Задание 16 Профильного ЕГЭ по математике. Планиметрия. Задача 3

Две окружности касаются внешним образом в точке K. Прямая AB касается первой окружности в точке A, а второй — в точке B. Прямая BK пересекает первую окружность в точке D, прямая AK пересекает вторую окружность в точке C

а) Докажите, что прямые AD и BC параллельны.

б) Найдите площадь треугольника AKB, если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 1.

а) Другими словами, в пункте (а) надо доказать, что точка D лежит на прямой $AO_{1}$ , а точка C — на прямой $O_2B$ .

$AO_1O_2B$ — прямоугольная трапеция, поскольку $O_1A\bot AB;\, O_2B\bot AB$ (как радиусы, проведенные в точку касания), $O_1A\parallel O_2B$ .

Если $\angle AO_1K=\varphi$ , то $\angle KO_2B=180^\circ -\varphi$ (как односторонние углы),

$\angle O_1AK=\frac{180^\circ-\varphi }{2};$ тогда $\angle KAB=\frac{\varphi }{2};\, \angle O_2BK=\frac{\varphi }{2}$ и $\angle KBA=90^\circ -\frac{\varphi }{2}$ .

$\vartriangle AKB$ — прямоугольный, $\angle AKB=90^\circ$ .

Тогда $\angle AKD=90^\circ = \textgreater AD$ — диаметр первой окружности; $\angle BKC=90^\circ = \textgreater BC$ — диаметр второй окружности, так как вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой.