previous arrow
next arrow
Slider
Центр подготовки к ЕГЭ > Задание 14 Профильного ЕГЭ по математике. Стереометрия. Задача 9

Задание 14 Профильного ЕГЭ по математике. Стереометрия. Задача 9

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A, B и C, а на окружности другого основания — точка C_1, причём CC_1 — образующая цилиндра, а AC — диаметр основания. Известно, что \angle ACB=30^\circ , \, AB=\sqrt{2}, \, CC_1=2.

а)Докажите, что угол между прямыми AC_1 и BC равен 45^\circ .

б)Найдите объём цилиндра.

а) Прямые BC и B_1C_1 параллельны (как линии пересечения двух параллельных оснований цилиндра третьей плоскостью)

Значит, угол между AC_1 и BC равен углу AC_1B_1.

\angle ABC=90^\circ (опирается на диаметр).

Из \vartriangle ABC,\ где \angle ACB=30^\circ ,

BC=AB\cdot \sqrt{3}=\sqrt{6}=B_1C_1;; \, \, AC=2\sqrt{2};

Из \vartriangle ACC_1\ по теореме Пифагора:

AC_1=\sqrt{AC^2+CC^2_1}=\sqrt{8+3}=\sqrt{12}=2\sqrt{3};

Из \vartriangle ABB_1 по теореме Пифагора:

AB_1=\sqrt{AB^2+BB^2_1}=\sqrt{2+4}=\sqrt{6}=B_1C_1.

Для треугольника AC_1B_1 выполняется равенство AC^2_1=B_1C^2_1+AB^2_1.\

Действительно, 6+6=12. Значит, \vartriangle AC_1B_1 — прямоугольный равнобедренный, \angle AC_1B_1=45^\circ .

б) Найдем объем цилиндра.

V= \pi R^2\cdot h= \pi \cdot {\left(\sqrt{2}\right)}^2\cdot 2=4 \pi .

Посмотрите, какой простой пункт (б). И даже если на ЕГЭ вам не удалось довести до конца доказательство в пункте (а), но вы сделали пункт (б) — вы сможете получить 1 балл за эту задачу.

Задание 14 Профильного ЕГЭ по математике. Стереометрия

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими материалами. Информация на странице «Задание 14 Профильного ЕГЭ по математике. Стереометрия. Задача 9» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена: 07.09.2023