Две окружности касаются внешним образом в точке \(K\). Прямая \(AB\) касается первой окружности в точке \(A\), а второй — в точке \(B\). Прямая \(BK\) пересекает первую окружность в точке \(D\), прямая \(AK\) пересекает вторую окружность в точке \(C\).
а) Докажите, что прямые \(AD\) и \(BC\) параллельны.
б) Найдите площадь треугольника \(AKB\), если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 1.
Решение:
а) Другими словами, в пункте (а) надо доказать, что точка \(D\) лежит на прямой \(AO_{1}\), а точка \(C\) — на прямой \(O_2B\).
\(AO_1O_2B\) — прямоугольная трапеция, поскольку \(O_1A\bot AB; \, O_2B\bot AB\) (как радиусы, проведенные в точку касания), \(O_1A\parallel O_2B\).
Если \(\angle AO_1K=\varphi\), то \(\angle KO_2B=180^\circ -\varphi\) (как односторонние углы),
\(\angle O_1AK=\displaystyle\frac{180^\circ-\varphi }{2};\) тогда \(\angle KAB=\displaystyle\frac{\varphi }{2}; \, \angle O_2BK=\displaystyle\frac{\varphi }{2}\) и \(\angle KBA=90^\circ -\displaystyle\frac{\varphi }{2}\).
\(\vartriangle AKB\) — прямоугольный, \(\angle AKB=90^\circ \).
Тогда \(\angle AKD=90^\circ \Rightarrow AD\) — диаметр первой окружности; \(\angle BKC=90^\circ \Rightarrow BC\) — диаметр второй окружности, так как вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой.
Значит, \(AD\parallel BC.\)
б) \(O_1A=4;\, \, O_2B=1.\) Найдем \(S_{\vartriangle AKB}.\)
\(AK\) — высота в \(\vartriangle ABD\), где \(\angle A=90^\circ ;\)
\(\vartriangle AKB\sim \vartriangle DAB; \, k=\displaystyle \frac{AB}{BD}.\)
Рассмотрев прямоугольную трапецию \(AO_1O_2B\), где \(O_1A=4, \, O_2B=1, \, O_1O_2=4+1=5\), найдем, что \(AB= O_2N=4\).
Из \(\vartriangle ABD\) по теореме Пифагора \(BD=\sqrt{{AB}^2+{AD}^2}=4\sqrt{5}\).
\(k=\displaystyle \frac{AB}{BD}=\frac{4}{4\sqrt{5}}=\frac{1}{\sqrt{5}};\)
\(S_{\vartriangle AKB}=k^2\cdot S_{\vartriangle DAB}=\displaystyle \frac{1}{5}S_{\vartriangle DAB}=\frac{1}{5}\cdot \frac{1}{2}\cdot 4\cdot 8=\displaystyle \frac{16}{5}=3,2.\)
