Задание 16 Профильного ЕГЭ по математике. Планиметрия. Задача 4

Параллелограмм ABCD и окружность расположены так, что сторона AB касается окружности, CD является хордой, а стороны DA и BC пересекают окружность в точках P и Q соответственно.

а) Докажите, что около четырехугольника ABQP можно описать окружность.

б) Найдите длину отрезка DQ, если известно, что AP = a, BC = b, BQ = c.

Докажем, что вокруг ABQP можно описать окружность.

$\angle A=\angle C$ (как противоположные углы параллелограмма), $\angle DPQ=180^\circ -\angle C$ (поскольку DPQC вписан в окружность),

тогда $\angle APQ=180^\circ -\angle DPQ=\angle C=\angle A;$

ABQР — равнобокая трапеция, $\angle PAB+\angle BQP=180^\circ, \, ABQP$ — можно вписать в окружность.

б) AР=а, BC=b, BQ=c; найдем DQ.

Пусть M — точка касания AB с окружностью. По теореме о секущей и касательной

${AM}^2=AP\cdot AD=ab;$

${BM}^2=BQ\cdot BC=bc;$

$AB=AM+BM=\sqrt{ab}+\sqrt{bc}.$

Проведем QH — высоту трапеции,

Bыразим QH из прямоугольных треугольников HQD и HQP. Дальше — просто алгебра!

${QH}^2={DQ}^2-{DH}^2;$

${QH}^2={QP}^2-{HP}^2;$

$HP=\frac{DP-QC}{2}=\frac{b-a-b+c}{2}=\frac{c-a}{2},$

$DH=CQ+HP=b-c+\frac{c-a}{2}=b-\frac{c+a}{2},$

${DQ}^2={QP}^2-{HP}^2+{DH}^2.$

Поскольку QP=AB,

$\newline {DQ}^2={AB}^2-{HP}^2+{DH}^2=\newline \,\newline {=\left(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}\right)}^2-{\left(\frac{c-a}{2}\right)}^2+(b-{\frac{c+a}{2})}^2=\newline \,\newline =ab+bc+2b\sqrt{ac}+b^2-b\left(a+c\right)+{\left(\frac{c+a}{2}\right)}^2-{\left(\frac{c-a}{2}\right)}^2=\newline =2b\sqrt{ac}+b^2+\frac{1}{4}\cdot 2c\cdot 2a= b^2+2b\sqrt{ac}+ac={(b+\sqrt{ac)}}^2;\newline \,\newline DQ=\ b+\sqrt{ac}.$

Задание 16 Профильного ЕГЭ по математике. Планиметрия

Задание 16 Профильного ЕГЭ по математике. Планиметрия. Задача 4

Это полезно