Точки М и N — середины ребер соответственно АВ и СD треугольной пирамиды АВСD, О — точка пересечения медиан грани АВС.
а) Докажите, что прямая DO проходит через середину отрезка MN.
б) Найдите угол между прямыми MN и ВС, если АВСD — правильный тетраэдр.
а) Пусть О — точка пересечения медиан треугольника АВС; М — середина АВ, N — середина CD. Прямые DO и MN лежат в плоскости DMC и пересекаются в точке K.
Покажем, что K — середина MN.
Проведём в плоскости DMC.
Тогда — как средняя линия
точка Н — середина ОС.
По свойству медиан треугольника, Пусть
, тогда
;
, т.к. H — середина OC.
Треугольники МКО и МNH подобны по двум углам,, и это значит, что
K — середина MN.
б) Пусть ABCD — правильный тетраэдр, все его ребра равны. Найдем угол между прямыми MN и BC,
Пусть F — середина AC;
MF — средняя линия треугольника АВС, Угол между прямыми MN и BC равен углу между MN и MF.
— равнобедренный, т.к. ABCD — правильный тетраэдр, MF=FN.
Легко доказать, что скрещивающиеся ребра правильного тетраэдра попарно перпендикулярны, то есть Действительно, если Е — середина ВС, то АЕ — медиана и высота правильного треугольника АВС,
Прямая АЕ — проекция прямой AD на плоскость основания, и по теореме о трех перпендикулярах
Тогда , т.к.
Угол
Значит, Это угол между прямыми MN и BC.
Ответ: б)