Параллелограмм \(ABCD\) и окружность расположены так, что сторона \(AB\) касается окружности, \(CD\) является хордой, а стороны \(DA\) и \(BC\) пересекают окружность в точках \(P\) и \(Q\) соответственно.
а) Докажите, что около четырехугольника \(ABQP\) можно описать окружность.
б) Найдите длину отрезка \(DQ\), если известно, что \(AP = a, \; BC = b, \; BQ = c.\)
Решение:
Докажем, что вокруг \(ABQP\) можно описать окружность.
\(\angle A=\angle C\) (как противоположные углы параллелограмма), \(\angle DPQ=180^\circ -\angle C\) (поскольку \(DPQC\) вписан в окружность), тогда \(\angle APQ=180^\circ -\angle DPQ=\angle C=\angle A;\)
\(ABQP\) — равнобокая трапеция, \(\angle PAB+\angle BQP=180^\circ, \, ABQP\) — можно вписать в окружность.
б) \(AP=a, \; BC=b, \; BQ=c;\) найдем \(DQ\).
Пусть \(M\) — точка касания \(AB\) с окружностью. По теореме о секущей и касательной
\({AM}^2=AP\cdot AD=ab;\)
\({BM}^2=BQ\cdot BC=bc;\)
\(AB=AM+BM=\sqrt{ab}+\sqrt{bc}.\)
Проведем \(QH\) — высоту трапеции,
Bыразим \(QH\) из прямоугольных треугольников \(HQD\) и \(HQP\). Дальше — просто алгебра!
\({QH}^2={DQ}^2-{DH}^2;\)
\({QH}^2={QP}^2-{HP}^2;\)
\(HP=\displaystyle \frac{DP-QC}{2}=\frac{b-a-b+c}{2}=\frac{c-a}{2},\)
\(DH=CQ+HP=b-c+\displaystyle \frac{c-a}{2}=b-\frac{c+a}{2},\)
\({DQ}^2={QP}^2-{HP}^2+{DH}^2.\)
Поскольку \(QP=AB,\)
\(DQ^2=AB^2-HP^2+DH^2=\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}\right)^2-\left(\displaystyle \frac{c-a}{2}\right)^2+\left(b\displaystyle -\frac{c+a}{2}\right)^2=\)
\(=ab+bc+2b\sqrt{ac}+b^2-b\left(a+c\right)+{\left(\displaystyle \frac{c+a}{2}\right)}^2-{\left(\displaystyle \frac{c-a}{2}\right)}^2=\)
\(2b\sqrt{ac}+b^{2}+\displaystyle \frac{1}{4}\cdot 2c\cdot 2a=b^{2}+2b\sqrt{ac}+ac=\left(b+\sqrt{ac}^{2}\right);\)
\( DQ=\ b+\sqrt{ac}.\)
