previous arrow
next arrow
Slider

Задание 9 ОГЭ по математике. Уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств

Джамиля Агишева

При выполнении задания 9 ОГЭ по математике необходимо:

уметь решать линейные и квадратные уравнения, системы уравнений и неравенств.

Пример 1. Решите уравнение -x-4+5\left(x+3\right)=5\left(-1-x\right)-2.

Решение. Уравнение линейное. Раскрываем скобки, приводим подобные слагаемые, все «иксы» переносим в левую часть равенства, всё без «иксов»  – вправо:

-x-4+5x+15=-5-5x-2 \Rightarrow\ \ \ 4x+11=-5x-7 \Rightarrow\ \ \

\Rightarrow\ \ \ 4x+5x=-11-7 \Rightarrow\ \ \ 4x+5x=-11-7 \Rightarrow\ \ \ 9x=-18 \Rightarrow\ \ \ \ x=-2.

Ответ:   - 2.

Пример 2. Решите уравнение  \frac{5}{4}x^2+7x+9=0. Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания.

Решение. Уравнение является квадратным a=\frac{5}{4} , b=7, c=9. Вычисляем дискриминант и корни:

D=b^2-4ac=7^2-4\cdot \frac{5}{4}\cdot 9=49-45=4.

x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}=\frac{-7\pm \sqrt{4}}{2\ \cdot \ \frac{5}{4}}=\frac{-7\pm 2}{\frac{5}{2}}=(-7\pm 2)\cdot \frac{2}{5} \Rightarrow \left[ \begin{array}{c}x_1=\left(-7-2\right)\cdot \frac{2}{5}=-9\cdot 0,4=-3,6, \\x_2=\left(-7+2\right)\cdot \frac{2}{5}=-5\cdot 0,4=-2. \end{array}\right.

Ответ-3,6-2.

Пример 3. Решите уравнение  (-4x-3)(x-3)=0. Если уравнение имеет более одного корня, в ответ запишите меньший из корней.

Решение. В левой части данного уравнения произведение двух множителей-скобок, и это произведение равно нулю. Это возможно тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Значит, получаем два уравнения:

Тогда меньший из корней уравнения равен -0,75.

Ответ: -0,75.

Пример 4. Решите систему уравнений \left\{ \begin{array}{c}3x+2y=8, \\4x-\ \ y\ =7. \end{array}\right.

В ответе запишите значение x+y.

Решение. Используем метод подстановки: из второго уравнения можно выразить y и подставить в первое уравнение.

\left\{ \begin{array}{c}3x+2(4x-7)=8, \\y=4x-7.\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{array}\right. \Rightarrow\ \ \ \left\{ \begin{array}{c}3x+8x-14=8, \\y=4x-7.\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \end{array}\right.\Rightarrow

\Rightarrow\ \ \ \left\{ \begin{array}{c}x=2,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\y=4\cdot 2-7=1.\ \end{array}\right.

 

Таким образом, x+y=2+1=3.

Пример 5. На рисунке изображены графики функций y=4-x^2 и y=-2-x. Вычислите ординату точки B.

Решение. Для нахождения координат точек пересечения графиков заданных функций необходимо решить систему уравнений.

\left\{ \begin{array}{c}y=4-x^2, \\y=-2-x. \end{array}\right. \ \ \ \ \ \ \ \ \Rightarrow\ \ \ \ \ \ \ \left\{ \begin{array}{c}-2-x=4-x^2,\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\y=-2-x.\ \end{array}\right.\Rightarrow

\Rightarrow\ \ \ \ \ \ \ \ \left\{ \begin{array}{c}x^2-x-6=0,\ \ \\y=-2-x.\ \end{array}\right.

Найдём корни первого уравнения системы.

x^2-x-6=0.

D=(-1)^2-4\cdot1\cdot(-6)=1+24=25.

x_{1,2}=\frac{1\pm\sqrt{25}}{2\cdot1}=\frac{1\pm5}{2}\Rightarrow\left[ \begin{array}{c} x_1=\frac{1-5}{2}=-2, \\ x_2=\frac{1+5}{2}=3. \end{array} \right.  ̶ абсцисса точка B.

Тогда ордината точки В: y=-2-x=-2-3=-5.

Ответ: -5.

Пример 6. Найдите наибольшее значение x, удовлетворяющее системе неравенств:

\left\{ \begin{array}{c}8x+16\le 0,\ \ \\2-2x\textless13.\ \end{array}\right.

Решение. Выразим из каждого неравенства переменную x. Не забываем, что при делении обеих частей неравенства на положительное число знак неравенства не меняется, при делении на отрицательное число  ̶  знак неравенства меняется на противоположный.

\left\{ \begin{array}{c}8x+16\le 0,\ \ \\2-2x\textless13.\ \end{array}\right. \ \ \ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{c}8x\le -16,\ \ \\-2x\textless13-2.\ \end{array}\right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{c}8x\le -16,\ \ \ |:8\ \ \ \ \ \ \ \\-2x\textless11.\ \ \ |:(-2) \end{array}\right. \Rightarrow

\Rightarrow\left\{ \begin{array}{c}x\le -2,\ \ \ \\x\textgreater-5,5.\ \end{array}\right.

Используем числовую прямую. Решение первого неравенства отметим штриховкой («ёлочкой») с наклоном вправо, второго неравенства  ̶  штриховкой с наклоном влево. При этом точка -2 будет «закрашенной», т.к. знак первого неравенства нестрогий, а точка -5,5 будет «выколотой», т.к. знак второго неравенства строгий.

Решением системы неравенств является тот промежуток, на котором пересеклись две «ёлочки», то есть две штриховки. Это промежуток (-5,5;-2]. «Выколотой» точке соответствует круглая скобка, «закрашенной» ̶ квадратная.

Ответим на вопрос задачи. Наибольшее значение x=-2.

Ответ: -2.