Что делать, если вам – например, на Профильном ЕГЭ по математике – встретилось не квадратное уравнение, а кубическое? Или даже уравнение четвертой степени? Ведь для уравнений третьей, четвертой и более высоких степеней нет таких простых формул, как для квадратного уравнения.
В этой статье – способы решения сложных алгебраических уравнений. Замена переменной, разложение на множители, группировка, использование симметрии, однородности, деление многочлена на многочлен. Они вполне могут встретиться на ЕГЭ и олимпиадах в уравнениях, неравенствах и задачах с параметрами.
Также мы рассматриваем применение свойств функций, метод оценки, выделение полного квадрата, графический способ.
Вспомним основные понятия.
Корень уравнения – такое число, которое мы можем подставить вместо переменной в уравнение и получить истинное равенство.
Например, число \(3\) – корень уравнения \(2x=6\).
Решить уравнение – значит найти его корни или доказать, что их нет.
Равносильными называются уравнения, множества решений которых совпадают. Другими словами, у них одни и те же корни.
Например, уравнения \(\left ( x^{2}-1 \right )\left ( x^{2}+3 \right)=0\) и \(x^{2}=1\) равносильны. Их корни совпадают: \(x=1\) или \(x=-1.\)
В этой статье мы рассмотрим рациональные уравнения. В них переменная \(x\) входит в целой степени. Стандартный вид такого уравнения: слева многочлен, справа ноль.
Например, уравнение первой степени имеет вид \(ax+b=0\), где \(a \neq 0.\) По-другому оно называется линейным уравнением, и вы с ним хорошо знакомы.
Уравнение второй степени приводится к виду \(ax^2+bx+c=0\), где \(a \neq 0.\) Это квадратное уравнение, и с ним тоже все просто.
Уравнение третьей степени имеет вид \(ax^3+bx^2+cx+d=0\), где \(a \neq 0. \)
В общем виде такие уравнения \(n\)-й степени можно записать так:
\(ax^n+bx^{n-1}+cx^{n-2}+\dots + mx+p=0\), где \(x\) — переменная, \(a, b, c,\dots,m, p\) — некоторые числа, причём \(a \neq 0.\)
Теорема. Уравнение \(n\)-й степени имеет не более \(n\) действительных корней.
Это значит, что у квадратного уравнения не более двух корней. У уравнения третьей степени не более трех корней.
Как же найти эти корни?
Метод замены переменной
Замена переменной – ключ к решению многих задач.
Самый простой пример – биквадратное уравнение.
Так называется уравнение вида \(ax^4+bx^2+c=0\). Оно решается с помощью замены \(x^2=t\), где \(t \geqslant 0.\)
1. Решим уравнение: \(9x^4-37x^2+4=0\).
Решение:
Сделаем замену \(x^2=t, \; t \geqslant 0\), тогда
\(9t^2-37t+4=0; \;D=37^2-12^2=(37-12)(37+12)=1225;\)
\(t_{1,2}=\displaystyle \frac{37\pm35}{18}; \;\) \(t=4\) или \(t=-\displaystyle \frac{1}{9}.\)
Значение переменной \(t=-\displaystyle \frac{1}{9}\) не удовлетворяет условию замены, так как \(-\displaystyle \frac{1}{9}<0.\)
Значит, \(x^2=4 \Leftrightarrow x=\pm2.\)
Ответ: \(x=\pm 2\)
2. Решим уравнение: \(x^4+10x^2+9=0.\)
Решение:
Пусть \(x^2=t; \; t\geqslant 0; \; t^2+10t+9=0.\) Это уравнение имеет два корня: \(t=-9\) или \(t=-1\). Оба корня отрицательны и не удовлетворяют условию \(t \geqslant 0\). Значит, исходное уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: \(\emptyset\)
Такой символ означает, что корней нет, множество корней исходного уравнения является пустым.
3. Решим уравнение: \(\displaystyle\frac{x^{2}+1}{x}+\frac{x}{x^{2}+1}=2,9.\)
Решение:
Если приводить обе части к одному знаменателю, получим уравнение четвертой степени. Вряд ли мы с ним справимся.
Сделаем замену \(\displaystyle \frac{x^{2}+1}{x}=t.\) Тогда \(\displaystyle \frac{x}{x^{2}+1}=\frac{1}{t}, \; t\neq 0.\)
С новой переменной уравнение стало проще:
\(t+\displaystyle\frac{1}{t}=2,9;\)
\(t+\displaystyle\frac{1}{t}-2,9=0.\)
Умножим обе части на \(10t\). Получим квадратное уравнение:
\(10t^{2}-29t+10=0;\)
\(D=29^2-4\cdot10\cdot10=29^2-20^2=(29-20)(29+20)=9\cdot49=3^2\cdot7^2=21^2.\)
Корни этого уравнения: \(t=\displaystyle\frac{5}{2}\) или \(t=\displaystyle\frac{2}{5}.\)
Вернемся к переменной \(x.\)
Если \(t=\displaystyle\frac{2}{5}\), то \(\displaystyle\frac{x^{2}+1}{x}=\frac{2}{5}.\)
Отсюда \(5x^{2}-2x+5=0.\)
Дискриминант этого уравнения отрицателен, корней нет.
Если \(t=\displaystyle\frac{5}{2}\), то \(\displaystyle\frac{x^{2}+1}{x}=\frac{5}{2}.\) Получим квадратное уравнение для \(x\): \(2x^{2}-5x+2=0.\)
У этого уравнения два корня: \(x=2\) или \(x=0,5.\) Это ответ.
4. Решим уравнение: \((4x^2-5x)^2+4(4x^2-5x)+3=0\).
Решение:
Мы видим, что выражение \(4x^2-5x\) в уравнении встречается дважды. Хорошо бы обозначить его новой переменной, сделать замену.
Введем новую переменную \(t=4x^2-5x.\)
Уравнение примет вид: \(t^2+4t+3=0, t=-1\) или \(t=-3.\)
Возвращаемся к переменной \(x\):
\(
\left[
\begin{gathered}
4x^2-5x=-1, \\
4x^2-5x=-3.
\end{gathered}
\right.
\)
У нас появилось новое обозначение: \([\) - знак совокупности.
Такой знак означает «или».
Мы получили совокупность из двух квадратных уравнений.
\(
\left[
\begin{gathered}
4x^2-5x+1=0, \\
4x^2-5x+3=0.
\end{gathered}
\right.
\)
Решим эти уравнения по очереди.
\(1) 4x^2-5x+1=0; \; D = 25-16=9; \; x_{1,2}=\displaystyle\frac{5\pm3}{8}; \; \left[
\begin{gathered}
x=1, \\
x=0,25.
\end{gathered}
\right.\)
2) Уравнение \( 4x^2-5x+3=0\) не имеет корней. Его дискриминант отрицателен.
Ответ: 1; 0,25
5. Решим уравнение: \(\left ( x-1 \right )\cdot \left ( x-3 \right )\cdot \left ( x+5 \right )\cdot \left ( x+7 \right )=297.\)
Решение:
Не будем спешить раскрывать скобки. Ведь раскрыв их, мы получили бы уравнение четвертной степени.
Посмотрим на уравнение внимательно.
На координатной прямой точки \(1; \;3; \;–5; \;–7\) расположены симметрично относительно точки \(x=-2.\)
Сделаем замену \(x+2=t\), тогда \(x=t-2\).
Тогда:
\(x-1=t-3;\)
\(x-3=t-5;\)
\(x+5=t+3;\)
\(x+7=t+5;\)
Мы выразили все «скобки», то есть все множители, через новую переменную. Вот что это дает:
\(\left ( t-3 \right )\cdot \left ( t-5 \right )\cdot \left ( t+3 \right )\cdot \left ( t+5 \right )=297;\)
\(\left ( t^{2}-9 \right )\cdot \left ( t^{2}-25 \right )=297.\)
И еще одна замена: \(t^{2}-9=z\).
\(z\cdot \left ( z-16 \right )=297.\)
\(z^{2}-16z-297=0.\) Обычное квадратное уравнение. Замечательно!
Подберем его корни по теореме Виета. Заметим, что \(297 = 27 \cdot 11.\)
\(\left\{\begin{matrix} z_{1}+z_{2}=16,\\ z_{1}\cdot z_{2}=-297; \end{matrix}\right. \;\) отсюда \(z_{1}=27\), \(z_{2}=-11\).
Если \(z=t^{2}-9=-11\), то \(t^{2}=-2,\) нет решений.
Если \(z=t^{2}-9=27\), то \(t^{2}=36.\) Тогда \(t=6\) или \(t=-6\).
Если \(x+2=6\), то \(x=4\).
Если \(x+2=-6\), то \(x=-8\).
Ответ: 4; –8.
Дальше – еще интереснее.
6. Решите уравнение: \(\displaystyle \frac{x^{2}}{3}+\frac{48}{x^{2}}=10\cdot \left ( \displaystyle \frac{x}{3}-\frac{4}{x} \right ).\)
Решение:
Сделаем замену: \(\displaystyle \frac{x}{3}-\frac{4}{x} =t\). То, что в правой части в скобках, заменили на новую переменную.
\(t^{2}=\left (\displaystyle \frac{x}{3}-\frac{4}{x} \right )^{2}=\displaystyle \frac{x^{2}}{9}+\frac{16}{x^{2}}-\displaystyle\frac{8}{3}=\frac{1}{3}\left ( \displaystyle\frac{x^{2}}{3}+\frac{48}{x^{2}}-8 \right ).\)
\(\displaystyle \frac{x^{2}}{3}+\frac{48}{x^{2}}-8=3t^{2}\Rightarrow \displaystyle\frac{x^{2}}{3}+\frac{48}{x^{2}}=3t^{2}+8\).
Получили квадратное уравнение:
\(3t^{2}+8=10t;\)
\(3t^{2}-10t+8=0;\)
\(D=10^{2}-4\cdot 3\cdot 8=100-96=4;\)
\(t_{1}=\displaystyle \frac{10-2}{6}=\frac{4}{3};\)
\(t_{2}=\displaystyle \frac{10+2}{6}=2.\)
Если \(\displaystyle \frac{x}{3}-\frac{4}{x}=\frac{4}{3}\), то \(x^{2}-4x-12=0 \Rightarrow x_{1}=-2, \; x_{2}=6.\)
Если \(\displaystyle \frac{x}{3}-\frac{4}{x}=2\), то \(x^{2}-6x-12=0.\)
\(D=36-4\cdot \left ( -12 \right )=84;\)
\(x_{3,4}=\displaystyle \frac{6\pm \sqrt{84}}{2}=\displaystyle \frac{6\pm 2\sqrt{21}}{2}=3\pm \sqrt{21}.\)
Ответ: \(-2;6;\pm \sqrt{21}\)
к оглавлению ▴Метод разложения на множители
Этот метод удобен, когда в правой части уравнения стоит ноль, а в левой – выражение, зависящее от переменной.
Произведение двух или нескольких множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю, а остальные при этом не теряют смысла.
7. Решим уравнение: \(x(x-2)(x-3)(x-5)=0\).
Решение:
Конечно, не нужно перемножать все «скобки». Левая часть уравнения равна нулю, если \(x=0\) или \(x=2\) или \(x=3\) или \(x=5\). Все эти значения переменной – корни уравнения.
Ответ: 0; 2; 3; 5.
8. Решим уравнение: \(x^6+8x^3=0.\)
Решение:
Вынесем за скобки \(x^3\),то есть разложим левую часть на множители.
\(x^3(x^3+8)=0 \Leftrightarrow
\left[
\begin{gathered}
x^3=0, \\
x^3+8=0;
\end{gathered}
\right. \Leftrightarrow
\left[
\begin{gathered}
x=0, \\
x=-2.
\end{gathered}
\right.
\)
Ответ: \({-2; 0}\)
Мы записали корни уравнения в виде множества из двух значений переменной, \(-2\) и \(0\). Это одна из возможных форм записи ответа.
Метод разложения на множители часто применяется вместе с методом группировки.
Метод группировки слагаемых
9. Решите уравнение: \(x^{3}-3x^{2}-6x+8=0.\)
Решение:
Разложим левую часть уравнения на множители. Сгруппируем слагаемые:
\(x^{3}+2^{3}-3x^{2}-6x=0.\)
Первые два слагаемых – сумма кубов. Применим формулу: \(a^{3}+b^{3}=\left ( a+b \right )\left ( a^{2}-ab+b^{2} \right )\). Получим:
\(\left ( x+2 \right )\left ( x^{2}-2x+4 \right )-3x\left ( x+2 \right )=0;\)
\(\left ( x+2 \right )\left ( x^{2}-2x+4 -3x\right )=0; \)
\(\left ( x+2 \right )\left ( x^{2}-5x+4\right )=0.\)
Произведение двух (или нескольких) множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю.
Записывается это так:
\(\left ( x+2 \right )\left ( x^{2}-5x+4 \right )= 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{ccc} x+2=0, \\ x^{2}-5x+4 = 0; \\ \end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{ccc} x=-2, \\ x=4, \\ x=1. \\ \end{array} \right.\)
Ответ: -2; 1; 4.
Здесь мы тоже использовали знак совокупности.
Запись \(\left[ \begin{array}{ccc} x=-2, \\ x=4, \\ x=1 \\ \end{array} \right. \) читается как «\(x=-2\) или \(x=4\) или \(x=1\)».
Решая уравнения и особенно неравенства, мы будем постоянно пользоваться знаками системы и совокупности. Мы записываем решения в виде цепочки равносильных переходов. Для сложных уравнений и неравенств это единственный способ прийти к ответу и не запутаться.
10. Решите уравнение: \(9x^3-9x^2-x+1=0.\)
Решение:
Разложим левую часть уравнения на множители методом группировки.
\(9x^2(x-1)-(x-1)=0 \Leftrightarrow (x-1) \cdot (9x^2-1)=0 \Leftrightarrow
\left[
\begin{gathered}
x-1=0, \\
9x^2-1=0;
\end{gathered}
\right.
\Leftrightarrow
\left[
\begin{gathered}
x=1, \\
x=\pm \frac{1}{3}.
\end{gathered}
\right.
\)
Ответ: \(\pm\displaystyle \frac{1}{3}; 1.\)
11. Решите уравнение: \(x^{2}+2x+\displaystyle \frac{2}{x}+\frac{1}{x^{2}}=1.\)
Решение:
Сгруппируем слагаемые:
\(x^{2}+\displaystyle \frac{1}{x^{2}}+2\left (x+\frac{1}{x} \right )-1=0.\)
А если сделать замену \(x+\displaystyle \frac{1}{x}=t\)?
Тогда \(t^{2}=\left ( x+\displaystyle \frac{1}{x} \right )^{2}=x^{2}+\displaystyle \frac{1}{x^{2}}+2\Rightarrow x^{2}+\displaystyle \frac{1}{x^{2}}=t^{2}-2 \).
Получаем квадратное уравнение: \(t^{2}-2+2t-1=0\). Удачная замена!
\(t^{2}+2t-3=0\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{ccc} t=-3, \\ t=1. \\ \end{array} \right.\)
Если \(x+\displaystyle \frac{1}{x}=1, \;\) то \(x^2-x+1=0, \;\) \(D<0\), нет решений.
Если \(x+\displaystyle \frac{1}{x}=-3, \;\) то \(x^{2}+3x+1=0.\)
\(D=9-4=5, \;\) \(x_{1,2}=\displaystyle \frac{-3\pm \sqrt{5}}{2}\).
Ответ: \(\displaystyle \frac{-3\pm \sqrt{5}}{2}.\)
к оглавлению ▴Подбор целого корня и деление многочлена на многочлен уголком
Рассмотрим еще один метод решения уравнений третьей, четвертой и более высоких степеней.
12. Решите уравнение: \(x^{3}-9x^{2}+26x-24=0.\)
Решение:
Разложить левую часть на множители с первой попытки не удается.
Оказывается, если уравнение третьей (четвертой, пятой…) степени имеет целые корни, то находятся они среди делителей свободного члена (слагаемого, не содержащего \(x\)). В данном случае – среди целых делителей числа \(24.\)
Выпишем целые делители числа \(24\):
\(1; \;–1; \;2; \;–2; \;3; \;–3; \;4; \;–4; \;6; \;–6; \;8; \;–8; \;12; \;–12; \;24; \;–24.\)
Подставляя их по очереди в уравнение, при \(x=2\) получаем верное равенство:
\(2^{3}-9\cdot 2^{2}+26\cdot 2-24=0.\)
Это значит, что левую часть уравнения можно разложить на множители:
\(x^{3}-9x^{2}+26x-24=\left ( x-2 \right )\cdot P\left ( x \right )\), где \(P\left ( x \right )=ax^{2}+bx+c.\)
Чтобы найти \(P\left ( x \right )\), поделим выражение \(x^{3}-9x^{2}+26x-24\) на \(x-2\). В столбик. Так же, как мы делим друг на друга числа.
Немного непривычно, да? Потренируйтесь – у вас получится!
\(x^{3}-9x^{2}+26x-24=\left ( x-2 \right )\cdot \left ( x^{2}-7x+12 \right )\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{ccc} x-2=0, \\ x^{2}-7x+12=0; \\ \end{array} \right.\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{ccc} x=2, \\ x=3, \\ x=4. \\ \end{array} \right.\)
Ответ: 2; 3; 4.
13. Решите уравнение: \(x^{4}-5x^{3}+4x^{2}-5x+1=0.\)
Решение:
Разложить на множители? Но как? И замена не видна сразу. Посмотрим на уравнение внимательно. Его коэффициенты: \(1, \;- 5, \;4, \;- 5, \;1.\)
Такое уравнение называется симметрическим, или возвратным.
Разделим обе его части на \(x^{2}\neq 0\). Мы можем это сделать, поскольку \(x=0\) не является корнем нашего уравнения.
\(x^{2}-5x+4-\displaystyle \frac{5}{x}+\frac{1}{x^{2}}=0.\)
Теперь группируем слагаемые:
\(x^{2}+\displaystyle \frac{1}{x^{2}}-5\left (x-\displaystyle \frac{1}{x} \right )+4=0.\)
Сделаем замену: \(x-\displaystyle \frac{1}{x}=t\).
Тогда \(t^{2}=\left ( x-\displaystyle \frac{1}{x} \right )^{2}=x^{2}+\displaystyle \frac{1}{x^{2}}-2\Rightarrow x^{2}+\displaystyle \frac{1}{x^{2}}=t^{2}+2.\)
Получили уравнение \(t^{2}+2-5t+4=0\). Легко!
\(t^{2}-5t+6=0\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} t=2,\\t=3. \end{matrix}\right.\)
\(x-\displaystyle \frac{1}{x}=2 \Rightarrow x^2-2x-1=0, \;\) \(D_1=4+4=8, \;\) \(x_{1,2}=\displaystyle \frac{2\pm2\sqrt2}{2}=1\pm\sqrt2;\)
\(x-\displaystyle \frac{1}{x}=3\Rightarrow x^{2}-3x-1=0, \;D_{1}=9+4=13,\; x_{3,4}=\displaystyle \frac{3\pm \sqrt{13}}{2}.\)
Ответ: \( 1\pm \sqrt{2}, \; \displaystyle \frac{3\pm \sqrt{13}}{2}.\)
14. Решите уравнение: \(x^4-5x^3+6x^2-5x+1=0.\)
Решение:
Разделив обе части уравнения на \(x^2\neq 0\), получим:
\(x^2-5x+6-\displaystyle \frac{5}{x}+\frac{1}{x^2}=0.\)
Группируем слагаемые:
\(\left(x^2+\displaystyle \frac{1}{x^2}\right)-5\left(x+\displaystyle \frac{1}{x}\right)+6=0.\)
Сделаем замену \(x+\displaystyle \frac{1}{x}=t\), тогда \(t^2=x^2+\displaystyle \frac{1}{x^2}+2 \Rightarrow x^2+\displaystyle \frac{1}{x^2}=t^2-2.\)
Наше уравнение примет вид:
\((t^2-2)-5t+6=0 \Leftrightarrow t^2-5t+4=0 \Leftrightarrow
\left[
\begin{gathered}
t=4, \\
t=1.
\end{gathered}
\right.
\)
Обратная замена:
\(1)\) \(x+\displaystyle \frac{1}{x}=1\Leftrightarrow x^{2}-x+1=0; \; D=1-4=-3< 0\Rightarrow x\in \emptyset.\)
\(2)\) \(x+\displaystyle \frac{1}{x}=4\Leftrightarrow x^{2}-4x+1=0; \; D=4-1=3; \; x_{1,2}=2\pm 3.\)
Ответ: \(2\pm \sqrt{3}\)
к оглавлению ▴Однородные уравнения
В школьном курсе математики проходят однородные показательные и однородные тригонометрические уравнения. Однородные алгебраические уравнения решаются тем же методом: делением на старшую степень.
15. Решите уравнение: \((x^2+2x)^2-(x^2+2x)(2x-1)-6(2x-1)^2=0.\)
Решение:
Это однородное уравнение. Разделим каждое слагаемое на \((2x-1)^2\) при условии \((2x-1)^2 \neq0\).
Получим: \(\left(\displaystyle \frac{x^2+2x}{2x-1}\right)^2-\displaystyle \frac{x^2+2x}{2x-1}-6=0.\)
Выполним замену: \(\displaystyle \frac{x^2+2x}{2x-1}=t.\)
Получим уравнение:
\(t^2-t-6=0 \Leftrightarrow
\left[
\begin{gathered}
t=3, \\
t=-2.
\end{gathered}
\right.
\)
Обратная замена приведет нас к совокупности квадратных уравнений:
\(
\left[
\begin{gathered}
x^2-4x+3-0, \\
x^2+6x-2=0.
\end{gathered}
\right.
\)
Решим эти квадратные уравнения.
\(1)\) \(x^{2}+6x-2=0; x=-3\pm \sqrt{11}.\)
\(2)\) \(x^{2}-4x+3=0\Leftrightarrow \left[\begin{matrix} x=3,\\x=1. \end{matrix}\right.\)
Мы сказали, что поделить обе части уравнения на \(2x-1\) можно, только если \(2x-1 \neq 0.\) Проверим, что будет, если \(2x-1 = 0\). Тогда \(x=0,5\). Такое значение переменной не является корнем уравнения.
Ответ: \(\{-3\pm\sqrt{11};1;3 \}.\)
Рассмотрим еще одно однородное уравнение.
16. Решите уравнение: \(3(x+8)^2-4(x+8)(x^2+2x+2)+(x^2+2x+2)^2=0.\)
Решение:
\(x=-8\) не является корнем уравнения, поэтому разделим уравнение на \((x+8)\) и получим
\(\left(\displaystyle \frac{x^2+2x+2}{x+8}\right)^2-4\cdot\displaystyle \frac{x^2+2x+2}{x+8}+3=0.\)
Замена \(\displaystyle \frac{x^2+2x+2}{x+8}=t\) приводит к квадратному уравнению:
\(t^2-4t+3=0.\) Его корни \(t=3\) и \(t=1.\)
Обратная замена дает совокупность квадратных уравнений:
\(2)~x^2-4x+3=0 \Leftrightarrow
\left[
\begin{gathered}
x^2-x-22=0, \\
x^2+x-6=0.
\end{gathered}
\right.
\)
Решив эти квадратные уравнения, получаем корни:
\(x=\displaystyle \frac{1\pm \sqrt{89}}{2}; \; x=-3; \; x=2.\)
Ответ: \(\displaystyle \frac{1\pm \sqrt{89}}{2}; \; -3; \; 2.\)
Покажем еще несколько методов решения алгебраических уравнений. Они встречаются также в задачах с параметрами.
к оглавлению ▴Выделение полного квадрата
17. Решите уравнение: \(x^2+\displaystyle \frac{x^2}{(x+1)^2}=3.\)
Решение:
В правой части уравнения сумма двух квадратов. Добавим и вычтем удвоенное произведение двух выражений:
\(x^2-2x\cdot\displaystyle \frac{x}{x+1}+\frac{x^2}{(x+1)^2}+2x\cdot\frac{x}{x+1}=3.\)
Свернем полный квадрат по формуле сокращенного умножения.
\(\left(x-\displaystyle \frac{x}{x+1}\right)^2+2x\displaystyle \frac{x}{x+1}=3\Leftrightarrow \left(\displaystyle \frac{x^2}{x+1}\right)^2+2\displaystyle \frac{x^2}{x+1}=3.\)
Замена \(\displaystyle \frac{x^2}{x+1}=t\) приведет уравнение к виду:
\(t^2+2t-3=0; \; t=1\) или \(t=-3.\)
Обратная замена дает совокупность двух квадратных уравнений:
\(\left[\begin{matrix}
\displaystyle \frac{x^{2}}{x+1}=1, \\\displaystyle \frac{x^{2}}{x+1}=-3;
\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left[\begin{matrix}
x^{2}-x-1=0, \\ x^{2}+3x+3=0. \end{matrix}\right.\)
Корни первого из этих уравнений:
\(x_{1,2}=\displaystyle \frac{1\pm\sqrt{5}}{2}.\)
Второе уравнение не имеет корней, его дискриминант отрицателен.
Ответ: \(\displaystyle \frac{1\pm\sqrt{5}}{2}.\)
к оглавлению ▴Метод оценки
18. Решим уравнение: \((x-3)^6+2=4x-x^2-2.\)
Решение:
Преобразуем правую часть уравнения:
\(4x-x^2-x=-(x^2-4x+4)+2=-(x-2)^2+2.\)
Уравнение примет вид:
\((x-3)^6+2=2-(x-2)^2;\)
\((x-3)^6=-(x-2)^2.\) Оценим левую и правую части уравнения.
Так как \((x-3)^6 \geqslant 0, -(x-2)^2 \leqslant 0, \) то равенство выполняется, только если и левая, и правая его части равны нулю.
Уравнение равносильно системе:
\(
\begin{cases}
(x-3)^6=0, \\
-(x-2)^2=0;
\end{cases} \; \) \(
\begin{cases}
x=6, \\
x=2.
\end{cases}
\)
Система решений не имеет.
Ответ: корней нет.
При решении мы пользовались следующей теоремой:
Теорема. Если в уравнении \(f(x)=g(x)\) функция \(y=f(x)\) ограничена сверху и \(f(x)\leqslant m\), а функция \(y=g(x)\) ограничена снизу, причем \(g(x)\geqslant m\), то уравнение равносильно системе:
\(
\begin{cases}
f(x)=m, \\
g(x)=m.
\end{cases}
\)
Если система решений не имеет, то у данного уравнения \(f(x)=g(x)\) корней нет.
Читайте о том, как метод оценки применяется в задачах с параметрами.
к оглавлению ▴Использование свойств функций
Еще один нетривиальный метод решения уравнений – подобрать корень и доказать, что других корней нет.
Здесь нам поможет следующая теорема:
Теорема. Если в уравнении \(f(x)=g(x)\) функция \(y=f(x)\) является монотонно возрастающей, а функция \(y=g(x)\) монотонно убывающей или постоянной, то уравнение не может иметь более одного корня.
19. Решите уравнение: \(x^3+7x^5+2x=-10.\)
Левая часть уравнения представляет собой функцию, монотонно возрастающую при любом значении переменной \(x\), т .к. является суммой монотонно возрастающих функций, а правая часть постоянна. Поэтому, если уравнения имеет корень, то он единственный.
Подбором находим, что \(x=-1\) т. к. \(-1-7-2=-10.\)
Ответ: -1.
20. Решите уравнение: \(x^9+5x=6.\)
Решение:
Функция \(y=x^9+5x\) является возрастающей (как сумма двух возрастающих функций), а правая часть постоянна. Уравнение имеет не более одного корня.
Подбором находим, что \(x=1\) — корень, так как \(19+5\cdot 1=6.\)
Других корней быть не может.
Ответ: 1.
к оглавлению ▴Графический метод решения уравнений
Чтобы решить графически уравнение \(f(x)=g(x)\), строим в одной системе координат графики функций \(y=f(x)\) и \(y=g(x)\) и находим точки пересечения этих графиков. Абсциссы точек пересечения графиков — это корни уравнения \(f(x)=g(x)\).
21. Решите графически уравнение: \(x^3-x-6=0.\)
Решение:
Запишем уравнение в виде \(x^3=x+6\). Построим в одной системе координат графики функций \(y=x^3\) и \(y=x+6.\)
Графики функций пересекаются в единственной точке \(A(2;8); ~x=2\) — корень уравнения, поскольку \(2^3=2+6.\) Других корней нет.
Ответ: 2.
Список литературы:
1. О. Ю. Черкасов, А. Г. Якушев. Домашний репетитор. Математика. Интенсивный курс подготовки к экзамену.
2. А. Г. Мордкович. Решаем уравнения.
