Задание 8 ОГЭ по математике. Числа, вычисления и алгебраические выражения.

При выполнении задания 8 ОГЭ по математике необходимо: знать свойства степеней и корней, уметь сравнивать рациональные и иррациональные числа, применять формулы сокращённого умножения.

Пример 1. Найдите значение выражения $\sqrt{3\cdot 7^2}\cdot \sqrt{3\cdot 2^4}$ . В ответе укажите номер правильного варианта.

1) 84 2) 2352 3) $28\sqrt{3}$ 4) 252

Решение. Произведение корней равно корню из произведения, т. е. $\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}=\sqrt{a\cdot b}$ . Тогда

$\sqrt{3\cdot 7^2}\cdot \sqrt{3\cdot 2^4}=\sqrt{3\cdot 7^2\cdot 3\cdot 2^4}=\sqrt{3^2\cdot 7^2\cdot 4^2}=3\cdot 7\cdot 4=84\ .$

Ответ: 1.

Пример 2. Найдите значение выражения ${(\sqrt{40}+4)}^2$ . В ответе укажите номер правильного варианта.

1) $56+4\sqrt{40}$ 2) $24$ 3) $56+8\sqrt{40}$ 4) $24+8\sqrt{40}$

Ответ: 3.

Пример 3. На рулоне обоев имеется надпись, гарантирующая, что длина полотна обоев находится в пределах 10 ± 0,05 м. Какую длину не может иметь полотно при этом условии?

В ответе укажите номер правильного варианта.

1) 10,03 2) 10,05 3) 9,96 4) 10,08

Решение. Длина рулона находится в интервале от 10 - 0,05 = 9,95 м до 10 + 0,05 = 10,05 м. Таким образом, только число 10,08 не попадает в этот диапазон.

Ответ: 4.

Пример 4. Сравните числа $\sqrt{52}+\sqrt{46}$ и 14. В ответе укажите номер правильного варианта.

1) $\sqrt{52}+\sqrt{46} \textless 14$ 2) $\sqrt{52}+\sqrt{46}=14$ 3) $\sqrt{52}+\sqrt{46} \textgreater 14$

Решение. Очевидно, что равенство между заданными числами невозможно. Предположим, что справедливо неравенство $\sqrt{52}+\sqrt{46} \textgreater 14\ .$ Возведём обе части неравенства в квадрат и проведём соответствующие преобразования:

${(\sqrt{52}+\sqrt{46})}^2 \textgreater {14}^2 = \textgreater {\sqrt{52}}^2+2\cdot \sqrt{52}\cdot \sqrt{46}+{\sqrt{46}}^2 \textgreater 196 = \textgreater \ 52+2\cdot \sqrt{52\cdot 46}+46 \textgreater 196$
$= \textgreater \ 2\cdot \sqrt{2392} \textgreater 98 = \textgreater \ \sqrt{2392} \textgreater 49 = \textgreater \ {\sqrt{2392}}^2 \textgreater {49}^2 = \textgreater \ 2392 \textgreater 2401.$

Полученное неравенство неверно, а это значит, что предположение неверно. Тогда верно неравенство $\sqrt{52}+\sqrt{46} \textless 14$ .

Ответ: 1.

Пример 5. Укажите наименьшее из чисел. В ответе укажите номер правильного варианта.

1) $\sqrt{35}$ 2) $2\sqrt{7}$ 3) $6$ 4) $\sqrt{6}+\sqrt{7}$

Решение. Сравним сначала первые три числа, представив их в виде корней:

1) $\sqrt{35}$ 2) $2\sqrt{7}=\sqrt{4}\cdot \sqrt{7}=\sqrt{28}$ 3) $6=\sqrt{36}$

Из этих чисел наименьшим является $\sqrt{28}=2\sqrt{7}$ . Осталось сравнить его с четвёртым значением.

$2\sqrt{7}=\sqrt{7}+\sqrt{7} \textgreater \sqrt{6}+\sqrt{7} .$

Результат очевиден. Наименьшим оказалось число под номером 4.

Ответ: 4.

Пример 6. Представьте выражение $\frac{m^{-9}\cdot m^3}{m^{-2}}$ в виде степени с основанием m. В ответе укажите номер правильного варианта.

1) $m^{-3}$ 2) $m^{-4}$ 3) $m^{-8}$ 4) $m^{-5}$

Решение. Используем свойства степеней:

$\frac{m^{-9}\cdot m^3}{m^{-2}}=\frac{m^{-9+3}}{m^{-2}}=\frac{m^{-6}}{m^{-2}}=m^{-6-(-2)}=m^{-6+2}=m^{-4} .$

Ответ: 2.

Пример 7. Вычислите $\frac{7^6\cdot {(7^{-9})}^2}{7^{-10}}$ . В ответе укажите номер правильного варианта.

1) $49$ 2) $-49$ 3) $\frac{1}{49}$ 4) $-\frac{1}{49}$

Решение. Используем свойства степеней:

$\frac{7^6\cdot {(7^{-9})}^2}{7^{-10}}=\frac{7^6\cdot 7^{-9\cdot 2}}{7^{-10}}=\frac{7^6\cdot 7^{-18}}{7^{-10}}=\frac{7^{6+(-18)}}{7^{-10}}=\frac{7^{-12}}{7^{-10}}=7^{-12-(-10)}=7^{-12+10}=7^{-2}=\frac{1}{7^2}=\frac{1}{49} .$

Ответ: 3.

Пример 8. Какое из чисел $\sqrt{0,25}\ ,\ \sqrt{2,5}\ ,\ \sqrt{2500}$ является иррациональным? В ответе укажите номер правильного варианта.

1) $\sqrt{0,25}\$ 2) $\sqrt{2,5}\$ 3) $\sqrt{2500}$ 4) все числа иррациональны

Решение. Если в результате вычислений или преобразований всё равно остаётся корень, то число является иррациональным:

1) $\sqrt{0,25}=\sqrt{\frac{25}{100}}=\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{100}}=\frac{5}{10}=0,5$ (рациональное число)

2) $\sqrt{2,5}=\sqrt{2\frac{5}{10}}=\sqrt{\frac{25}{10}}=\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{10}}=\frac{5}{\sqrt{10}}$ (иррациональное число)

3) $\sqrt{2500}=50$ (рациональное число)

Ответ: 2.

Пример 9. Какое из числовых выражений является рациональным? В ответе укажите номер правильного варианта.

1) $\sqrt{13}\cdot \sqrt{20}\$ 2) $\sqrt{18}-2\sqrt{2}\$ 3) $\frac{\sqrt{24}}{\sqrt{8}}$ 4) $(\sqrt{16}-\sqrt{5})\cdot (\sqrt{16}+\sqrt{5})$

Решение. Если в результате вычислений корень «исчезнет», то число является рациональным:

1) $\sqrt{13}\cdot \sqrt{20}=\sqrt{13}\cdot \sqrt{4\cdot 5}=\sqrt{13}\cdot \sqrt{4}\cdot \sqrt{5}=2\sqrt{13\cdot 5}=2\sqrt{65}$ (иррациональное число)

2) $\sqrt{18}-2\sqrt{2}=\sqrt{9\cdot 2}-2\sqrt{2}=3\sqrt{2}-2\sqrt{2}=\sqrt{2}$ (иррациональное число)

3) $\frac{\sqrt{24}}{\sqrt{8}}=\sqrt{\frac{24}{8}}=\sqrt{3}$ (иррациональное число)

4) $\left(\sqrt{16}-\sqrt{5}\right)\cdot \left(\sqrt{16}+\sqrt{5}\right)={\sqrt{16}}^2-{\sqrt{5}}^2=16-5=11$ (рациональное число)

Ответ: 4.

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими материалами. Информация на странице «Задание 8 ОГЭ по математике. Числа, вычисления и алгебраические выражения.» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать необходимые и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена: 07.06.2023

Задание 8 ОГЭ по математике. Числа, вычисления и алгебраические выражения.

Это полезно