Две окружности касаются внешним образом в точке K. Прямая AB касается первой окружности в точке A, а второй — в точке B. Прямая BK пересекает первую окружность в точке D, прямая AK пересекает вторую окружность в точке C
а) Докажите, что прямые AD и BC параллельны.
б) Найдите площадь треугольника AKB, если известно, что радиусы окружностей равны 4 и 1.
а) Другими словами, в пункте (а) надо доказать, что точка D лежит на прямой , а точка C — на прямой
.
— прямоугольная трапеция, поскольку
(как радиусы, проведенные в точку касания),
.
Если , то
(как односторонние углы),
тогда
и
.
— прямоугольный,
.
Тогда — диаметр первой окружности;
— диаметр второй окружности, так как вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой.
Значит,
б) Найдем
AK — высота в , где
Рассмотрев прямоугольную трапецию , где
, найдем, что
.
Из по теореме Пифагора
.