previous arrow
next arrow
Slider

Задание 8 ОГЭ по математике. Числа, вычисления и алгебраические выражения.

При выполнении задания 8 ОГЭ по математике необходимо: знать свойства степеней и корней, уметь сравнивать рациональные и иррациональные числа, применять формулы сокращённого умножения.

Пример 1. Найдите значение выражения  \sqrt{3\cdot 7^2}\cdot \sqrt{3\cdot 2^4}. В ответе укажите номер правильного варианта.

1)  84        2) 2352         3) 28\sqrt{3}        4) 252

Решение. Произведение корней равно корню из произведения, т. е. \sqrt{a}\cdot \sqrt{b}=\sqrt{a\cdot b} . Тогда

\sqrt{3\cdot 7^2}\cdot \sqrt{3\cdot 2^4}=\sqrt{3\cdot 7^2\cdot 3\cdot 2^4}=\sqrt{3^2\cdot 7^2\cdot 4^2}=3\cdot 7\cdot 4=84\ .

Ответ: 1.

Пример 2. Найдите значение выражения  {(\sqrt{40}+4)}^2.  В ответе укажите номер правильного варианта.

1) 56+4\sqrt{40}     2) 24     3) 56+8\sqrt{40}     4) 24+8\sqrt{40}

Ответ: 3.

Пример 3. На рулоне обоев имеется надпись, гарантирующая, что длина полотна обоев находится в пределах 10 ± 0,05 м. Какую длину не может иметь полотно при этом условии?

В ответе укажите номер правильного варианта.

1) 10,03       2) 10,05       3) 9,96       4) 10,08

Решение. Длина рулона находится в интервале от 10  - 0,05 = 9,95 м до 10 + 0,05 = 10,05 м. Таким образом, только число 10,08 не попадает в этот диапазон.

Ответ: 4.

Пример 4. Сравните числа \sqrt{52}+\sqrt{46} и 14. В ответе укажите номер правильного варианта.

1) \sqrt{52}+\sqrt{46} \textless 14     2) \sqrt{52}+\sqrt{46}=14     3) \sqrt{52}+\sqrt{46} \textgreater 14

Решение. Очевидно, что равенство между заданными числами невозможно. Предположим, что справедливо неравенство \sqrt{52}+\sqrt{46} \textgreater 14\ . Возведём обе части неравенства в квадрат и проведём соответствующие преобразования:

{(\sqrt{52}+\sqrt{46})}^2 \textgreater {14}^2 = \textgreater {\sqrt{52}}^2+2\cdot \sqrt{52}\cdot \sqrt{46}+{\sqrt{46}}^2 \textgreater 196 = \textgreater \ 52+2\cdot \sqrt{52\cdot 46}+46 \textgreater 196
= \textgreater \ 2\cdot \sqrt{2392} \textgreater 98 = \textgreater \ \sqrt{2392} \textgreater 49 = \textgreater \ {\sqrt{2392}}^2 \textgreater {49}^2 = \textgreater \ 2392 \textgreater 2401.

Полученное неравенство неверно, а это значит, что предположение неверно. Тогда верно неравенство \sqrt{52}+\sqrt{46} \textless 14.

Ответ: 1.

Пример 5. Укажите наименьшее из чисел. В ответе укажите номер правильного варианта.

1) \sqrt{35}     2) 2\sqrt{7}     3) 6     4) \sqrt{6}+\sqrt{7}

Решение. Сравним сначала первые три числа, представив их в виде корней:

1) \sqrt{35}     2) 2\sqrt{7}=\sqrt{4}\cdot \sqrt{7}=\sqrt{28}     3) 6=\sqrt{36}

Из этих чисел наименьшим является \sqrt{28}=2\sqrt{7}. Осталось сравнить его с четвёртым значением.

2\sqrt{7}=\sqrt{7}+\sqrt{7} \textgreater \sqrt{6}+\sqrt{7} .

Результат очевиден. Наименьшим оказалось число под номером 4.

Ответ: 4.

Пример 6. Представьте выражение \frac{m^{-9}\cdot m^3}{m^{-2}} в виде степени с основанием m. В ответе укажите номер правильного варианта.

1) m^{-3}     2) m^{-4}     3) m^{-8}     4) m^{-5}

Решение. Используем свойства степеней:

\frac{m^{-9}\cdot m^3}{m^{-2}}=\frac{m^{-9+3}}{m^{-2}}=\frac{m^{-6}}{m^{-2}}=m^{-6-(-2)}=m^{-6+2}=m^{-4} .

Ответ: 2.

Пример 7. Вычислите \frac{7^6\cdot {(7^{-9})}^2}{7^{-10}}. В ответе укажите номер правильного варианта.

1) 49     2) -49     3) \frac{1}{49}     4) -\frac{1}{49}

Решение. Используем свойства степеней:

\frac{7^6\cdot {(7^{-9})}^2}{7^{-10}}=\frac{7^6\cdot 7^{-9\cdot 2}}{7^{-10}}=\frac{7^6\cdot 7^{-18}}{7^{-10}}=\frac{7^{6+(-18)}}{7^{-10}}=\frac{7^{-12}}{7^{-10}}=7^{-12-(-10)}=7^{-12+10}=7^{-2}=\frac{1}{7^2}=\frac{1}{49} .

Ответ: 3.

Пример 8. Какое из чисел \sqrt{0,25}\ ,\ \sqrt{2,5}\ ,\ \sqrt{2500} является иррациональным? В ответе укажите номер правильного варианта.

1) \sqrt{0,25}\      2) \sqrt{2,5}\      3) \sqrt{2500}     4) все числа иррациональны

Решение. Если в результате вычислений или преобразований всё равно остаётся корень, то число является иррациональным:

1) \sqrt{0,25}=\sqrt{\frac{25}{100}}=\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{100}}=\frac{5}{10}=0,5  (рациональное число)

2) \sqrt{2,5}=\sqrt{2\frac{5}{10}}=\sqrt{\frac{25}{10}}=\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{10}}=\frac{5}{\sqrt{10}}  (иррациональное число)

3) \sqrt{2500}=50  (рациональное число)

Ответ: 2.

Пример 9. Какое из числовых выражений является рациональным?  В ответе укажите номер правильного варианта.

1) \sqrt{13}\cdot \sqrt{20}\      2) \sqrt{18}-2\sqrt{2}\      3) \frac{\sqrt{24}}{\sqrt{8}}     4) (\sqrt{16}-\sqrt{5})\cdot (\sqrt{16}+\sqrt{5})

Решение. Если в результате вычислений корень «исчезнет», то число является рациональным:

1) \sqrt{13}\cdot \sqrt{20}=\sqrt{13}\cdot \sqrt{4\cdot 5}=\sqrt{13}\cdot \sqrt{4}\cdot \sqrt{5}=2\sqrt{13\cdot 5}=2\sqrt{65} (иррациональное число)

2) \sqrt{18}-2\sqrt{2}=\sqrt{9\cdot 2}-2\sqrt{2}=3\sqrt{2}-2\sqrt{2}=\sqrt{2} (иррациональное число)

3) \frac{\sqrt{24}}{\sqrt{8}}=\sqrt{\frac{24}{8}}=\sqrt{3} (иррациональное число)

4) \left(\sqrt{16}-\sqrt{5}\right)\cdot \left(\sqrt{16}+\sqrt{5}\right)={\sqrt{16}}^2-{\sqrt{5}}^2=16-5=11 (рациональное число)

Ответ: 4.