previous arrow
next arrow
Slider
Центр подготовки к ЕГЭ > Задание 16 Профильного ЕГЭ по математике. Планиметрия. Задача 4

Задание 16 Профильного ЕГЭ по математике. Планиметрия. Задача 4

Параллелограмм ABCD и окружность расположены так, что сторона AB касается окружности, CD является хордой, а стороны DA и BC пересекают окружность в точках P и Q соответственно.

а) Докажите, что около четырехугольника ABQP можно описать окружность.

б) Найдите длину отрезка DQ, если известно, что AP = a, BC = b, BQ = c.

Докажем, что вокруг ABQP можно описать окружность.

\angle A=\angle C (как противоположные углы параллелограмма), \angle DPQ=180^\circ -\angle C (поскольку DPQC вписан в окружность),

тогда \angle APQ=180^\circ -\angle DPQ=\angle C=\angle A;

ABQР — равнобокая трапеция, \angle PAB+\angle BQP=180^\circ, \, ABQP — можно вписать в окружность.

б) AР=а, BC=b, BQ=c; найдем DQ.

Пусть M — точка касания AB с окружностью. По теореме о секущей и касательной

{AM}^2=AP\cdot AD=ab;

{BM}^2=BQ\cdot BC=bc;

AB=AM+BM=\sqrt{ab}+\sqrt{bc}.

Проведем QH — высоту трапеции,

Bыразим QH из прямоугольных треугольников HQD и HQP. Дальше — просто алгебра!

{QH}^2={DQ}^2-{DH}^2;

{QH}^2={QP}^2-{HP}^2;

HP=\frac{DP-QC}{2}=\frac{b-a-b+c}{2}=\frac{c-a}{2},

DH=CQ+HP=b-c+\frac{c-a}{2}=b-\frac{c+a}{2},

{DQ}^2={QP}^2-{HP}^2+{DH}^2.

Поскольку QP=AB,

\newline {DQ}^2={AB}^2-{HP}^2+{DH}^2=\newline \,\newline {=\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}\right)}^2-{\left(\frac{c-a}{2}\right)}^2+(b-{\frac{c+a}{2})}^2=\newline \,\newline =ab+bc+2b\sqrt{ac}+b^2-b\left(a+c\right)+{\left(\frac{c+a}{2}\right)}^2-{\left(\frac{c-a}{2}\right)}^2=\newline =2b\sqrt{ac}+b^2+\frac{1}{4}\cdot 2c\cdot 2a= b^2+2b\sqrt{ac}+ac={(b+\sqrt{ac)}}^2;\newline \,\newline DQ=\ b+\sqrt{ac}.

 

Задание 16 Профильного ЕГЭ по математике. Планиметрия

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими публикациями. Информация на странице «Задание 16 Профильного ЕГЭ по математике. Планиметрия. Задача 4» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к ЕГЭ и ОГЭ. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.

Публикация обновлена: 07.09.2023