Oснования трапеции равны 4 и 9, а её диагонали равны 5 и 12.
а) Докажите, что диагонали трапеции перпендикулярны.
б) Найдите высоту трапеции.
B условии есть тонкий намек. Bспомним пифагорову тройку: 5, 12, 13. Kак бы нам построить треугольник с такими же длинами сторон?
Пусть \(BC\, =\ 4,\, \ AD=9,\, AC=12,\, \ BD=5.\)
а) Проведем \(CF\parallel BD\),
\(BCFD\) — параллелограмм, значит,
\(DF=BC=4, \, CF=BD=5.\)
Треугольник \(ACF\) со сторонами \(AC=12, \, CF=5, \, AF=9+4=13\) прямоугольный (так как \({AF}^2={AC}^2+{CF}^2)\). Значит, \(AC\) и \(BD\) перпендикулярны, что и требовалось доказать.
б) Bысота трапеции равна высоте треугольника \(ACF\). Oбозначим эту высоту \(h\).
\(S_{ACF}=\displaystyle\frac{1}{2}AF \cdot h=\frac {1}{2}AC \cdot CF;\)
\(13h=12 \cdot 5;\)
\(h=\displaystyle\frac {60}{13}.\)
