previous arrow
next arrow
Slider

Задание 14 Профильного ЕГЭ по математике. Стереометрия. Задача 6

В правильной треугольной призме ABA_1A_1B_1C_1, все рёбра которой равны \sqrt{3}, найдите расстояние между прямыми AA_1 и BC_1.

Прямые AA_1 и BC_1 - скрещивающиеся.

Расстояние между ними равно длине их общего перпендикуляра. Оно также равно расстоянию от AA_1 до параллельной ей плоскости BB_1C_1, в которой лежит прямая BC_1.

Проведем A_1H, где H — середина B_1C_1. Треугольник A_1B_1C_1 правильный, поэтому A_1H \bot \ B_1C_1.

Также A_1H \bot \ BB_1, поскольку призма прямая.

По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, A_1H \bot (BB_1C_1). Значит, A_1H перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости BB_1C_1, в том числе прямой BC_1.

Кроме того, A_1H \bot \ AA_1. Получим, что A_1H — общий перпендикуляр к прямым AA_1 и BC_1, и длина A_1H равна расстоянию между AA_1 и BC_1. Найдем A_1H как высоту правильного треугольника со стороной \sqrt{3}.

A_1H=\frac{\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}{2}=1,5.

Задание 14 Профильного ЕГЭ по математике. Стереометрия