Задание 14 Профильного ЕГЭ по математике. Стереометрия. Задача 6

В правильной треугольной призме $ABA_1A_1B_1C_1$ , все рёбра которой равны $\sqrt{3}$ , найдите расстояние между прямыми $AA_1$ и $BC_1.$

Прямые $AA_1$ и $BC_1$ - скрещивающиеся.

Расстояние между ними равно длине их общего перпендикуляра. Оно также равно расстоянию от $AA_1$ до параллельной ей плоскости $BB_1C_1$ , в которой лежит прямая $BC_1$ .

Проведем $A_1H$ , где H — середина $B_1C_1$ . Треугольник $A_1B_1C_1$ правильный, поэтому $A_1H \bot \ B_1C_1.$

Также $A_1H \bot \ BB_1$ , поскольку призма прямая.

По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, $A_1H \bot (BB_1C_1).$ Значит, $A_1H$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости $BB_1C_1$ , в том числе прямой $BC_1.$

Кроме того, $A_1H \bot \ AA_1.$ Получим, что $A_1H$ — общий перпендикуляр к прямым $AA_1$ и $BC_1$ , и длина $A_1H$ равна расстоянию между $AA_1$ и $BC_1.$ Найдем $A_1H$ как высоту правильного треугольника со стороной $\sqrt{3}.$

$A_1H=\frac{\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}{2}=1,5.$

Задание 14 Профильного ЕГЭ по математике. Стереометрия

Задание 14 Профильного ЕГЭ по математике. Стереометрия. Задача 6

Это полезно