Задание 16 Профильного ЕГЭ по математике. Планиметрия. Задача 5

B прямоугольном треугольнике ABC точки M и N — середины гипотенузы AB и катета BC соответственно. Биссектриса угла BAC пересекает прямую MN в точке L.

а) Докажите, что треугольники AML и BLC подобны.

б) Найдите отношение площадей этих треугольников, если $cos\angle BAC=\frac{7}{25}$

а) AL — биссектриса $\angle BAC$ , $MN\parallel AC$ (так как MN — средняя линия треугольника ABC),

$MN \cap AL=L.$ Докажем, что $\vartriangle AML\$ и $\vartriangle BLC\$ подобны.

Пусть $\angle BAC=\alpha$ , тогда $\angle LMB=\alpha$ , поскольку соответственные углы равны,

$\angle AML=180^\circ-\alpha$ , $\angle MAL=\frac{\alpha }{2},\, \, \angle MLA=\frac{\alpha }{2}.$

Значит, $\vartriangle AML$ — равнобедренный, $AM=ML$ .

Так как LN — медиана и высота в треугольнике CLB, $\vartriangle CLB\$ - равнобедренный.

$MA=MB=MC=ML$

Значит, A, C, L, B — лежат на окружности с центром M;

ACLB — вписан в окружность,

$\angle CLB=180^\circ - \angle CAB=180-\alpha$ ,

$\vartriangle CLB\sim \vartriangle AML$ по 2 углам.

б) Найдем $\frac{S_{\vartriangle AML}}{S_{\vartriangle CLB}}$ , если $cos\angle BAC=\frac{7}{25}.$

$\frac{S_{\vartriangle AML}}{S_{\vartriangle CLB}}=k^2;\, k=\frac{AM}{CL}=\frac{CM}{CL}$ ;

$\angle CLN=90^\circ -\frac{\alpha }{2},\, \, \angle CML=\alpha$ (как накрест лежащий с углом ACM),

Из $\vartriangle CML$ по теореме синусов

$\frac{CL}{sin\angle CML}=\frac{CM}{sin\angle CLM};$

$k=\frac{CM}{CL}=\frac{sin\angle CLM}{sin\angle CML}=\frac{sim\left(90^\circ -\frac{\alpha }{2}\right)}{sin\alpha }=\frac{cos\frac{\alpha }{2}}{sin\alpha }=\frac{cos\frac{\alpha }{2}}{2sin\frac{\alpha }{2}cos\frac{\alpha }{2}}=\frac{1}{2sin\frac{\alpha }{2}};$

$cos\alpha =cos\angle BAC=\frac{7}{25};$

$cos\alpha =1-2{sin}^2\frac{\alpha }{2};\ {sin}^2\frac{\alpha }{2}=\frac{1-cos\alpha }{2}=\frac{1-\frac{7}{25}}{2}=\frac{9}{25};$

$sin\frac{\alpha }{2}=\frac{3}{5};$

$k=\frac{1\cdot 5}{2\cdot 3}=\frac{5}{6};\ \frac{S_{\vartriangle AML}}{S_{\vartriangle CLB}}={(\frac{5}{6})}^2=\frac{25}{36}.$

Задание 16 Профильного ЕГЭ по математике. Планиметрия

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими статьями. Информация на странице «Задание 16 Профильного ЕГЭ по математике. Планиметрия. Задача 5» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в высшее учебное заведение или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими статьями из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена: 05.09.2023

Задание 16 Профильного ЕГЭ по математике. Планиметрия. Задача 5

Это полезно