previous arrow
next arrow
Slider

Задание 16 Профильного ЕГЭ по математике. Планиметрия. Задача 2

B остроугольном треугольнике KMN проведены высоты KB и NA.

а) Докажите, что угол ABK равен углу ANK.

б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABM, если известно, что KN=8\sqrt{2\ } и \angle KMN=45^\circ

а) Докажем, что \angle ABK=\ \angle ANK.

\vartriangle MBK\sim \vartriangle MAN\ (по двум углам). Запишем отношение сходственных сторон: \frac{MA}{MB}=\frac{MN}{MK}.

Но это значит, что \vartriangle ABM\sim \vartriangle NKM (по углу и двум сторонам), причем k=\frac{MA}{MN}=cos\angle KMN.\

\angle MAB=\angle MNK, \, \, \angle BAK — смежный с углом \angle MAB,

\angle BAK=180^\circ -\angle MAB=180^\circ -\angle BNK,

\angle BAK+\angle BNK=180^\circ, четырехугольник ABNK можно вписать в окружность.

\angle ABK=\angle ANK\ (опираются на одну дугу).

б) Найдем R_{\vartriangle ABM}, если KN=8\sqrt{2}\ и \angle KMN=45^\circ

\vartriangle ABM\ \sim \vartriangle NKM, \, k=cos\angle KMN=\frac{\sqrt{2}}{2};

\frac{AB}{KN}=k, \, \, AB=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot KN=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot 8\sqrt{2}=8.

По теореме синусов,

R_{\vartriangle ABM}=\frac{AB}{2sin\angle AMB}=\frac{8\cdot 2}{2\cdot \sqrt{2}}=4\sqrt{2}.

 

Задание 16 Профильного ЕГЭ по математике. Планиметрия