Задание 16 Профильного ЕГЭ по математике. Планиметрия. Задача 5

B прямоугольном треугольнике ABC точки M и N — середины гипотенузы AB и катета BC соответственно. Биссектриса угла BAC пересекает прямую MN в точке L.

а) Докажите, что треугольники AML и BLC подобны.

б) Найдите отношение площадей этих треугольников, если $cos\angle BAC=\frac{7}{25}$

а) AL — биссектриса $\angle BAC$ , $MN\parallel AC$ (так как MN — средняя линия треугольника ABC),

$MN \cap AL=L.$ Докажем, что $\vartriangle AML\$ и $\vartriangle BLC\$ подобны.

Пусть $\angle BAC=\alpha$ , тогда $\angle LMB=\alpha$ , поскольку соответственные углы равны,

$\angle AML=180^\circ-\alpha$ , $\angle MAL=\frac{\alpha }{2},\, \, \angle MLA=\frac{\alpha }{2}.$

Значит, $\vartriangle AML$ — равнобедренный, $AM=ML$ .

Так как LN — медиана и высота в треугольнике CLB, $\vartriangle CLB\$ - равнобедренный.

$MA=MB=MC=ML$

Значит, A, C, L, B — лежат на окружности с центром M;

ACLB — вписан в окружность,

$\angle CLB=180^\circ - \angle CAB=180-\alpha$ ,

$\vartriangle CLB\sim \vartriangle AML$ по 2 углам.

б) Найдем $\frac{S_{\vartriangle AML}}{S_{\vartriangle CLB}}$ , если $cos\angle BAC=\frac{7}{25}.$

$\frac{S_{\vartriangle AML}}{S_{\vartriangle CLB}}=k^2;\, k=\frac{AM}{CL}=\frac{CM}{CL}$ ;

$\angle CLN=90^\circ -\frac{\alpha }{2},\, \, \angle CML=\alpha$ (как накрест лежащий с углом ACM),

Из $\vartriangle CML$ по теореме синусов

$\frac{CL}{sin\angle CML}=\frac{CM}{sin\angle CLM};$

$k=\frac{CM}{CL}=\frac{sin\angle CLM}{sin\angle CML}=\frac{sim\left(90^\circ -\frac{\alpha }{2}\right)}{sin\alpha }=\frac{cos\frac{\alpha }{2}}{sin\alpha }=\frac{cos\frac{\alpha }{2}}{2sin\frac{\alpha }{2}cos\frac{\alpha }{2}}=\frac{1}{2sin\frac{\alpha }{2}};$