Задание 16 Профильного ЕГЭ по математике. Планиметрия. Задача 3

Две окружности касаются внешним образом в точке K. Прямая AB касается первой окружности в точке A, а второй — в точке B. Прямая BK пересекает первую окружность в точке D, прямая AK пересекает вторую окружность в точке C

а) Докажите, что прямые AD и BC параллельны.

б) Найдите площадь треугольника AKB, если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 1.

а) Другими словами, в пункте (а) надо доказать, что точка D лежит на прямой $AO_{1}$ , а точка C — на прямой $O_2B$ .

$AO_1O_2B$ — прямоугольная трапеция, поскольку $O_1A\bot AB;\, O_2B\bot AB$ (как радиусы, проведенные в точку касания), $O_1A\parallel O_2B$ .

Если $\angle AO_1K=\varphi$ , то $\angle KO_2B=180^\circ -\varphi$ (как односторонние углы),

$\angle O_1AK=\frac{180^\circ-\varphi }{2};$ тогда $\angle KAB=\frac{\varphi }{2};\, \angle O_2BK=\frac{\varphi }{2}$ и $\angle KBA=90^\circ -\frac{\varphi }{2}$ .

$\vartriangle AKB$ — прямоугольный, $\angle AKB=90^\circ$ .

Тогда $\angle AKD=90^\circ = \textgreater AD$ — диаметр первой окружности; $\angle BKC=90^\circ = \textgreater BC$ — диаметр второй окружности, так как вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой.

Значит, $AD\parallel BC.$

б) $O_1A=4;\, \, O_2B=1.$ Найдем $S_{\vartriangle AKB}$

AK — высота в $\vartriangle ABD$ , где $\angle A=90^\circ ;$

$\vartriangle AKB\sim \vartriangle DAB;\, k=\frac{AB}{BD}.$

Рассмотрев прямоугольную трапецию $AO_1O_2B$ , где $O_1A=4, \, O_2B=1, O_1O_2=4+1=5$ , найдем, что $AB= O_2N=4$ .

Из $\vartriangle ABD\$ по теореме Пифагора $BD=\sqrt{{AB}^2+{AD}^2}=4\sqrt{5}$ .

$k=\frac{AB}{BD}=\frac{4}{4\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}};$

$S_{\vartriangle AKB}=k^2\cdot S_{\vartriangle DAB}=\frac{1}{5}S_{\vartriangle DAB}=\frac{1}{5}\cdot \frac{1}{2}\cdot 4\cdot 8=\frac{16}{5}=3,2.$

Задание 16 Профильного ЕГЭ по математике. Планиметрия

Благодарим за то, что пользуйтесь нашими статьями. Информация на странице «Задание 16 Профильного ЕГЭ по математике. Планиметрия. Задача 3» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена: 05.09.2023

Задание 16 Профильного ЕГЭ по математике. Планиметрия. Задача 3

Это полезно