previous arrow
next arrow
Slider

Задание 16 Профильного ЕГЭ по математике. Планиметрия. Задача 3

Две окружности касаются внешним образом в точке K. Прямая AB касается первой окружности в точке A, а второй — в точке B. Прямая BK пересекает первую окружность в точке D, прямая AK пересекает вторую окружность в точке C

а) Докажите, что прямые AD и BC параллельны.

б) Найдите площадь треугольника AKB, если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 1.

а) Другими словами, в пункте (а) надо доказать, что точка D лежит на прямой AO_{1}, а точка C — на прямой O_2B.

AO_1O_2B — прямоугольная трапеция, поскольку O_1A\bot AB;\, O_2B\bot AB (как радиусы, проведенные в точку касания), O_1A\parallel O_2B.

Если \angle AO_1K=\varphi, то \angle KO_2B=180^\circ -\varphi (как односторонние углы),

\angle O_1AK=\frac{180^\circ-\varphi }{2}; тогда \angle KAB=\frac{\varphi }{2};\, \angle O_2BK=\frac{\varphi }{2} и \angle KBA=90^\circ -\frac{\varphi }{2}.

\vartriangle AKB — прямоугольный, \angle AKB=90^\circ .

Тогда \angle AKD=90^\circ = \textgreater AD — диаметр первой окружности; \angle BKC=90^\circ = \textgreater BC — диаметр второй окружности, так как вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой.

Значит, AD\parallel BC.

б) O_1A=4;\, \, O_2B=1. Найдем S_{\vartriangle AKB}

AK — высота в \vartriangle ABD, где \angle A=90^\circ ;

\vartriangle AKB\sim \vartriangle DAB;\, k=\frac{AB}{BD}.

Рассмотрев прямоугольную трапецию AO_1O_2B, где O_1A=4, \, O_2B=1, O_1O_2=4+1=5, найдем, что AB= O_2N=4.

Из \vartriangle ABD\ по теореме Пифагора BD=\sqrt{{AB}^2+{AD}^2}=4\sqrt{5}.

k=\frac{AB}{BD}=\frac{4}{4\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}};

S_{\vartriangle AKB}=k^2\cdot S_{\vartriangle DAB}=\frac{1}{5}S_{\vartriangle DAB}=\frac{1}{5}\cdot \frac{1}{2}\cdot 4\cdot 8=\frac{16}{5}=3,2.

 

Задание 16 Профильного ЕГЭ по математике. Планиметрия