Все задачи предложены учащимися Онлайн-курса и Стримов Анны Малковой
1. Задачу предложила Людмила Михеева
Михаил планирует 15-го декабря взять в банке кредит на 3 года в размере 364 000 рублей. Сотрудник банка предложил Михаилу два различных плана погашения кредита, описание которых приведено в таблице.
| План 1 | — каждый январь долг возрастает на 20 % по сравнению с концом предыдущего года; — с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга; — кредит должен быть полностью погашен за три года тремя равными платежами. |
| План 2 | — 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2 % по сравнению с концом предыдущего месяца; — со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; — 15-го числа каждого месяца с 1-го по 36-й долг должен быть меньше долга на 15-е число предыдущего месяца на одну и ту же сумму; — к 15-му числу 36-го месяца кредит должен быть полностью погашен. |
На сколько рублей меньше окажется общая сумма выплат Михаила банку по более выгодному плану погашения кредита?
2. Предложили Злата Найденышева и Алексей Корнелюк независимо друг от друга
Найдите все значения \(a\), при каждом из которых система \(\left\{\begin{matrix} 3\left | x-2a \right |+2\left | y-a \right |=6,\\xy-x-2y+2=0 \end{matrix}\right.\) имеет ровно три различных решения.
Следующие две задачи предложил Богдан Бочкарёв
3. При каких значениях параметра а система \(\left\{\begin{matrix} 2cos x+asin y=1,\\ log_{z} sin y=log_{z}a\cdot log_a\left ( 2-3cos x \right ),\\ log_{a}z+log_{a}\left ( \displaystyle \frac{1}{2a}-1 \right )=0 \end{matrix}\right.\) имеет хотя бы одно решение?
4. При каких значениях параметра а система \(\left\{\begin{matrix} 2^x+2^{\frac{4}{x}}=\left ( a^2-4 \right )^2+y^2+8,\\ |y|\cdot z^4+2z^2-a^2z+a+4=0 \end{matrix}\right.\) имеет единственное решение \((x_0, y_0, z_0)\)?
5. Предложила Гузель Юмашева
Дана четырёхугольная пирамида \(SABCD\) с прямоугольником \(ABCD\) в основании. Сторона \(AB\) равна 4, а \(BC\) равна \(4 \sqrt{2}\). Вершина пирамиды \(S\) проецируется в точку пересечения диагоналей прямоугольника. Из вершины \(A\) и \(C\) на ребро \(SB\) опущены перпендикуляры \(AP\) и \(CQ\).
а) Докажите, что точка \(P\) является серединой отрезка \(BQ\).
б) Найдите угол между плоскостями \(SBA\) и \(SBC\), если ребро \(SD\) равно 8.
6. Предложил Алексей Ряшенцев – задача из варианта 236 сайта Ларина
Решите неравенство: \(log_{x^2}\left ( 3-x \right )\leq log_{x+2}\left ( 3-x \right ).\)
7. Предложила Татьяна Потапова
а) Решите уравнение: \(\sqrt{2} cos\left ( 8x \right )cos\left ( x+\displaystyle \frac{\pi}{4} \right )=2cos \displaystyle \frac{\pi}{4}.\)
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \([-3\pi; 5\pi].\)
