Задание 16 Профильного ЕГЭ по математике. Планиметрия. Задача 3

Две окружности касаются внешним образом в точке K. Прямая AB касается первой окружности в точке A, а второй — в точке B. Прямая BK пересекает первую окружность в точке D, прямая AK пересекает вторую окружность в точке C

а) Докажите, что прямые AD и BC параллельны.

б) Найдите площадь треугольника AKB, если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 1.

а) Другими словами, в пункте (а) надо доказать, что точка D лежит на прямой $AO_{1}$ , а точка C — на прямой $O_2B$ .

$AO_1O_2B$ — прямоугольная трапеция, поскольку $O_1A\bot AB;\, O_2B\bot AB$ (как радиусы, проведенные в точку касания), $O_1A\parallel O_2B$ .

Если $\angle AO_1K=\varphi$ , то $\angle KO_2B=180^\circ -\varphi$ (как односторонние углы),

$\angle O_1AK=\frac{180^\circ-\varphi }{2};$ тогда $\angle KAB=\frac{\varphi }{2};\, \angle O_2BK=\frac{\varphi }{2}$ и $\angle KBA=90^\circ -\frac{\varphi }{2}$ .

$\vartriangle AKB$ — прямоугольный, $\angle AKB=90^\circ$ .

Тогда $\angle AKD=90^\circ = \textgreater AD$ — диаметр первой окружности; $\angle BKC=90^\circ = \textgreater BC$ — диаметр второй окружности, так как вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой.

Значит, $AD\parallel BC.$

б) $O_1A=4;\, \, O_2B=1.$ Найдем $S_{\vartriangle AKB}$

AK — высота в $\vartriangle ABD$ , где $\angle A=90^\circ ;$

$\vartriangle AKB\sim \vartriangle DAB;\, k=\frac{AB}{BD}.$

Рассмотрев прямоугольную трапецию $AO_1O_2B$ , где $O_1A=4, \, O_2B=1, O_1O_2=4+1=5$ , найдем, что $AB= O_2N=4$ .

Из $\vartriangle ABD\$ по теореме Пифагора $BD=\sqrt{{AB}^2+{AD}^2}=4\sqrt{5}$ .

$k=\frac{AB}{BD}=\frac{4}{4\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}};$

$S_{\vartriangle AKB}=k^2\cdot S_{\vartriangle DAB}=\frac{1}{5}S_{\vartriangle DAB}=\frac{1}{5}\cdot \frac{1}{2}\cdot 4\cdot 8=\frac{16}{5}=3,2.$

Задание 16 Профильного ЕГЭ по математике. Планиметрия

Интенсивная подготовка

Бесплатные пробные ЕГЭ

Расписание курсов

Звоните нам: 8 (800) 775-06-82 (бесплатный звонок по России)
+7 (495) 984-09-27 (бесплатный звонок по Москве)

Или нажмите на кнопку «Узнать больше», чтобы заполнить контактную форму. Мы обязательно Вам перезвоним.

Узнать больше

Премиум

Вся часть 2 на ЕГЭ по математике, от задачи 13 до задачи 19. То, о чем не рассказывают даже ваши репетиторы. Все приемы решения задач части 2. Оформление задач на экзамене. Десятки реальных задач ЕГЭ, от простых до самых сложных.

Видеокурс «Премиум» состоит из 7 курсов для освоения части 2 ЕГЭ по математике (задачи 13-19). Длительность каждого курса - от 3,5 до 4,5 часов.

Уравнения (задача 13)

Стереометрия (задача 14)

Неравенства (задача 15)

Геометрия (задача 16)

Финансовая математика (задача 17)

Параметры (задача 18)

Нестандартная задача на числа и их свойства (задача 19).

Здесь то, чего нет в учебниках. Чего вам не расскажут в школе. Приемы, методы и секреты решения задач части 2.

Каждая тема разобрана с нуля. Десятки специально подобранных задач, каждая из которых помогает понять «подводные камни» и хитрости решения. Автор видеокурса Премиум - репетитор-профессионал Анна Малкова.

Получи пятерку

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

Сразу после оплаты вы получите ссылки на скачивание видеокурсов и уникальные ключи к ним.

Как пользоваться?

Не надо сразу просматривать задачи (и решения) всех вариантов. Такое читерство вам только помешает. Берите по одному! Задачи решайте по однойи старайтесь довести до ответа.

Если почти ничего не получилось – начинать надо не с решения вариантов, а с изучения математики. Вам помогут книга для подготовки к ЕГЭи Годовой Онлайн-курс.

Если вы правильно решили из первого варианта Маттренингов 5-7 задач – значит, знаний не хватает. Смотри пункт 1: Книгаи Годовой Онлайн-курс!

Обязательно разберите правильные решения. Посмотрите видеоразбор – в нем тоже много полезного.

Можно решать самостоятельно или вместе с друзьями. Или всем классом. А потом смотреть видеоразбор варианта.

Стоимость комплекта «Математические тренинги – 2019» - всего 1100 рублей. За 5 вариантов с решениями и видеоразбором каждого.