При выполнении задания 8 ОГЭ по математике необходимо: знать свойства степеней и корней, уметь сравнивать рациональные и иррациональные числа, применять формулы сокращённого умножения.
Пример 1. Найдите значение выражения \(\sqrt{3\cdot 7^2}\cdot \sqrt{3\cdot 2^4}\). В ответе укажите номер правильного варианта.
1) 84 2) 2352 3) \(28\sqrt{3}\) 4) 252
Решение. Произведение корней равно корню из произведения, т. е. \(\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}=\sqrt{a\cdot b}\) . Тогда
\(\sqrt{3\cdot 7^2}\cdot \sqrt{3\cdot 2^4}=\sqrt{3\cdot 7^2\cdot 3\cdot 2^4}=\sqrt{3^2\cdot 7^2\cdot 4^2}=3\cdot 7\cdot 4=84\ .\)
Ответ: 1.
Пример 2. Найдите значение выражения \({(\sqrt{40}+4)}^2\). В ответе укажите номер правильного варианта.
1) \(56+4\sqrt{40}\) 2) \(24\) 3) \(56+8\sqrt{40}\) 4) \(24+8\sqrt{40}\)
Ответ: 3.
Пример 3. На рулоне обоев имеется надпись, гарантирующая, что длина полотна обоев находится в пределах 10 ± 0,05 м. Какую длину не может иметь полотно при этом условии?
В ответе укажите номер правильного варианта.
1) 10,03 2) 10,05 3) 9,96 4) 10,08
Решение. Длина рулона находится в интервале от 10 - 0,05 = 9,95 м до 10 + 0,05 = 10,05 м. Таким образом, только число 10,08 не попадает в этот диапазон.
Ответ: 4.
Пример 4. Сравните числа \(\sqrt{52}+\sqrt{46}\) и 14. В ответе укажите номер правильного варианта.
1) \(\sqrt{52}+\sqrt{46} \textless 14\) 2) \(\sqrt{52}+\sqrt{46}=14\) 3) \(\sqrt{52}+\sqrt{46} \textgreater 14\)
Решение. Очевидно, что равенство между заданными числами невозможно. Предположим, что справедливо неравенство \(\sqrt{52}+\sqrt{46} \textgreater 14\ .\) Возведём обе части неравенства в квадрат и проведём соответствующие преобразования:
\({(\sqrt{52}+\sqrt{46})}^2 \textgreater {14}^2 = \textgreater {\sqrt{52}}^2+2\cdot \sqrt{52}\cdot \sqrt{46}+{\sqrt{46}}^2 \textgreater 196 = \textgreater \ 52+2\cdot \sqrt{52\cdot 46}+46 \textgreater 196\)
\(= \textgreater \ 2\cdot \sqrt{2392} \textgreater 98 = \textgreater \ \sqrt{2392} \textgreater 49 = \textgreater \ {\sqrt{2392}}^2 \textgreater {49}^2 = \textgreater \ 2392 \textgreater 2401.\)
Полученное неравенство неверно, а это значит, что предположение неверно. Тогда верно неравенство \(\sqrt{52}+\sqrt{46} \textless 14\).
Ответ: 1.
Пример 5. Укажите наименьшее из чисел. В ответе укажите номер правильного варианта.
1) \(\sqrt{35}\) 2) \(2\sqrt{7}\) 3) \(6\) 4) \(\sqrt{6}+\sqrt{7}\)
Решение. Сравним сначала первые три числа, представив их в виде корней:
1) \(\sqrt{35}\) 2) \(2\sqrt{7}=\sqrt{4}\cdot \sqrt{7}=\sqrt{28}\) 3) \(6=\sqrt{36}\)
Из этих чисел наименьшим является \(\sqrt{28}=2\sqrt{7}\). Осталось сравнить его с четвёртым значением.
\(2\sqrt{7}=\sqrt{7}+\sqrt{7} \textgreater \sqrt{6}+\sqrt{7} .\)
Результат очевиден. Наименьшим оказалось число под номером 4.
Ответ: 4.
Пример 6. Представьте выражение \(\frac{m^{-9}\cdot m^3}{m^{-2}}\) в виде степени с основанием m. В ответе укажите номер правильного варианта.
1) \(m^{-3}\) 2) \(m^{-4}\) 3) \(m^{-8}\) 4) \(m^{-5}\)
Решение. Используем свойства степеней:
\(\frac{m^{-9}\cdot m^3}{m^{-2}}=\frac{m^{-9+3}}{m^{-2}}=\frac{m^{-6}}{m^{-2}}=m^{-6-(-2)}=m^{-6+2}=m^{-4} .\)
Ответ: 2.
Пример 7. Вычислите \(\frac{7^6\cdot {(7^{-9})}^2}{7^{-10}}\). В ответе укажите номер правильного варианта.
1) \(49\) 2) \(-49\) 3) \(\frac{1}{49}\) 4) \(-\frac{1}{49}\)
Решение. Используем свойства степеней:
\(\frac{7^6\cdot {(7^{-9})}^2}{7^{-10}}=\frac{7^6\cdot 7^{-9\cdot 2}}{7^{-10}}=\frac{7^6\cdot 7^{-18}}{7^{-10}}=\frac{7^{6+(-18)}}{7^{-10}}=\frac{7^{-12}}{7^{-10}}=7^{-12-(-10)}=7^{-12+10}=7^{-2}=\frac{1}{7^2}=\frac{1}{49} .\)
Ответ: 3.
Пример 8. Какое из чисел \(\sqrt{0,25}\ ,\ \sqrt{2,5}\ ,\ \sqrt{2500}\) является иррациональным? В ответе укажите номер правильного варианта.
1) \(\sqrt{0,25}\ \) 2) \(\sqrt{2,5}\ \) 3) \(\sqrt{2500}\) 4) все числа иррациональны
Решение. Если в результате вычислений или преобразований всё равно остаётся корень, то число является иррациональным:
1) \(\sqrt{0,25}=\sqrt{\frac{25}{100}}=\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{100}}=\frac{5}{10}=0,5\) (рациональное число)
2) \(\sqrt{2,5}=\sqrt{2\frac{5}{10}}=\sqrt{\frac{25}{10}}=\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{10}}=\frac{5}{\sqrt{10}}\) (иррациональное число)
3) \(\sqrt{2500}=50\) (рациональное число)
Ответ: 2.
Пример 9. Какое из числовых выражений является рациональным? В ответе укажите номер правильного варианта.
1) \(\sqrt{13}\cdot \sqrt{20}\ \) 2) \(\sqrt{18}-2\sqrt{2}\ \) 3) \(\frac{\sqrt{24}}{\sqrt{8}}\) 4) \((\sqrt{16}-\sqrt{5})\cdot (\sqrt{16}+\sqrt{5})\)
Решение. Если в результате вычислений корень «исчезнет», то число является рациональным:
1) \(\sqrt{13}\cdot \sqrt{20}=\sqrt{13}\cdot \sqrt{4\cdot 5}=\sqrt{13}\cdot \sqrt{4}\cdot \sqrt{5}=2\sqrt{13\cdot 5}=2\sqrt{65}\) (иррациональное число)
2) \(\sqrt{18}-2\sqrt{2}=\sqrt{9\cdot 2}-2\sqrt{2}=3\sqrt{2}-2\sqrt{2}=\sqrt{2}\) (иррациональное число)
3) \(\frac{\sqrt{24}}{\sqrt{8}}=\sqrt{\frac{24}{8}}=\sqrt{3}\) (иррациональное число)
4) \(\left(\sqrt{16}-\sqrt{5}\right)\cdot \left(\sqrt{16}+\sqrt{5}\right)={\sqrt{16}}^2-{\sqrt{5}}^2=16-5=11\) (рациональное число)
Ответ: 4.
