previous arrow
next arrow
Slider

Задание 16 Профильного ЕГЭ по математике. Планиметрия. Задача 5

B прямоугольном треугольнике ABC точки M и N — середины гипотенузы AB и катета BC соответственно. Биссектриса угла BAC пересекает прямую MN в точке L.

а) Докажите, что треугольники AML и BLC подобны.

б) Найдите отношение площадей этих треугольников, если cos\angle BAC=\frac{7}{25}

а) AL — биссектриса \angle BAC, MN\parallel AC (так как MN — средняя линия треугольника ABC),

MN \cap AL=L. Докажем, что \vartriangle AML\ и \vartriangle BLC\ подобны.

Пусть \angle BAC=\alpha, тогда \angle LMB=\alpha, поскольку соответственные углы равны,

\angle AML=180^\circ-\alpha, \angle MAL=\frac{\alpha }{2},\, \, \angle MLA=\frac{\alpha }{2}.

Значит, \vartriangle AML — равнобедренный, AM=ML.

Так как LN — медиана и высота в треугольнике CLB, \vartriangle CLB\ - равнобедренный.

MA=MB=MC=ML

Значит, A, C, L, B — лежат на окружности с центром M;

ACLB — вписан в окружность,

\angle CLB=180^\circ - \angle CAB=180-\alpha,

\vartriangle CLB\sim \vartriangle AML по 2 углам.

б) Найдем \frac{S_{\vartriangle AML}}{S_{\vartriangle CLB}}, если cos\angle BAC=\frac{7}{25}.

\frac{S_{\vartriangle AML}}{S_{\vartriangle CLB}}=k^2;\, k=\frac{AM}{CL}=\frac{CM}{CL};

\angle CLN=90^\circ -\frac{\alpha }{2},\, \, \angle CML=\alpha (как накрест лежащий с углом ACM),

Из \vartriangle CML по теореме синусов

\frac{CL}{sin\angle CML}=\frac{CM}{sin\angle CLM};

k=\frac{CM}{CL}=\frac{sin\angle CLM}{sin\angle CML}=\frac{sim\left(90^\circ -\frac{\alpha }{2}\right)}{sin\alpha }=\frac{cos\frac{\alpha }{2}}{sin\alpha }=\frac{cos\frac{\alpha }{2}}{2sin\frac{\alpha }{2}cos\frac{\alpha }{2}}=\frac{1}{2sin\frac{\alpha }{2}};

cos\alpha =cos\angle BAC=\frac{7}{25};

cos\alpha =1-2{sin}^2\frac{\alpha }{2};\ {sin}^2\frac{\alpha }{2}=\frac{1-cos\alpha }{2}=\frac{1-\frac{7}{25}}{2}=\frac{9}{25};

sin\frac{\alpha }{2}=\frac{3}{5};

k=\frac{1\cdot 5}{2\cdot 3}=\frac{5}{6};\ \frac{S_{\vartriangle AML}}{S_{\vartriangle CLB}}={(\frac{5}{6})}^2=\frac{25}{36}.

 

Задание 16 Профильного ЕГЭ по математике. Планиметрия