previous arrow
next arrow
Slider

Задание 14 Профильного ЕГЭ по математике. Стереометрия. Задача 9

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A, B и C, а на окружности другого основания — точка C_1, причём CC_1 — образующая цилиндра, а AC — диаметр основания. Известно, что \angle ACB=30^\circ , \, AB=\sqrt{2}, \, CC_1=2.

а)Докажите, что угол между прямыми AC_1 и BC равен 45^\circ .

б)Найдите объём цилиндра.

а) Прямые BC и B_1C_1 параллельны (как линии пересечения двух параллельных оснований цилиндра третьей плоскостью)

Значит, угол между AC_1 и BC равен углу AC_1B_1.

\angle ABC=90^\circ (опирается на диаметр).

Из \vartriangle ABC,\ где \angle ACB=30^\circ ,

BC=AB\cdot \sqrt{3}=\sqrt{6}=B_1C_1;; \, \, AC=2\sqrt{2};

Из \vartriangle ACC_1\ по теореме Пифагора:

AC_1=\sqrt{AC^2+CC^2_1}=\sqrt{8+3}=\sqrt{12}=2\sqrt{3};

Из \vartriangle ABB_1 по теореме Пифагора:

AB_1=\sqrt{AB^2+BB^2_1}=\sqrt{2+4}=\sqrt{6}=B_1C_1.

Для треугольника AC_1B_1 выполняется равенство AC^2_1=B_1C^2_1+AB^2_1.\

Действительно, 6+6=12. Значит, \vartriangle AC_1B_1 — прямоугольный равнобедренный, \angle AC_1B_1=45^\circ .

б) Найдем объем цилиндра.

V= \pi R^2\cdot h= \pi \cdot {\left(\sqrt{2}\right)}^2\cdot 2=4 \pi .

Посмотрите, какой простой пункт (б). И даже если на ЕГЭ вам не удалось довести до конца доказательство в пункте (а), но вы сделали пункт (б) — вы сможете получить 1 балл за эту задачу.

Задание 14 Профильного ЕГЭ по математике. Стереометрия