Задание 14 Профильного ЕГЭ по математике. Стереометрия. Задача 9

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A, B и C, а на окружности другого основания — точка $C_1$ , причём $CC_1$ — образующая цилиндра, а AC — диаметр основания. Известно, что $\angle ACB=30^\circ , \, AB=\sqrt{2}, \, CC_1=2.$

а)Докажите, что угол между прямыми $AC_1$ и BC равен $45^\circ .$

б)Найдите объём цилиндра.

а) Прямые BC и $B_1C_1$ параллельны (как линии пересечения двух параллельных оснований цилиндра третьей плоскостью)

Значит, угол между $AC_1$ и BC равен углу $AC_1B_1.$

$\angle ABC=90^\circ$ (опирается на диаметр).

Из $\vartriangle ABC,\$ где $\angle ACB=30^\circ ,$

$BC=AB\cdot \sqrt{3}=\sqrt{6}=B_1C_1;; \, \, AC=2\sqrt{2};$

Из $\vartriangle ACC_1\$ по теореме Пифагора:

$AC_1=\sqrt{AC^2+CC^2_1}=\sqrt{8+3}=\sqrt{12}=2\sqrt{3};$

Из $\vartriangle ABB_1$ по теореме Пифагора:

$AB_1=\sqrt{AB^2+BB^2_1}=\sqrt{2+4}=\sqrt{6}=B_1C_1.$

Для треугольника $AC_1B_1$ выполняется равенство $AC^2_1=B_1C^2_1+AB^2_1.\$

Действительно, 6+6=12. Значит, $\vartriangle AC_1B_1$ — прямоугольный равнобедренный, $\angle AC_1B_1=45^\circ .$

б) Найдем объем цилиндра.

$V= \pi R^2\cdot h= \pi \cdot {\left(\sqrt{2}\right)}^2\cdot 2=4 \pi .$

Посмотрите, какой простой пункт (б). И даже если на ЕГЭ вам не удалось довести до конца доказательство в пункте (а), но вы сделали пункт (б) — вы сможете получить 1 балл за эту задачу.

Задание 14 Профильного ЕГЭ по математике. Стереометрия

Задание 14 Профильного ЕГЭ по математике. Стереометрия. Задача 9

Это полезно