B остроугольном треугольнике \(KMN\) проведены высоты \(KB\) и \(NA\).
а) Докажите, что угол \(ABK\) равен углу \(ANK\).
б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника \(ABM\), если известно, что \(KN=8\sqrt{2\ }\) и \(\angle KMN=45^\circ\).
Решение:
а) Докажем, что \(\angle ABK=\ \angle ANK.\)
\(\vartriangle MBK\sim \vartriangle MAN\) (по двум углам). Запишем отношение сходственных сторон: \(\displaystyle \frac{MA}{MB}=\frac{MN}{MK}.\)
Но это значит, что \(\vartriangle ABM\sim \vartriangle NKM\) (по углу и двум сторонам), причем \(k=\displaystyle \frac{MA}{MN}=cos\angle KMN.\)
\(\angle MAB=\angle MNK, \, \, \angle BAK\) — смежный с углом \(\angle MAB,\)
\(\angle BAK=180^\circ -\angle MAB=180^\circ -\angle BNK,\)
\(\angle BAK+\angle BNK=180^\circ\), четырехугольник \(ABNK\) можно вписать в окружность.
\(\angle ABK=\angle ANK\) (опираются на одну дугу).
б) Найдем \(R_{\vartriangle ABM}\), если \(KN=8\sqrt{2}\) и \(\angle KMN=45^\circ;\)
\(\vartriangle ABM\ \sim \vartriangle NKM, \, k=cos\angle KMN=\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2};\)
\(\displaystyle \frac{AB}{KN}=k, \, \, AB=\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}\cdot KN=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot 8\sqrt{2}=8.\)
По теореме синусов, \(R_{\vartriangle ABM}=\displaystyle \frac{AB}{2sin\angle AMB}=\frac{8\cdot 2}{2\cdot \sqrt{2}}=4\sqrt{2}.\)
