Джамиля Агишева
При выполнении задания 9 ОГЭ по математике необходимо:
уметь решать линейные и квадратные уравнения, системы уравнений и неравенств.
Пример 1. Решите уравнение \(-x-4+5\left(x+3\right)=5\left(-1-x\right)-2\).
Решение. Уравнение линейное. Раскрываем скобки, приводим подобные слагаемые, все «иксы» переносим в левую часть равенства, всё без «иксов» – вправо:
\(-x-4+5x+15=-5-5x-2 \Rightarrow\ \ \ 4x+11=-5x-7 \Rightarrow\ \ \ \)
\(\Rightarrow\ \ \ 4x+5x=-11-7 \Rightarrow\ \ \ 4x+5x=-11-7 \Rightarrow\ \ \ 9x=-18 \Rightarrow\ \ \ \ x=-2.\)
Ответ: - 2.
Пример 2. Решите уравнение \(\frac{5}{4}x^2+7x+9=0\). Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания.
Решение. Уравнение является квадратным \(a=\frac{5}{4}\) , \(b=7\), \(c=9\). Вычисляем дискриминант и корни:
\(D=b^2-4ac=7^2-4\cdot \frac{5}{4}\cdot 9=49-45=4.\)
\(x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=\frac{-7\pm \sqrt{4}}{2\ \cdot \ \frac{5}{4}}=\frac{-7\pm 2}{\frac{5}{2}}=(-7\pm 2)\cdot \frac{2}{5} \Rightarrow \left[ \begin{array}{c}
x_1=\left(-7-2\right)\cdot \frac{2}{5}=-9\cdot 0,4=-3,6, \\
x_2=\left(-7+2\right)\cdot \frac{2}{5}=-5\cdot 0,4=-2. \end{array}
\right.\)
Ответ: \(-3,6-2\).
Пример 3. Решите уравнение \((-4x-3)(x-3)=0\). Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.
Решение. В левой части данного уравнения произведение двух множителей-скобок, и это произведение равно нулю. Это возможно тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Значит, получаем два уравнения:
Тогда меньший из корней уравнения равен -0,75.
Ответ: -0,75.
Пример 4. Решите систему уравнений \(\left\{ \begin{array}{c}
3x+2y=8, \\
4x-\ \ y\ =7. \end{array}
\right.\)
В ответе запишите значение \(x+y\).
Решение. Используем метод подстановки: из второго уравнения можно выразить y и подставить в первое уравнение.
\(\left\{ \begin{array}{c}
3x+2(4x-7)=8, \\
y=4x-7.\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{array}
\right. \Rightarrow\ \ \ \left\{ \begin{array}{c}
3x+8x-14=8, \\
y=4x-7.\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{array}
\right.\Rightarrow\)
\(\Rightarrow\ \ \ \left\{ \begin{array}{c}
x=2,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\
y=4\cdot 2-7=1.\ \end{array}
\right.\)
Таким образом, \(x+y=2+1=3\).
Пример 5. На рисунке изображены графики функций \(y=4-x^2\) и \(y=-2-x\). Вычислите ординату точки B.
Решение. Для нахождения координат точек пересечения графиков заданных функций необходимо решить систему уравнений.
\(\left\{ \begin{array}{c}
y=4-x^2, \\
y=-2-x. \end{array}
\right. \ \ \ \ \ \ \ \ \Rightarrow\ \ \ \ \ \ \ \left\{ \begin{array}{c}
-2-x=4-x^2,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\
y=-2-x.\ \end{array}
\right.\Rightarrow\)
\(\Rightarrow\ \ \ \ \ \ \ \ \left\{ \begin{array}{c}
x^2-x-6=0,\ \ \\
y=-2-x.\ \end{array}\right.\)
Найдём корни первого уравнения системы.
\(x^2-x-6=0.\)
\(D=(-1)^2-4\cdot1\cdot(-6)=1+24=25.\)
\(x_{1,2}=\frac{1\pm\sqrt{25}}{2\cdot1}=\frac{1\pm5}{2}\Rightarrow\left[ \begin{array}{c} x_1=\frac{1-5}{2}=-2, \\ x_2=\frac{1+5}{2}=3. \end{array} \right.\) ̶ абсцисса точка B.
Тогда ордината точки В: \(y=-2-x=-2-3=-5.\)
Ответ: -5.
Пример 6. Найдите наибольшее значение x, удовлетворяющее системе неравенств:
\(\left\{ \begin{array}{c}
8x+16\le 0,\ \ \\
2-2x\textless13.\ \end{array}
\right.\)
Решение. Выразим из каждого неравенства переменную x. Не забываем, что при делении обеих частей неравенства на положительное число знак неравенства не меняется, при делении на отрицательное число ̶ знак неравенства меняется на противоположный.
\(\left\{ \begin{array}{c}
8x+16\le 0,\ \ \\
2-2x\textless13.\ \end{array}
\right. \ \ \ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{c}
8x\le -16,\ \ \\
-2x\textless13-2.\ \end{array}
\right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{c}
8x\le -16,\ \ \ |:8\ \ \ \ \ \ \ \\
-2x\textless11.\ \ \ |:(-2) \end{array}
\right. \Rightarrow\)
\(\Rightarrow\left\{ \begin{array}{c}
x\le -2,\ \ \ \\
x\textgreater-5,5.\ \end{array}
\right.\)
Используем числовую прямую. Решение первого неравенства отметим штриховкой («ёлочкой») с наклоном вправо, второго неравенства ̶ штриховкой с наклоном влево. При этом точка -2 будет «закрашенной», т.к. знак первого неравенства нестрогий, а точка -5,5 будет «выколотой», т.к. знак второго неравенства строгий.
Решением системы неравенств является тот промежуток, на котором пересеклись две «ёлочки», то есть две штриховки. Это промежуток \((-5,5;-2]\). «Выколотой» точке соответствует круглая скобка, «закрашенной» ̶ квадратная.
Ответим на вопрос задачи. Наибольшее значение \(x=-2.\)
Ответ: \(-2\).
