Джамиля Агишева
При выполнении задания 9 ОГЭ по математике необходимо:
уметь решать линейные и квадратные уравнения, системы уравнений и неравенств.
1. Решите уравнение: \(-x-4+5\left(x+3\right)=5\left(-1-x\right)-2\).
Решение:
Уравнение линейное. Раскрываем скобки, приводим подобные слагаемые, все «иксы» переносим в левую часть равенства, всё без «иксов» – вправо:
\(-x-4+5x+15=-5-5x-2 \Rightarrow 4x+11=-5x-7 \Rightarrow 4x+5x=-11-7 \Rightarrow\)
\(\Rightarrow 4x+5x=-11-7 \Rightarrow 9x=-18 \Rightarrow x=-2.\)
Ответ: - 2.
2. Решите уравнение: \(\displaystyle\frac{5}{4}x^2+7x+9=0\). Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания.
Решение:
Уравнение является квадратным \(a=\displaystyle\frac{5}{4}, \ b=7, \ c=9\). Вычисляем дискриминант и корни:
\(D=b^2-4ac=7^2-4\cdot \displaystyle \frac{5}{4}\cdot 9=49-45=4.\)
\(x_{1,2}=\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=\frac{-7\pm \sqrt{4}}{2\cdot \frac{5}{4}}=\displaystyle \frac{-7\pm 2}{\frac{5}{2}}=(-7\pm 2)\cdot \displaystyle \frac{2}{5} \Rightarrow \left[ \begin{array}{c}
x_1=\left(-7-2\right)\cdot \displaystyle \frac{2}{5}=-9\cdot 0,4=-3,6, \\
x_2=\left(-7+2\right)\cdot \displaystyle \frac{2}{5}=-5\cdot 0,4=-2. \end{array}
\right.\)
Ответ: \(-3,6-2\).
3. Решите уравнение: \((-4x-3)(x-3)=0\). Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.
Решение:
В левой части данного уравнения произведение двух множителей-скобок, и это произведение равно нулю. Это возможно тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Значит, получаем два уравнения:
\(\begin{matrix}
-4x-3=0, \\x=-\displaystyle \frac{3}{4}=-0,75
\end{matrix} \; \; \;\) или \(\; \; \; \begin{matrix}
x-3=0, \\x=3.
\end{matrix}\)
Тогда меньший из корней уравнения равен -0,75.
Ответ: -0,75.
4. Решите систему уравнений: \(\left\{ \begin{array}{c}
3x+2y=8, \\
4x-y=7. \end{array}
\right.\) В ответе запишите значение \(x+y\).
Решение:
Используем метод подстановки: из второго уравнения можно выразить \(y\) и подставить в первое уравнение.
\(\left\{ \begin{array}{c}
3x+2(4x-7)=8, \\
y=4x-7.\end{array}
\right. \Rightarrow \left\{\begin{array}{c}
3x+8x-14=8, \\
y=4x-7.\end{array}
\right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{c}
x=2,\\
y=4\cdot 2-7=1. \end{array}
\right.\)
Таким образом, \(x+y=2+1=3\).
5. На рисунке изображены графики функций \(y=4-x^2\) и \(y=-2-x\). Вычислите ординату точки \(B\).
Решение:
Для нахождения координат точек пересечения графиков заданных функций необходимо решить систему уравнений.
\(\left\{ \begin{array}{c}
y=4-x^2, \\
y=-2-x; \end{array}
\right. \Rightarrow\left\{ \begin{array}{c}
-2-x=4-x^2, \\
y=-2-x;\ \end{array}
\right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{c}
x^2-x-6=0,\\
y=-2-x.\end{array}\right.\)
Найдём корни первого уравнения системы.
\(x^2-x-6=0.\)
\(D=(-1)^2-4\cdot1\cdot(-6)=1+24=25.\)
\(x_{1,2}=\displaystyle \frac{1\pm\sqrt{25}}{2\cdot1}=\displaystyle \frac{1\pm5}{2}\Rightarrow\left[ \begin{array}{c} x_1=\displaystyle \frac{1-5}{2}=-2, \\ x_2=\displaystyle \frac{1+5}{2}=3 \end{array} \right.\) - абсцисса точка \(B\).
Тогда ордината точки \(B: \ y=-2-x=-2-3=-5.\)
Ответ: -5.
6. Найдите наибольшее значение \(x\), удовлетворяющее системе неравенств: \(\left\{ \begin{array}{c}
8x+16\le 0,\\
2-2x < 13.\end{array}
\right.\)
Решение:
Выразим из каждого неравенства переменную \(x\). Не забываем, что при делении обеих частей неравенства на положительное число знак неравенства не меняется, при делении на отрицательное число ̶ знак неравенства меняется на противоположный.
\(\left\{\begin{matrix}
8x+13\leq 0, \\2-2x< 13;
\end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
8x\leq -16, \\-2x< 13-2;
\end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix}
8x\leq -16, \; |:8 \\-2x< 11; \; |:(-2) \end{matrix}\right.\Rightarrow \left\{\begin{matrix} x\leq -2, \\x> -5,5.
\end{matrix}\right.\)
Используем числовую прямую. Решение первого неравенства отметим штриховкой («ёлочкой») с наклоном вправо, второго неравенства ̶ штриховкой с наклоном влево. При этом точка -2 будет «закрашенной», т.к. знак первого неравенства нестрогий, а точка -5,5 будет «выколотой», т.к. знак второго неравенства строгий.
Решением системы неравенств является тот промежуток, на котором пересеклись две «ёлочки», то есть две штриховки. Это промежуток \((-5,5;-2]\). «Выколотой» точке соответствует круглая скобка, «закрашенной» - квадратная.
Ответим на вопрос задачи. Наибольшее значение \(x=-2.\)
Ответ:\(-2\).
