Задание 14 Профильного ЕГЭ по математике. Стереометрия. Задача 8

Точки М и N — середины ребер соответственно АВ и СD треугольной пирамиды АВСD, О — точка пересечения медиан грани АВС.

а) Докажите, что прямая DO проходит через середину отрезка MN.

б) Найдите угол между прямыми MN и ВС, если АВСD — правильный тетраэдр.

а) Пусть О — точка пересечения медиан треугольника АВС; М — середина АВ, N — середина CD. Прямые DO и MN лежат в плоскости DMC и пересекаются в точке K.

Покажем, что K — середина MN.

Проведём $NH\bot MC$ в плоскости DMC.

Тогда $NH \parallel DO, NH=\frac{1}{2}DO$ — как средняя линия $\vartriangle DOC,$ точка Н — середина ОС.

По свойству медиан треугольника, $MO:OC=1:2.$ Пусть $MO=x$ , тогда $OC=2x$ ; $OH=HC=x$ , т.к. H — середина OC.

Треугольники МКО и МNH подобны по двум углам, $MK : MN = MO : MH = 1 : 2$ , и это значит, что

K — середина MN.

б) Пусть ABCD — правильный тетраэдр, все его ребра равны. Найдем угол между прямыми MN и BC,

Пусть F — середина AC;

MF — средняя линия треугольника АВС, $MF \parallel BC.$ Угол между прямыми MN и BC равен углу между MN и MF.

$\vartriangle MFN$ — равнобедренный, т.к. ABCD — правильный тетраэдр, MF=FN.

Легко доказать, что скрещивающиеся ребра правильного тетраэдра попарно перпендикулярны, то есть $AD\bot BC.$ Действительно, если Е — середина ВС, то АЕ — медиана и высота правильного треугольника АВС, $AE\bot BC.$ Прямая АЕ — проекция прямой AD на плоскость основания, и по теореме о трех перпендикулярах $AD\bot BC.$