Показательные уравнения

Рассмотрим уравнение \(2^{x}=8\). В какую степень надо возвести \(2\), чтобы получить \(8\)? Ясно, что в степень \(3\).

Более того, \(x= 3\) — единственное решение данного уравнения. Почему? Это легко понять, посмотрев на график показательной функции \(y=2^{x}\): данная функция монотонно возрастает и потому каждое своё значение принимает ровно один раз. Иными словами, не существует других значений \(x\), кроме \(3\), таких, что \(2^{x}=8\).

Простейшее показательное уравнение — это уравнение вида

где \(a> 1\) или \(0< a< 1.\)

Если \(b> 0\), то уравнение (1) имеет решение, и притом единственное. Действительно, при \(a> 1\) показательная функция монотонно возрастает, а при \(0< a< 1\) — монотонно убывает; в любом случае она принимает каждое своё значение ровно один раз.

А вот если \(b\leq 0\), то уравнение (1) не имеет решений: ведь показательная функция может принимать только положительные значения.

Любое показательное уравнение после соответствующих преобразований сводится к решению одного или нескольких простейших.

В задачах достаточно представить левую и правую части в виде степеней с одинаковым основанием.

1. \(5^{x-7}=\displaystyle \frac{1}{125}.\)

Вспоминаем, что \(125=5^{3}\). Уравнение приобретает вид: \(5^{x-7}=5^{-3}\).

В силу монотонности показательной функции показатели степени равны: \(x-7=-3\), откуда \(x= 4\).

2. \(\Big(\displaystyle \frac{1}{8}\Big)^{-3-x}=512.\)

Поскольку \(\displaystyle \frac{1}{8}=2^{-3}, \; 512=2^{9}\), уравнение можно записать в виде:

\((2^{-3})^{-3-x}=2^{9}.\)

Дальнейшее ясно:

\(2^{9+3x}=2^{9}, \;\)
\(9+3x=9, \;\)
\(x=0.\)

Теперь рассмотрим более сложные уравнения.

3. \(33\cdot 2^{x-1}-2^{x+1}=29.\)

Здесь лучше всего вынести за скобку двойку в наименьшей степени:

\(2^{x-1}(33-2^{2})=29, \;\)
\(2^{x-1}\cdot 29=29, \;\)
\(2^{x-1}=1, \;\)
\(x-1=0, \;\)
\(x=1.\)

4. \(4^{x}-5\cdot 2^{x}-24=0.\)

Делаем замену: \(t=2^{x}\).

Тогда \(4^{x}=2^{2x}=t^{2}\),  и относительно \(t\) мы получаем квадратное уравнение: \(t^{2}-5t-24=0\).

Его корни: \(t_{1}=8\) и \(t_{2}=-3\).

В первом случае имеем: \(2^{x}=8\), откуда \(x=3\).

Во втором случае: \(2^{x}=-3\), решений нет.

Ответ: 3.

5. \(3\cdot 16^{x}+36^{x}-2\cdot 81^{x}=0.\)

Замечаем, что \(16=4^{2}, \; 81=9^{2}\), а \(36=4\cdot 9\):

\(3\cdot 4^{2x}+4^{x}\cdot 9^{x}-2\cdot 9^{2x}=0.\)

Делим обе части на положительную величину \(9^{2x}=0\):

\(3\cdot \Big(\displaystyle \frac{4}{9}\Big)^{2x}+\Big(\displaystyle \frac{4}{9}\Big)^{x}-2=0.\)

Делаем замену:

\(t=\Big(\displaystyle \frac{4}{9}\Big)^{x},\)

\(3t^{2}+t-2=0.\)

Полученное квадратное уравнение имеет корни \(−1\) и  \(\displaystyle \frac{2}{3}\).

В случае \(\Big(\displaystyle \frac{4}{9}\Big)^{x}=-1\) решений нет.

В случае \(\Big(\displaystyle \frac{4}{9}\Big)^{x}=\displaystyle \frac{2}{3}\) имеем единственный корень \(x=\displaystyle \frac{1}{2}\).

Ответ: \(\displaystyle \frac{1}{2}\).

Вообще, показательные уравнения вида \(A\cdot a^{2x}+B\cdot a^{x}b^{x}+C\cdot b^{2x}=0\) называются однородными.

Для них существует стандартный приём решения — деление обеих частей на \(b^{2x}\) (эта величина не равна нулю, так как показательная функция может принимать только положительные значения). Именно этим приёмом мы в данной задаче и воспользовались.

С однородными уравнениями, кстати, мы уже встречались — в тригонометрии. Это были уравнения вида

\(Asin^{2}x+Bsinxcosx+Ccos^{2}x=0.\)

Их мы решали похожим приёмом — делением на \(cos^{2}x\).