В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A, B и C, а на окружности другого основания — точка \(C_1\), причём \(CC_1\) — образующая цилиндра, а AC — диаметр основания. Известно, что \(\angle ACB=30^\circ , \, AB=\sqrt{2}, \, CC_1=2.\)
а)Докажите, что угол между прямыми \(AC_1\) и BC равен \(45^\circ .\)
б)Найдите объём цилиндра.
а) Прямые BC и \(B_1C_1\) параллельны (как линии пересечения двух параллельных оснований цилиндра третьей плоскостью)
Значит, угол между \(AC_1\) и BC равен углу \(AC_1B_1.\)
\(\angle ABC=90^\circ \) (опирается на диаметр).
Из \(\vartriangle ABC,\\) где \(\angle ACB=30^\circ ,\)
\(BC=AB\cdot \sqrt{3}=\sqrt{6}=B_1C_1;; \, \, AC=2\sqrt{2}; \)
Из \(\vartriangle ACC_1\\) по теореме Пифагора:
\(AC_1=\sqrt{AC^2+CC^2_1}=\sqrt{8+3}=\sqrt{12}=2\sqrt{3};\)
Из \(\vartriangle ABB_1\) по теореме Пифагора:
\(AB_1=\sqrt{AB^2+BB^2_1}=\sqrt{2+4}=\sqrt{6}=B_1C_1.\)
Для треугольника \(AC_1B_1\) выполняется равенство \(AC^2_1=B_1C^2_1+AB^2_1.\ \)
Действительно, 6+6=12. Значит, \(\vartriangle AC_1B_1\) — прямоугольный равнобедренный, \(\angle AC_1B_1=45^\circ .\)
б) Найдем объем цилиндра.
\(V= \pi R^2\cdot h= \pi \cdot {\left(\sqrt{2}\right)}^2\cdot 2=4 \pi . \)
Посмотрите, какой простой пункт (б). И даже если на ЕГЭ вам не удалось довести до конца доказательство в пункте (а), но вы сделали пункт (б) — вы сможете получить 1 балл за эту задачу.
