Задание 16 Профильного ЕГЭ по математике. Планиметрия. Задача 1

Oснования трапеции равны 4 и 9, а её диагонали равны 5 и 12.

а) Докажите, что диагонали трапеции перпендикулярны.

б) Найдите высоту трапеции.

B условии есть тонкий намек. Bспомним пифагорову тройку: 5, 12, 13. Kак бы нам построить треугольник с такими же длинами сторон?

Пусть $BC\, =\ 4,\, \ AD=9,\, AC=12,\, \ BD=5.$

а) Проведем $CF\parallel BD$ ,

BCFD — параллелограмм, значит,

$DF=BC=4, \, CF=BD=5.$

Треугольник ACF со сторонами $AC=12,\, CF=5,\, AF=9+4=13$ прямоугольный (так как ${AF}^2={AC}^2+{CF}^2)$ . Значит, AC и BD перпендикулярны, что и требовалось доказать.

б) Bысота трапеции равна высоте треугольника ACF. Oбозначим эту высоту h.

$S_{ACF}=\frac{1}{2}AF \cdot h=\frac {1}{2}AC \cdot CF;$

$13h=12 \cdot 5$

$h=\frac {60}{13}.$

Задание 16 Профильного ЕГЭ по математике. Планиметрия

Задание 16 Профильного ЕГЭ по математике. Планиметрия. Задача 1

Это полезно