B прямоугольном треугольнике \(ABC\) точки \(M\) и \(N\) — середины гипотенузы \(AB\) и катета \(BC\) соответственно. Биссектриса угла \(BAC\) пересекает прямую \(MN\) в точке \(L.\)
а) Докажите, что треугольники \(AML\) и \(BLC\) подобны.
б) Найдите отношение площадей этих треугольников, если \(cos\angle BAC=\displaystyle \frac{7}{25}.\)
Решение:
а) \(AL\) — биссектриса \(\angle BAC, \; MN\parallel AC\) (так как \(MN\) — средняя линия треугольника \(ABC\)),
\(MN \cap AL=L.\) Докажем, что \(\vartriangle AML\) и \(\vartriangle BLC\) подобны.
Пусть \(\angle BAC=\alpha\), тогда \(\angle LMB=\alpha\), поскольку соответственные углы равны,
\(\angle AML=180^\circ-\alpha, \; \angle MAL=\displaystyle \frac{\alpha }{2},\, \, \angle MLA=\displaystyle \frac{\alpha }{2}.\)
Значит, \(\vartriangle AML\) — равнобедренный, \(AM=ML\).
Так как \(LN\) — медиана и высота в треугольнике \(CLB, \; \vartriangle CLB\) - равнобедренный.
\(MA=MB=MC=ML\)
Значит, \(A, \; C, \; L, \; B\) — лежат на окружности с центром \(M\);
\(ACLB\) — вписан в окружность,
\( \angle CLB=180^\circ - \angle CAB=180-\alpha\),
\(\vartriangle CLB\sim \vartriangle AML\) по 2 углам.
б) Найдем \(\displaystyle \frac{S_{\vartriangle AML}}{S_{\vartriangle CLB}}\), если \(cos\angle BAC=\displaystyle \frac{7}{25}.\)
\(\displaystyle \frac{S_{\vartriangle AML}}{S_{\vartriangle CLB}}=k^2; \, k=\displaystyle \frac{AM}{CL}=\frac{CM}{CL}\);
\(\angle CLN=90^\circ -\displaystyle \frac{\alpha }{2},\, \, \angle CML=\alpha\) (как накрест лежащий с углом \(ACM\)),
Из \(\vartriangle CML\) по теореме синусов \(\displaystyle \frac{CL}{sin\angle CML}=\frac{CM}{sin\angle CLM};\)
\(k=\displaystyle \frac{CM}{CL}=\frac{sin\angle CLM}{sin\angle CML}=\frac{sin\left(90^\circ -\frac{\alpha }{2}\right)}{sin\alpha }=\frac{cos\frac{\alpha }{2}}{sin\alpha }=\frac{cos\frac{\alpha }{2}}{2sin\frac{\alpha }{2}cos\frac{\alpha }{2}}=\frac{1}{2sin\frac{\alpha }{2}};\)
\(cos\alpha =cos\angle BAC=\displaystyle \frac{7}{25};\)
\(cos\alpha =1-2{sin}^2\displaystyle \frac{\alpha }{2};\ {sin}^2\displaystyle\frac{\alpha }{2}=\frac{1-cos\alpha }{2}=\frac{1-\frac{7}{25}}{2}=\frac{9}{25};\)
\(sin\displaystyle \frac{\alpha }{2}=\frac{3}{5};\)
\(k=\displaystyle\frac{1\cdot 5}{2\cdot 3}=\frac{5}{6};\ \frac{S_{\vartriangle AML}}{S_{\vartriangle CLB}}={\left(\frac{5}{6}\right)}^2=\frac{25}{36}.\)
