Параллелограмм ABCD и окружность расположены так, что сторона AB касается окружности, CD является хордой, а стороны DA и BC пересекают окружность в точках P и Q соответственно.
а) Докажите, что около четырехугольника ABQP можно описать окружность.
б) Найдите длину отрезка DQ, если известно, что AP = a, BC = b, BQ = c.
Докажем, что вокруг ABQP можно описать окружность.
(как противоположные углы параллелограмма),
(поскольку DPQC вписан в окружность),
тогда
ABQР — равнобокая трапеция, — можно вписать в окружность.
б) AР=а, BC=b, BQ=c; найдем DQ.
Пусть M — точка касания AB с окружностью. По теореме о секущей и касательной
Проведем QH — высоту трапеции,
Bыразим QH из прямоугольных треугольников HQD и HQP. Дальше — просто алгебра!
Поскольку QP=AB,