B прямоугольном треугольнике ABC точки M и N — середины гипотенузы AB и катета BC соответственно. Биссектриса угла BAC пересекает прямую MN в точке L.
а) Докажите, что треугольники AML и BLC подобны.
б) Найдите отношение площадей этих треугольников, если
а) AL — биссектриса ,
(так как MN — средняя линия треугольника ABC),
Докажем, что
и
подобны.
Пусть , тогда
, поскольку соответственные углы равны,
,
Значит, — равнобедренный,
.
Так как LN — медиана и высота в треугольнике CLB, - равнобедренный.
Значит, A, C, L, B — лежат на окружности с центром M;
ACLB — вписан в окружность,
,
по 2 углам.
б) Найдем , если
;
(как накрест лежащий с углом ACM),
Из по теореме синусов