Задание 14 Профильного ЕГЭ по математике. Стереометрия. Задача 6

В правильной треугольной призме $ABA_1A_1B_1C_1$ , все рёбра которой равны $\sqrt{3}$ , найдите расстояние между прямыми $AA_1$ и $BC_1.$

Прямые $AA_1$ и $BC_1$ - скрещивающиеся.

Расстояние между ними равно длине их общего перпендикуляра. Оно также равно расстоянию от $AA_1$ до параллельной ей плоскости $BB_1C_1$ , в которой лежит прямая $BC_1$ .

Проведем $A_1H$ , где H — середина $B_1C_1$ . Треугольник $A_1B_1C_1$ правильный, поэтому $A_1H \bot \ B_1C_1.$

Также $A_1H \bot \ BB_1$ , поскольку призма прямая.

По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, $A_1H \bot (BB_1C_1).$ Значит, $A_1H$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости $BB_1C_1$ , в том числе прямой $BC_1.$

Кроме того, $A_1H \bot \ AA_1.$ Получим, что $A_1H$ — общий перпендикуляр к прямым $AA_1$ и $BC_1$ , и длина $A_1H$ равна расстоянию между $AA_1$ и $BC_1.$ Найдем $A_1H$ как высоту правильного треугольника со стороной $\sqrt{3}.$

$A_1H=\frac{\sqrt{3}\cdot \sqrt{3}}{2}=1,5.$

Задание 14 Профильного ЕГЭ по математике. Стереометрия

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими статьями. Информация на странице «Задание 14 Профильного ЕГЭ по математике. Стереометрия. Задача 6» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена: 07.09.2023

Задание 14 Профильного ЕГЭ по математике. Стереометрия. Задача 6

Это полезно