \ B_1C_1.\)
Также \(A_1H \bot \ BB_1\), поскольку призма прямая.
По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, \(A_1H \bot (BB_1C_1).\) Значит, \(A_1H\) перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости \(BB_1C_1\), в том числе прямой \(BC_1.\)
Кроме того, \(A_1H \bot \ AA_1.\) Получим, что \(A_1H\) — общий перпендикуляр к прямым \(AA_1\) и \(BC_1\), и длина \(A_1H\) равна расстоянию между \(AA_1\) и \(BC_1.\) Найдем \(A_1H\) как высоту правильного треугольника со стороной \(\sqrt{3}.\)
\( A_1H=\displaystyle \frac{\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}{2}=1,5. \)
