previous arrow
next arrow
Slider

Задание 14 Профильного ЕГЭ по математике. Стереометрия. Задача 8

Точки М и N — середины ребер соответственно АВ и СD треугольной пирамиды АВСD, О — точка пересечения медиан грани АВС.

а) Докажите, что прямая DO проходит через середину отрезка MN.

б) Найдите угол между прямыми MN и ВС, если АВСD — правильный тетраэдр.

а) Пусть О — точка пересечения медиан треугольника АВС; М — середина АВ, N — середина CD. Прямые DO и MN лежат в плоскости DMC и пересекаются в точке K.

Покажем, что K — середина MN.

Проведём NH\bot MC в плоскости DMC.

Тогда NH \parallel DO, NH=\frac{1}{2}DO — как средняя линия \vartriangle DOC, точка Н — середина ОС.

По свойству медиан треугольника, MO:OC=1:2. Пусть MO=x, тогда OC=2x; OH=HC=x, т.к. H — середина OC.

Треугольники МКО и МNH подобны по двум углам,MK : MN = MO : MH = 1 : 2, и это значит, что

K — середина MN.

б) Пусть ABCD — правильный тетраэдр, все его ребра равны. Найдем угол между прямыми MN и BC,

Пусть F — середина AC;

MF — средняя линия треугольника АВС, MF \parallel BC. Угол между прямыми MN и BC равен углу между MN и MF.

\vartriangle MFN — равнобедренный, т.к. ABCD — правильный тетраэдр, MF=FN.

Легко доказать, что скрещивающиеся ребра правильного тетраэдра попарно перпендикулярны, то есть AD\bot BC. Действительно, если Е — середина ВС, то АЕ — медиана и высота правильного треугольника АВС, AE\bot BC. Прямая АЕ — проекция прямой AD на плоскость основания, и по теореме о трех перпендикулярах AD\bot BC.

Тогда MF\bot FN, т.к. MF \parallel BC; \, FN \parallel AD.\ Угол \angle MFN=90^\circ .

Значит, \angle NMF=45^\circ . Это угол между прямыми MN и BC.

Ответ: б) 45^\circ

Задание 14 Профильного ЕГЭ по математике. Стереометрия