Точки \(M\) и \(N\) — середины ребер соответственно \(AB\) и \(CD\) треугольной пирамиды \(ABCD, \ O,\) — точка пересечения медиан грани \(ABC.\)
а) Докажите, что прямая \(DO\) проходит через середину отрезка \(MN.\)
б) Найдите угол между прямыми \(MN\) и \(BC,\) если \(ABCD\) — правильный тетраэдр.
Решение:
а) Пусть \(O\) — точка пересечения медиан треугольника \(ABC; \ M\) — середина \(AB, \ N\) — середина \(CD.\) Прямые \(DO\) и \(MN\) лежат в плоскости \(DMC\) и пересекаются в точке \(K.\)
Покажем, что \(K\) — середина \(MN.\)
Проведём \(NH\bot MC\) в плоскости \(DMC.\)
Тогда \(NH \parallel DO, \ NH=\displaystyle \frac{1}{2}DO\) — как средняя линия \(\vartriangle DOC,\) точка \(H\) — середина \(OC.\)
По свойству медиан треугольника, \(MO:OC=1:2.\) Пусть \(MO=x\), тогда \(OC=2x; \ OH=HC=x\), т. к. \(H\) — середина \(OC.\)
Треугольники \(MKO\) и \(MNH\) подобны по двум углам, \( MK : MN = MO : MH = 1 : 2\), и это значит, что \(K\) — середина \(MN.\)
б) Пусть \(ABCD\) — правильный тетраэдр, все его ребра равны. Найдем угол между прямыми \(MN\) и \(BC.\)
Пусть \(F\) — середина \(AC; \ MF \) — средняя линия треугольника \(ABC, \ MF \parallel BC. \)
Угол между прямыми \(MN\) и \(BC\) равен углу между \(MN\) и \(MF.\)
\(\vartriangle MFN\) — равнобедренный, т. к. \(ABCD\) — правильный тетраэдр, \(MF=FN.\)
Легко доказать, что скрещивающиеся ребра правильного тетраэдра попарно перпендикулярны, то есть \(AD\bot BC.\)
Действительно, если \(E\) — середина \(BC\), то \(AE\) — медиана и высота правильного треугольника \(ABC, \ AE\bot BC.\)
Прямая \(AE\) — проекция прямой \(AD\) на плоскость основания, и по теореме о трех перпендикулярах \(AD\bot BC.\)
Тогда \(MF\bot FN\), т. к. \(MF \parallel BC; \, FN \parallel AD.\) Угол \(\angle MFN=90^\circ .\)
Значит, \(\angle NMF=45^\circ .\) Это угол между прямыми \(MN\) и \(BC.\)
Ответ: б) \(45^\circ.\)
