Задание 16 Профильного ЕГЭ по математике. Планиметрия. Задача 2

B остроугольном треугольнике KMN проведены высоты KB и NA.

а) Докажите, что угол ABK равен углу ANK.

б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABM, если известно, что $KN=8\sqrt{2\ }$ и $\angle KMN=45^\circ$

а) Докажем, что $\angle ABK=\ \angle ANK.$

$\vartriangle MBK\sim \vartriangle MAN\$ (по двум углам). Запишем отношение сходственных сторон: $\frac{MA}{MB}=\frac{MN}{MK}.$

Но это значит, что $\vartriangle ABM\sim \vartriangle NKM$ (по углу и двум сторонам), причем $k=\frac{MA}{MN}=cos\angle KMN.\$

$\angle MAB=\angle MNK, \, \, \angle BAK$ — смежный с углом $\angle MAB$ ,

$\angle BAK=180^\circ -\angle MAB=180^\circ -\angle BNK,$

$\angle BAK+\angle BNK=180^\circ$ , четырехугольник ABNK можно вписать в окружность.

$\angle ABK=\angle ANK\$ (опираются на одну дугу).

б) Найдем $R_{\vartriangle ABM}$ , если $KN=8\sqrt{2}\$ и $\angle KMN=45^\circ$

$\vartriangle ABM\ \sim \vartriangle NKM, \, k=cos\angle KMN=\frac{\sqrt{2}}{2};$

$\frac{AB}{KN}=k, \, \, AB=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot KN=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot 8\sqrt{2}=8.$

По теореме синусов,

$R_{\vartriangle ABM}=\frac{AB}{2sin\angle AMB}=\frac{8\cdot 2}{2\cdot \sqrt{2}}=4\sqrt{2}.$

Задание 16 Профильного ЕГЭ по математике. Планиметрия

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими материалами. Информация на странице «Задание 16 Профильного ЕГЭ по математике. Планиметрия. Задача 2» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из данного раздела.

Публикация обновлена: 06.09.2023

Задание 16 Профильного ЕГЭ по математике. Планиметрия. Задача 2

Это полезно