previous arrow
next arrow
Slider

Замечательное свойство трапеции

Анна Малкова

Замечательное свойство трапеции. Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений ее боковых сторон и середины оснований лежат на одной линии.

Дана трапеция ABCD, AC\cap BD=O, N - середина AD, M - середина BC, AB\cap CD=P. Докажем, что точки M, N, O, P лежат на одной прямой.

Задача не так уж и проста, да и сама формулировка необычна: доказать, что четыре точки лежат на одной прямой. Как это сделать?

Во-первых, разобьем задачу на две более простых. Во-вторых – немного переформулируем.

1) Докажем, что середина основания AD лежит на прямой, соединяющей середину основания BC и точку пересечения диагоналей.

2) Докажем, что середина основания AD лежит на прямой, соединяющей середину основания BC и точку пересечения продолжений боковых сторон.

Начнем с пункта 1.

Пусть M - середина BC, O – точка пересечения диагоналей трапеции, MO\cap AD=N.

Докажем, что N – середина AD.

\triangle BOC \sim \triangle DOA по двум углам (\angle BOC= \angle AOD как вертикальные, \angle OBC= \angle ODA как накрест лежащие при параллельных основаниях трапеции), тогда \frac{BO}{OD}=\frac{BC}{AD}.

Аналогично, \triangle BOM \sim \triangle DON (\angle BOM= \angle NOD как вертикальные, \angle MBO= \angle ODN как накрест лежащие при параллельных основаниях трапеция), отсюда \frac{BO}{OD}=\frac{BM}{ND}.

Отсюда \frac{BC}{AD}=\frac{BM}{ND}\Rightarrow \frac{BM}{BC} = \frac{ND}{AD}=\frac{1}{2}. Это значит, что N – середина AD.

Теперь пункт 2.

Проведем PM – медиану треугольника BPC. Пусть прямые AD и PM пересекаются в точке N. Докажем, что N – середина AD

\triangle BPC \sim \triangle APD по двум углам (угол P – общий, \angle PBC = \angle PAD как соответственные при параллельных основаниях трапеции), отсюда \frac{BP}{AP}=\frac{BC}{AD}.

\triangle BPM \sim \triangle APN аналогично, \frac{BP}{AP}=\frac{BM}{AN}.

Получим: \frac{BC}{AD}=\frac{BM}{AN}\Rightarrow \frac{AN}{AD}=\frac{BM}{BC}=\frac{1}{2}, значит, N – середина AD.

Таким образом, точки M,O,N,P лежат на одной прямой, что и требовалось доказать.